隨機振動地震分析

1、隨機結(jié)構(gòu)激勵模型及隨機振動反應(yīng)分析結(jié)構(gòu)在服役期間，必將受到各種荷載的作用。對于建筑結(jié)構(gòu)，在服役期間不 可避免的會受到風力的作用，而且甚至會受到地震的作用；海洋上的結(jié)構(gòu)，如海 上風力發(fā)電高塔，海洋平臺等，會受到海洋波浪的作用；行駛在路面上的車輛， 由于路面的不平順使得車輛受到動力作用； 飛機在飛行中由于大氣的自由流動也 會受到擾動。這些作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，不僅隨著時間發(fā)生變化，而且具有明顯 的隨機性。而對于隨機動力荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的問題，確定性的動力分析無法考慮隨機性，隨機振動理論應(yīng)運而生。equation chapter 1 section 1隨機振動的物理數(shù)學基礎(chǔ)早在 30年代已基本奠定。18

2、27年brown對懸浮在 水中微小花粉粒子雜亂運動的觀察，為最早的系統(tǒng)對隨機激勵響應(yīng)的實驗研究。19世紀后期maxwell和boltzmann用統(tǒng)計方法描述系統(tǒng)可能狀態(tài)和達到的概率， 但沒有考慮統(tǒng)計隨時間的演化。1919年rayleigh用“隨機振動” 一詞描述一等 價于平面隨機行走的聲學問題。用隨機方法研究動力學行為始于1905年，einstein從理論上解釋了 brown運動，1915年smoluchowski擴展了 einstein的結(jié)果 并進行實驗研究。1908年langevin導(dǎo)出含有隨機項的微分方程，成為隨機微分 方程的第一個例子，fokker于1915年、plank于1917年、

3、k o ji m o r市1931b 年、伊藤于1946年都對隨機微分方程的研究作出貢獻。1933年a h a p。等應(yīng)b 用隨機微分方程討論隨機擾動下一般動力系統(tǒng)的運動。1920年taylor引入相關(guān)函數(shù)概念，wiener于1930年和x n h q# 1934年分別建立了譜的理論，這些數(shù) 學工具首先應(yīng)用于通訊和控制系統(tǒng)而不是結(jié)構(gòu)和機械的強度分析，因為工程技術(shù)尚無此要求。隨機振動的研究始于 50年代中期。由于噴氣和火箭技術(shù)的發(fā)展在 航空和航天工程中提出一系列問題，如大氣湍流引起的飛機顫振，噴氣噪音導(dǎo)致 的飛行器表面結(jié)構(gòu)聲疲勞，傳動系統(tǒng)中滾動件不光滑而嚙合不完善的損傷積累， 火箭推進中運載工具

4、有效負載可靠性等，都促使研究者運用已有數(shù)學工具，并借鑒這些工具在通訊等學科中的應(yīng)用以解決面臨的工程問題。miles于1954年和powell于1955年分別研究了飛行器結(jié)構(gòu)顫振損傷積累的時間無規(guī)和空間漲落。1955年morrow和muchmore把譜分析引進隨機振動并建立了結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)等基 本概念。1957年erigen研究了連續(xù)體的隨機振動并討論振型相關(guān)性。1958年crandall主編隨機振動的出版標志著隨機振動這一振動力學分支的誕生。60年代以來，隨機振動在應(yīng)用和理論方面都發(fā)展迅速。振動測試技術(shù)是隨機振動應(yīng) 用的前提。在70年代之前基本采用模擬式儀器。由于計算機技術(shù)的迅速發(fā)展及1965年

5、cooley和tukky發(fā)明快速fourier變換算法，70年代以來數(shù)字式測試設(shè)備廣泛采用。在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)的識別與診斷及隨機振動實驗技術(shù)有很大發(fā)展，應(yīng)用范圍也愈來愈廣泛，由飛機和火箭擴展到汽車、船舶及高層建筑、海洋工程結(jié) 構(gòu)等。在理論研究中，非線性隨機振動備受重視。1959年caughey研究提出隨機等效線性化方法，而該方法在 1954年便被booton應(yīng)用于控制系統(tǒng)。1961年 crandall 建立隨機攝動法。1966 年以后，stratonovich、khasminskii、papanicolaou 與kohler等發(fā)展了隨機平均法。結(jié)構(gòu)隨機振動分析，一方面要研究隨機激勵模型，地震、海浪

6、、風等荷載形 式都是極為復(fù)雜的，模擬這些隨機動力荷載，即要掌握大量的數(shù)據(jù)資料，也要把 握其內(nèi)在的物理機制，這些工作都不是輕而易舉能夠解決的；另一方面研究隨機振動分析方法。對于線性的結(jié)構(gòu)，由于服從疊加原理，能夠較為容易的解決。而 非線性結(jié)構(gòu)，對于實際的結(jié)構(gòu)，即使是確定性的動力問題，都是難以求解的，隨 機振動更是困難。1.隨機結(jié)構(gòu)激勵的一般模型隨機激勵的一般模型可分為平穩(wěn)模型和非平穩(wěn)模型兩種。平穩(wěn)模型就是平穩(wěn) 隨機過程。結(jié)構(gòu)隨機激勵的平穩(wěn)模型記為 fs(t),則fs(t)的均值是常數(shù)、相關(guān)函 數(shù)只依賴于時間差，即mfs (t)= mfs , rfs(t1,t2)= rfs(t) (t = t2-

7、t1)(1.1)當mf(t)=0時，fs(t)的相關(guān)函數(shù)與其譜密度sf(w)之間有如下關(guān)系：rfs()=:生('甘 d-；-(1.2)1sfs( ) = - .:;rfs( )e d即rfs和sfs構(gòu)成fourier變化對。當mf)1 0時，fs(t)的協(xié)方差函數(shù) 展與其sfs(。)之間有上述關(guān)系式(1.2)。對于結(jié)構(gòu)隨機激勵的平穩(wěn)模型，我們只要知道它的均值和相關(guān)函數(shù)、或者均值和譜密度就可完全確定這個模型的統(tǒng)計特性。在確定具體的結(jié)構(gòu)隨機激勵平穩(wěn) 模型時，我們總是根據(jù)大量的實測時程曲線去統(tǒng)計確定均值和相關(guān)函數(shù)的具體表 達形式、或者均值和譜密度的具體表達形式，二者只要知道其中一個，即可由關(guān)

8、系式(1.2)求得另一個。不同的平穩(wěn)隨機模型主要反映在相關(guān)函數(shù)或譜密度的具體 表達形式上的不向。結(jié)構(gòu)隨機激勵的平穩(wěn)模型就是非平穩(wěn)隨機過程，可以分為兩類：均勻調(diào)制非平穩(wěn)模型和調(diào)制非平穩(wěn)模型。(1)均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機模型：這種隨機模型又稱為可分離式非平穩(wěn)隨機模 型，它可以表示為確定性函數(shù)與平穩(wěn)隨機過程的乘積，即f«)= f(t)fs(t)(1.3)式中f (t)是表示隨機激勵非平穩(wěn)特性的確定性函數(shù)；fs (t)是平穩(wěn)隨機過程。假定用英型(1.3)中f(t)的均值mf (t)= 0因此,平穩(wěn)隨機過程fs(t)的均值m,(t)= 0。 對于均值不為零的非平穩(wěn)隨機激勵f'(t),我們?nèi)?/p>

9、f(t)= f'(t)- mf,(t),從而有模型 (1.3)的形式。當已知fs(t)的相關(guān)函數(shù)rid或者譜密度&儂)時，非平穩(wěn)隨機干 擾f (t)的相關(guān)函數(shù)和譜密度可容易地求得為rf(t)= f & )f，2 )rs(t) (1.錯誤!未找到引用源。)2sf( ) = f t sfs( )(1.5)與平穩(wěn)隨機模型類似，非平穩(wěn)隨機模型的統(tǒng)計特性也完全由其均值和相關(guān)函 數(shù)或者是均值和譜密度所確定。在工程實際中，為了建立起這種隨機激勵的非平 穩(wěn)模型，在大量實測記錄統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上，首先合理確定平穩(wěn)隨機過程rfs(t)統(tǒng)計特性一一相關(guān)函數(shù)或者譜密度，其次合理確定反映該隨機干擾

10、非平穩(wěn)待性 的確定性函數(shù)f(t)。(2)調(diào)制非平穩(wěn)隨機模型：這種非平穩(wěn)隨機模型可以表示為 ¥ ,f(t)= 0? a(t,w)e-lwtdz(w)(1.6)式中a(t,w)是時間t和頻率w的確定性函數(shù)，稱為調(diào)制函數(shù)；z(w)是均值為零的正交增量過程，它通過下式與某個平穩(wěn)過程 rf«)聯(lián)系起來: s(1.7)隹 2|z(w)= sfs (w)dw式中sfs(w)是fs的譜密度。這里假定模型(1.6)中f)的均值mf (t)= 00對于均值不為零的非平穩(wěn)隨機激勵f'(t),總可以取f(t)= f'(t)- mf.(t),從而有模型(1.6)的形式。調(diào)制非平穩(wěn)隨機

11、模型的相關(guān)函數(shù)和譜密度可分別表示為rf (32)= 61 a(ti，w)a* (t2,w)sfs (w)ew(t2-tl)dw(1.8)，、 ，、2 ，、 ，一sf (t,w)= a(t,w) sfs (w)(1.9)式中*表示復(fù)共腕。因此，調(diào)制非平穩(wěn)隨機模型的統(tǒng)計特性完全由調(diào)制函數(shù) a(t,w)和平穩(wěn)過程fs (t)統(tǒng)計特性一一相關(guān)函數(shù)或譜密度完全確定。1.1.脈動風速隨機模型風荷載是高聳結(jié)構(gòu)(如煙囪、電視塔、輸電線塔和桅桿等卜高層建筑、大跨 和橋梁結(jié)構(gòu)等的主要荷載。作用于結(jié)構(gòu)的風力主要與風速有關(guān)。脈動風速的隨機模型：實測資料表明，在一次大風過程中，在風速最強的時 段內(nèi)，任意固定高度處的風速

12、總是圍繞其平均值平穩(wěn)地變化， 因此，風速v(乙t)可 以分解為兩部分：平均風速va(z)和脈動風速vd(z,t),即風速可以表示為v(z,t)= va (z)+ vd (z,t)(1.10)平均風速沿高度的變化規(guī)律一般符合指數(shù)律或?qū)?shù)律。(1)指數(shù)律：根據(jù)實測結(jié)果的分析，davenport等人提出的指數(shù)律可以表示 為(1.11)"s式中zs和uas分別是標準高度及標準高度處的平均風速；a是地面粗糙度(指數(shù)律用)。地面粗糙的程度愈大，a亦愈大。(2)對數(shù)律：根據(jù)近地風速摩擦層的理論研究和實測結(jié)果的分析，tah a h h等人提出的對數(shù)律可以表示為(1.12)va (z) = lnz-

13、lnz0vas1nzs- 1nz°式中z0是風速等于零的高度，隨地面粗糙程度而變化，因而也稱為地面粗糙度(對 數(shù)律用)。地面粗糙的程度愈大、z0愈大。脈動風速是隨機的，可以用隨機過程來表示，而且大量的實測分析結(jié)果表明， 它是平穩(wěn)隨機過程，且由(1.10)知，脈動風速的均值是零。利用風速實測記錄統(tǒng)計確定脈動風速的相關(guān)函數(shù)或譜密度的方法通常有兩種：一種是將強風記錄進行相關(guān)分析直接得到相關(guān)曲線，然后通過曲線擬合求得相關(guān)函數(shù)的具體表達形式；另一種是將強風記錄通過超低頻濾波器直接得到譜曲 線，然后通過曲線擬合求得譜密度的具體表達形式。1.2.地震地面運動的隨機模型由于地震發(fā)生、震源機制、傳播途

14、徑與場地條件等因素的隨機性，使觀測地震動加速度時程具有顯著的隨機性。 地震動的隨機性包括兩個層面：一是地震活 動的隨機性，地震活動性指的是地震活動的時、空、強度和頻度的規(guī)律；另一層 面是地震動過程的隨機性。基于隨機過程理論研究地震動源于真實強震記錄的獲 得，1947年housner針對強震記錄所表現(xiàn)出的強烈不規(guī)則性，提出用隨機過程 理論解釋和描述地震動的加速度時程。至今，已有多種隨機地震動模型提出。按 所提出的隨機地震動模型平穩(wěn)與否，可以將現(xiàn)有的描述地震動隨機性的方法歸納 為平穩(wěn)地震動隨機模型和非平穩(wěn)地震動模型。鑒于非平穩(wěn)模型的不成熟性，在此只討論平穩(wěn)模型。(1)時域平穩(wěn)模型1947年，hou

15、sner提出用平穩(wěn)脈沖序列模擬真實地震動， 假定地震動加速度 可以簡化成一系列集中脈沖的集合，每個脈沖的大小一定，但到達時刻是隨機的， 其分布是均勻的。加速度的表達式為：ag(t)= ? vd(t- t)(1.13)i式中，ag(t)為t時刻的加速度，v表示集中速度脈沖，d(t)為dirac函數(shù)， ti表示第i個脈沖的到達時刻。盡管這個模型存在著一些問題，但作為一個開創(chuàng) 性工作是值得充分肯定的。goodman等推廣了 housner的概念，仍然假定地震動 加速度為一系列集中脈沖，但不僅每個脈沖的到達時刻是隨機的， 而且大小也是 隨機的。彼此獨立，有相同的分布。時域平穩(wěn)模型只能在現(xiàn)象上獲得和真實

16、地震 動相似的時間序列，但是真實地震動的特征，如能量在頻域的分布等，無法通過 這種方法體現(xiàn)。因此，在工程上時域平穩(wěn)模型沒有得到廣泛的應(yīng)用。(2)頻域平穩(wěn)模型和時域上模擬相比，在頻域上進行地震動模擬的研究更為活躍。 針對地震動 加速度時程功率譜并不是常數(shù)這一特點，kanai提出了過濾白噪聲模型。他假定基巖傳來的地震波是白噪聲，基巖上的土層為單自由度體系，求這個單自由度體 系的絕對加速度功率譜，并用這個譜來模擬地表加速度功率譜。譜的表達式為：sa (w)=(1.14)式中，wa,xa分別為場地土卓越頻率和阻尼比，s0為白譜強度，這個譜具有 g g單峰形狀。后來tajimi用上式求解了建筑物結(jié)構(gòu)的最

17、大反應(yīng)。1964年，housner 和jennings根據(jù)美國若干地震動記錄確定了 kanai公式中的參數(shù)，并證明了無阻 尼速度反應(yīng)譜和功率譜有近似關(guān)系。由kanai-tajimi模型可容易地得到地面運動速度和位移的功率譜函數(shù)(1.15)(1.16)2sv(w) = w sa (w)4，、sx(w) = w sa(w)但是，當w=0時，sv(w)和sx(w)出現(xiàn)明顯的奇異點，它使地面速度和位移 無界，這顯然是與實際不符合的。為了克服這一缺點，胡聿賢和周錫元引入一低頻減量風，提出一種修正模型:sa(w)=42wg + (2xgwgw)(w2-2、22w ) + (2xgwgw)njwsk n n

18、 s0w + w c(1.17)式中，$0為白噪聲功率譜密度;x為地基過濾器阻尼比；w為地基過濾器圓頻 g g率；wc為低頻減量；n為參數(shù),取46。為了保持kanai-tajimi譜的原有特征, 低頻的模型：ruiz和penzien建議了另外一種削減sa(w)= 一 (1-22 w1+ 4xg wg4 w4 w122示2w、2“ 2 ww、22) + 4xg2 (1 -2) +ww wgg12 so “ 2 w 4天2w1(1.18)其中，頻率參數(shù)w和阻尼參數(shù)x1是為了給出所需要的過濾特征而選擇的。針對過濾白噪聲模型無法反映基巖加速度頻率特性的問題，松島豐在過濾白噪聲模型的基礎(chǔ)上，將基巖地震動

19、的譜密度由白噪聲過程修正為馬爾柯夫有色 譜：sa (w)=2 w21+ 4xg2wg2(1- w2)2+wg2/ 2 w 彳4xg 2 1 +wg1 s2 s0w2wh(1.19)式中，wh是反映基巖特性的譜參數(shù)，可取為 wh = 8p (rad/s),這一模型仍然有 kanai譜同樣的缺點，即地面速度和位移的方差無界。由上述隨機地震動模型可以看出，以平穩(wěn)過程功率譜密度函數(shù)描述的隨機地 震動模型的發(fā)展，實際上是一個基于白噪聲模型或過濾白噪聲的改進過程。同時應(yīng)該指出，過于復(fù)雜的模型形式并沒有在本質(zhì)上改善模型精度，反而是形式最簡 單的kanai-tajimi模型應(yīng)用最廣泛。雖然，該模型積分將使地面

20、速度和位移功率 譜無界，但是由于現(xiàn)在更多的將隨機振動問題轉(zhuǎn)化到時域處理，該缺點已經(jīng)顯得無足輕重。但是，當w= 0時，sv(w)和sx(w)出現(xiàn)明顯的奇異點，它使地面速度 和位移無界，這顯然是與實際不符合的。2 .線性體系隨機振動的反應(yīng)分析2.1. 單自由度體系的隨機振動 時域分析(20)單自由度體系的運動微分方程為：mu&t) + ci&t) + ku(t) = p(t)式中m為質(zhì)量，c為阻尼，k為剛度，p(t)為外力，u(t)為質(zhì)點位移響應(yīng)。將上 式兩邊同除以m ,可寫成常用的標準形式，&t) + 2%w1i&t) + w：u=f(t)(21)式中：w1= j

21、k,單自由度體系的自振頻率; mxi =c2 *m，阻尼比；f(t) =p(t)m單位質(zhì)量的外激勵。對于大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)而言，x1 = 1 ,此時方程的解為:> j.1 t- xw (t- t ),u(t)= 蟒(t)h(t- t)dt = o f(t)e 11( ,sinw1(t- t)dt (22)式中：1- x w th(t) =:e 1 1 sinw1,t ? 0(23)必數(shù)學期望:(24)¥eu(t)= 0? ef(t- ti)h(ti)dt1自相關(guān)函數(shù):ru(ti，t2)= eu(t)u(t2)= 蝌 ？ ef(ttjft- t2)小(t，小(t2)dtidt2(25

22、)=蛆? rf(l - tj- ti)h(ti)h(t2)dtidt2由以上兩式，只要輸入 ef(t- t1)、rf(t1 - t1,t2- t2)已知，通過脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t),即可求出有關(guān)的值。如果f(t)為平穩(wěn)隨機過程，則ef(t- t1)及rf(t1- t1,t2- t2)與t無關(guān)，通過積分后，仍然與t無關(guān)，即輸入是 平穩(wěn)的，輸出亦是平穩(wěn)的。同理，輸入如是各態(tài)歷經(jīng)的，則輸出亦是各態(tài)歷經(jīng)的。頻域分析在時間域計算統(tǒng)計值一般比較復(fù)雜，常涉及繁瑣的積分運算，因而常把它變 換到頻域中去，可有一定的簡化。利用維納-辛欽關(guān)系式可得頻域的功率譜密度 為：sx(w)=12p-iwt 一o? ruedt?

23、1- iwt2"蝌? ? rf(t + ti- t2)h(ti)h(t2)edtidt2dtpiwt- iwt蝌 h(ti)e dtig ? h(t2)e2dt 2g? ? sf (w)eiwtdt(26)¥o?h (i w) sf(w)eiwtdw式中:¥(27)(28)-iwth (iw) = 0? h(t )e dt6? h (i w)eiwtdw1h(t)= -2ph (i w)是h(t)的傅立葉變換。h(t)是系統(tǒng)對于單位脈沖函數(shù)(即6函數(shù))的 響應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)。因此h(iw)亦有相應(yīng)的意義。實質(zhì)上，因為 h(iw)是f(t -s會由 即f(t) =

24、eiwt = 1時、系統(tǒng)的位移響應(yīng)u(t),因此，如設(shè)輸入f(t)= eiwt時，系統(tǒng)的平穩(wěn)響應(yīng)為：y(t) = h(iw)eiwt(29)h(t)是系統(tǒng)對于單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)，表征著時域內(nèi)的響應(yīng)特性，如果取f(t)=eiwt = 1時的系統(tǒng)的位移響應(yīng)，表征著頻域內(nèi)的響應(yīng)特性， 一般我們稱它為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(或頻率響應(yīng)函數(shù))。因此線性系統(tǒng)的特性可以 用脈沖響應(yīng)或者頻率響應(yīng)來表示。當系統(tǒng)輸入 f(t)時，通過h(iw)的傳遞可得出 輸出的響應(yīng)，對于位移響應(yīng)u(t)來說，它表示了振幅的放大率，因此頻率響應(yīng)函 數(shù)也常稱為傳遞函數(shù)。對于單自由度體系：傳遞函數(shù)可表示為：1h (i w) =

25、 -2 w1 - w + i 2xw1w(30)輸入f (t)為白噪聲時的響應(yīng)(31)當輸入f(t)為白噪聲時，其功率譜密度應(yīng)為：sf (w) = s0- ? w<由于很多物理現(xiàn)象如地震等，可以用白噪聲近似地來表達，它具有很簡單的 功率譜，即功率譜密度為常數(shù)，如公式(31)所示，所以是理論分析經(jīng)常利用的平 穩(wěn)隨機過程的一個重要的數(shù)學模型。位移響應(yīng)的功率譜密度可以表示為：2su(w) = h (iw) sf(w)由于eu = 0,所以方差值等于均方值，即:s2 = du = eu2 = ru(0)=¥q? su(w)dw=2 6 ?w1dw(33)pso2xw132.2. 多自由

26、度體系的隨機振動(34)多自由度體系的振動方程應(yīng)為:m&&+ cu&+ ku = p(t)(35)(36)最常用的解法是振型分解法，由于它具有正交性，因而根據(jù)需要，用很少幾項, 就能有效的描述所求的位移響應(yīng)。設(shè)位移按振型分解為：u = <dq式中中為振星，q為廣義坐標。將上式代入(34),并利用正交性，可以得到：mq&+ cq&+ kq = p (t)式中：m =tm ，c=tc，k =tk，p (t)=tp(t)(37)上式中m、c、k、p依次表示廣義質(zhì)量、廣義阻尼(設(shè)為瑞雷阻尼)、廣義剛度、 廣義荷載，除p外其它矩陣均為對角矩陣。根據(jù)對角矩陣的

27、特點，上式可以變成 若干個振型計算結(jié)果的疊加。對于第j個振型，上式為：mjqj cjqj y=pj(t)(38)或：.2pj(t)qj 2 j ,瓶=j=fj(t)(39)m j對于n個自由度的體系，這樣的獨立方程共有n個。對于位移響應(yīng)，由式(35),可得：nu(t)- j z qj(t)(40)j i為了表示廣泛起見，對于某處任何響應(yīng)量 r(z,t)可表示為：nr(z,t) ='、aj(z)qj(t)(41)j i式中aj(z)為第j個振型，的響應(yīng)函數(shù)，它等于第j個振型上的慣性力m j«j2*j (z) 所引起響應(yīng)量。經(jīng)簡化可得到：n¥(42)r(z,t) = ?

28、 aj(z)fj(t- ti)hj(ti)dti j = i'n ¥r(z,t+ t)= ? ak(z) 6, fk(t + t - t2)hk(t2)dt2 k= 1- -因此，自相關(guān)函數(shù)可表示為：rr(z,t) = er(z,t)r(z,t + t)旦< n . ?(43)= 遛 蝌 ？入化小甲行 +t/t2)hj3)h<2)dtidt2j = 1 k=1相應(yīng)的譜密度公式為：c1¥- iwtsr(z,w) = 丁 0 rr(z,t)e dt2p 3?1 n n?= 丁蝌遛 ? ? aj(z)ak(z)rfjfk(t + ti- t2)hj(ti)h&

29、#171;2)e iwtdtidt2 2p - j= i k=in niwt,- iwt c= 逋aj(z)ak(z)蝌 %(tje dti/卜匕"dt 2j=i k=ii ¥ - 一、-iwt3 rg2p o? rfjfk(t 3)edt 3n n= 遛aj(z)ak(z)hj(- iw)hk(iw)sffk(w)j=i k=ij(44)對于小阻尼體系，由振型j產(chǎn)生的響應(yīng)同振型k產(chǎn)生的響應(yīng)幾乎是獨立的。這樣, 上式中各交叉項都相對地小，可以略去。這樣就只保留腳標相同的各項，得：n2sr(z,w)? ? aj hj(iw)j = 12sff(w)j j(45)式中sff(w

30、)常寫成sf (w) 0 j jjsff (w)根據(jù)fj(t)的定義可求得： 'j' kjspp(w)fjspp(w)fjsf f (w)=fjfkmmmmj kj k式中：l sp p (w)1 nl spp (w)2nm ml spp (w) n nfj = fj1,fj2,l ,fjntspp(w) 二i ip (w) 1p (w)1mp (w)1sp p (w)1 2spp(w) 廠2廠2mspp(w)nr2(46)(47)得到功率譜密度sr(z,w),根方差sr就可以容易的寫出了，具值為各個振型影響 的疊加，即：22.2sr = .sr1 + sr2 + l + sr

31、ni蝌 a2hl(iw)(sf(w)dw +a 2,-,? a2 h 2(iw) s(w)dw + l(48)22+ o? an hn(iw) sfn(w)dw當系統(tǒng)受到多個集中力或分布力輸入同時激振時，除了給出各個輸入的功率譜密度或相關(guān)函數(shù)外，還必須給出各個輸入之間的互譜密度或互相關(guān)函數(shù)。 只有 各個輸入毫不相關(guān)而獨立時，才可按各個輸入分別求出響應(yīng)，然后疊加。3 .非線性體系隨機振動的反應(yīng)分析嚴格地說，結(jié)構(gòu)體系的振動總不同程度地具有某種非線性， 只是在小變形的 微幅振動下大多數(shù)體系的非線性特征不明顯， 我們可以較好地用線性的模型來撈 述。但是，對于大變形振動或本身含有非線性元件的體系振動，我

32、們必須用非線性的模型來描述，并探討非線性反應(yīng)分析的相應(yīng)方法。 結(jié)構(gòu)非線性振動的反應(yīng)分 析比線性的情況要復(fù)雜和困難得多.根本的原因是疊加原理對非線性振動不適 用。由于這個原因，致使對線性振動反應(yīng)分析非常有效的duhamel積分法和振型分解法對非線性振動都不適用。 此外，線線性隨機振動還有一大困難，就是體 系在正態(tài)型隨機下，由于非線性的影響，反應(yīng)也不一定是正態(tài)型的。這就使得我 們不能由反應(yīng)的二階統(tǒng)計量來直接得到反應(yīng)的概率分布。理淪上，對于非線性隨機振動，當體系的狀態(tài)反應(yīng)是 m a p k通程矢量時， 出于反應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度滿足 fpk方程，因此，在一定的初始條件下，我們可 以通過求解fpk方程來得

33、到反應(yīng)的概率密度，這種方法稱為fpk方程法。但是, fpk方程的解析解只對很少一類問題才能求得，止匕外，也只有在體系的干擾是白 噪聲或過濾白噪聲的情況下，狀態(tài)反應(yīng)才是 ma p k通程矢量，因此，人們?yōu)榱?揭示一般的非線性隨機振動的運動規(guī)律而不得不尋求其它的近似方法。非線性隨機振動分析的基本方法主要有 fpk方程法、統(tǒng)計矩截斷法、隨機攝動法和隨機 等價線性化法。3.1. fpk方程法由于單自由度和多自由度非線性體系在白噪聲或過濾白噪聲激勵下隨機振 動的運動方程都可以化成ito)型狀態(tài)微分方程：(49)y&(t)= f (t),t)+ g(y (t),t)w (t)(t?t;y (t0)

34、 y 0或y0)所以體系的狀態(tài)反應(yīng)y (t)是矢量ma p k試程。因此，y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度滿 足fpk方程。考慮非線性隨機振動的一般狀態(tài)方程(49),令體系狀態(tài)反應(yīng)y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度為p(y,t y。上)，滿足如下fpk向前方程:?pi=1yiaky，t)p +n n2? 732 i=i j=i w %jy，t)p(50)式中導(dǎo)出矩ai (y,t)和aj(y,t)(i,j = 1,2,n )與體系的狀態(tài)方程(49)有關(guān)，其 具體表達式為：a (y,t)= fi (y,t) aij(y ,t)= 2 gdg t(51)( = 1,2. n)(i j = 1,2. n)其中是fi(y

35、,t)矢量函數(shù)f (y,t)的第i個分量；g = g (y,t) ； d = ps , s是矢量白噪聲w (t)的譜密度矩陣；|dgt jj是矩陣gdgt的第i行、第j列的元 素。fpk方程(50)的初始條件有兩種情況：1)當狀態(tài)方程(49)的初始條件y 佃)=y0(52)是矢量隨機變量時，則fpk方程(50)的初始條件是p(y,t y。,t0)t=t0 = p(y。乙)(53)式中p(y0,t。)是矢量隨機變量y0的聯(lián)合概率密度。2)當狀態(tài)方程(49)的初始條件y (t°)= y0(54)是矢量常量時，則fpk方程(50)的初始條件是p(y,t y。,t0)t=t0 = ?od(y

36、i- yi0)(55)fpk方程(50)的邊界條件由分布在整個實軸上的概率密度的基本性質(zhì)確定，即p(y,t y。，t0,=飽=0(i = 1,2,., n)(56)由于狀態(tài)矢量y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度p(y,t y0 ,t0)是從體系運動的初始狀態(tài)y (t0)= y0轉(zhuǎn)移到x (t)= x的概率密度，因此1)當狀態(tài)方程是式(54)那樣的確定性初始條件時，p(m y0 ,t0)就是體系狀態(tài) 欠量y (t)的概率密度。2)當狀態(tài)方程是式(52)那樣的隨機初始條件時，則體系狀態(tài)矢量y (t)的概率 密度可由全概率公式求得為¥p(y，t)= o? p(y,t y。,to)p(y0lyy。(5

37、7)特別地，當體系的狀態(tài)方程(49)中 fy qt)二 f(t)，g (y (t),t)= g (y (t)不顯含t時(如通常的非線性隨機振動那樣)，則由式(51) 知，導(dǎo)出矩ai (y,t)= ai (y) aij (y,t)= aij (y)與1無關(guān)。在這種情況下，當t變大 時反應(yīng)y (t)趨于平穩(wěn)。平穩(wěn)狀態(tài)反應(yīng)y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度p (y,t y0,t0)= ps (y) 與初始條件和時間都無關(guān)，并滿足如下穩(wěn)態(tài)的 fpk方程：n 抖左女 n n 2-蹲方副丫 )ps(y) + 2 1?1 v?taj(y，t)ps(y )= 0(58)i= i yi2 i = i j = i yi y

38、j因此，穩(wěn)態(tài)的fpk方程的求解只需要邊界條件.平穩(wěn)狀態(tài)反應(yīng)y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度ps(y )與初始條件無關(guān)，顯然，ps(y )就 是y (t)的平穩(wěn)概率密度；止匕外，由于ps(y)與時間t無關(guān)，因此。y (t)還是嚴格 平穩(wěn)的。狀態(tài)矢量y (t)的概率密度能完整地反映體系狀態(tài)運動規(guī)律的隨機信息，由 它可以求得y (t)的各階統(tǒng)計矩。非線性隨機振動的 fpk方程法就是要通過求解 體系的狀態(tài)矢量或擴充了的狀態(tài)矢量(在過濾白噪聲激勵下)的fpk方程來得到 狀態(tài)矢量或擴充了的狀態(tài)矢量的聯(lián)合概率密度。因此，從理論上來說，fpk方程法是非線性隨機振動分析最嚴密、 最完美的方法。然而，遺憾的是，ppk方程

39、的 精確解對于非線性體系的非平穩(wěn)反應(yīng)只是在少數(shù)一階體系的情況下才能得到；即使對于平穩(wěn)反應(yīng)的情況，也只有少數(shù)幾類特殊的單自由度和多自由度體系才能得 到。因此，對于比較一般的非線性隨機振動問題，還只能用近似的分析方法。3.2. 隨機等價線性化方法隨機等價線性化法是非線性確定性振動的等價線性化法對隨機問題的推廣。 它的基本思想是把受隨機激勵的非線性體系的運動方程用一個等價的線性方程 來近似，然后使兩個方程之差的誤差項的某種量度最小的原則來確定等價線性方 程中的參數(shù)。這種方法既適用于弱非線性體系， 也適用于強非線性體系，在工程 實際中應(yīng)用較廣，是目前解決工程結(jié)構(gòu)非線性隨機振動問題最有效的方法?？紤]如下

40、單自由度非線性體系(59)(60)mx&+ g (&x)= f (t) x (0) = x(0)= 0式中激勵f (t)是任意的隨機過程。設(shè)與方程(59)等價的線性方程為mx&+ cex&+ kex = f (t) x (0) = x&(0) = 0其中的參數(shù)ce和ke稱為等價線性阻尼和等效線性剛度，它們要選擇得使構(gòu)造的等 價線性方程“最優(yōu)”地逼近原來的非線性方程 (59)的解。因此，現(xiàn)在的中心問題 就是要在某種準則下“最優(yōu)”地確定參數(shù)ce和ke。一旦這些參數(shù)確定，我們就可 以用線性隨機振動的理論通過求等價線件體系的反應(yīng)來作為原非線性體系的近 似反應(yīng)。令

41、e(t)表示原方程(59)和等價的線性方程(60)之差的誤差項，即e(t)= g(x,x)- cex&- kex(61)誤差項e(t)是一個隨機過程。為了使誤差最小，等價線性化通常的準則是使誤差 過程e(t )的平方的期望最小，并按此準則來確定參數(shù) ce和ke o由式(61),得e(e2)= ei(x，x&)-cex&- kex2(62)根據(jù)多元函數(shù)求極值的方法，可以證明使e2e (e2)取極小的充分必要條件是-e£)=0ke(63)利用這個條件并注意期望與導(dǎo)數(shù)的可交換性，得e|g(x,x)- cee(&2)- kee(xx)= 0e|g(x，x)-

42、cee-)- kee(x2)= 0以上方程聯(lián)立求解，可得所要求的參數(shù)(64)cece3畸”)-e(xx)咋")ef)e(x2)- i(xx)；£件盧麗(人旭)-上。呼母6%)e(x2)e(x2)- i(xx)2(65)用式(65)確定參數(shù)ce和ke時，需要知道等式右邊的那些期望值。在不作任何假設(shè)的情況下，這些期望值是很難求得的，們?yōu)樗鼈円辉乱笾纗(t)和登)的 聯(lián)合概率密度p(x,t;x&t),這是未知的。當激勵f (t)是平穩(wěn)過程時，一般在平穩(wěn)反應(yīng)的狀態(tài)下來確定等價線性體系的阻尼ce和ke 。在這種情 況下，由于平穩(wěn)位移和速度反應(yīng)互不相關(guān)，即e (x (t)x

43、&t)= 0 ,于是式(65)變成cee(x2)(66)(68)(69)(70)(71)在隨機等價線性化中，通常用等價線性體系反應(yīng)的聯(lián)合概率密度代替原非線 性體系反應(yīng)的聯(lián)合概率密度來確定式(65)或(66)(中的那些期望。因此，當激勵是 正態(tài)非平穩(wěn)或乎穩(wěn)過程時，由等價線性方程(60)可容易地確定反應(yīng)*«)和姿)的 聯(lián)合概率密度px&(x,x),然后將其代人式(65)或(66)求期望，即可求得等價阻尼ce 和ke。當f (t )是零均值的正態(tài)過程(可以是嚴穩(wěn)或非平穩(wěn)的)時，假定g(x,x)滿足正 態(tài)截斷法的條件，令tty =僅詼 = x,x(67)則式(64)可以寫成e

44、 翻 )y t - 1 臌 t =0 可求得e !(y )t =e翻 gy)e yy t將式(69)代人式(68),兩邊右乘e - 1篇丫 t，得|ece =e|y g(y)即式(71)右端的期望可以重復(fù)利用正態(tài)截斷法降階，直到表示為x和)&的一階矩、二階矩和二階聯(lián)合矩的函數(shù)。由于激勵 f(t)的均值是零，因此，x和x的一階矩 (均值)也為零，而它們的二階矩和二階聯(lián)合矩可容易地由等價線性方程(60)求得。由于式(65)、(66)和(71)右端的那些期望是由等價線性方程(60)求得的.因此，這些期望表達式個總含有ce和ke。為了求得ce和ke的具體值，一般需用選代法求解。對于非平穩(wěn)隨機干

45、擾的情況，由式(65)或(71)可明顯地看出，由于ce和ke, 直接與反應(yīng)的統(tǒng)計矩有關(guān)，而非平穩(wěn)反應(yīng)的統(tǒng)計矩是時間 t的函數(shù)，因此，體系 的等價阻尼和剛度ce = ce(t)和ke=ke(t)是隨時間變化的。這時等價阻尼和剛度 以及體系反應(yīng)統(tǒng)計矩，需要從t1= dt的離散時刻起驟迭代求解，一直算到所需 要的時刻tk = kdt。由單自由體系就可以清楚了解隨機等價線性化方法，多自由體系求解不再贅述。3.3. 隨機攝動法隨機攝動法是非線性確定性振動的攝動方法對隨機問題的直接推廣，它可用來確定弱非線性體系受隨機激勵的近似反應(yīng)的統(tǒng)計矩?？紤]如下單自由度非線性體系mx&+ c0x&+ k

46、x + eg (x, x) = f (t)(72)式中e= 1, f(t)是正態(tài)平穩(wěn)隨機過程。按照攝動法的基本思想，假設(shè)方程(72)的解可以展開成參數(shù)e的幕級數(shù)：(73)x(t)= xo(t)+ exl(t)+ e2x2 (t ) +將g(x,x&)在x0和x0附近展成talyor級數(shù)后，把式(73)代入方程(72),令e的同事 次項相等，則得如下一系列線性方程：mx% + c(x)+ kx。= f (t)mx&+ c0x& + kx1 = - g(x0,x%)(74)(75)8 o廟(xo，x%)g(xo，x&lmx& + c + kx = -x -x

47、&f q 2 揀01 x&m令是線性微分算子m 工+cd+kdt2 dt的單位脈沖反應(yīng)，則方程(74)的解可以按順序依次求得，其平穩(wěn)解可以表示為 tx0(t)= 0? h(t- t)3 (t)dt txi(t)= - o? h(t- tg(x0(t),x&(t)dt(76)m于是，體系反應(yīng)x(t)的統(tǒng)計矩可由式(73)和(76)求得。由式(73),得反應(yīng)均值ei(t)二 £翩)3|«)+&|«)+.(")式中eio(t)= o h(ti(t- t)dtei(t) = y¥h紇g(x0(t- t)，x&(t

48、- t)dt(78)m其中e jg(x0,x&)可按正態(tài)截斷法降階后由xo(t)和x&(t)的前二階矩表示出來，也 可按如下求期望的公式計算：ei(x0,)&)=蝌 ? g(xo,>&>(x0,x0)dx0d>&(79)由于假定激勵f (t)是正態(tài)過程，所以反應(yīng)x0(t)和&(t)也是正態(tài)過程，因此它們的平穩(wěn)聯(lián)合概率密度p(x0,x&,)由它們的一階和二階矩唯一確定。 這些一階和 二階矩可由式(76)的第一式容易地求出。由式(73)得反應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為e (< (t)x(t + t )= e (x0(t)x0(t+ t)+ ee (x0(t)xi (t