隨機(jī)振動(dòng)地震分析

1、隨機(jī)結(jié)構(gòu)激勵(lì)模型及隨機(jī)振動(dòng)反應(yīng)分析結(jié)構(gòu)在服役期間，必將受到各種荷載的作用。對(duì)于建筑結(jié)構(gòu)，在服役期間不 可避免的會(huì)受到風(fēng)力的作用，而且甚至?xí)艿降卣鸬淖饔?；海洋上的結(jié)構(gòu)，如海 上風(fēng)力發(fā)電高塔，海洋平臺(tái)等，會(huì)受到海洋波浪的作用；行駛在路面上的車輛， 由于路面的不平順使得車輛受到動(dòng)力作用； 飛機(jī)在飛行中由于大氣的自由流動(dòng)也 會(huì)受到擾動(dòng)。這些作用在結(jié)構(gòu)上的荷載，不僅隨著時(shí)間發(fā)生變化，而且具有明顯 的隨機(jī)性。而對(duì)于隨機(jī)動(dòng)力荷載下結(jié)構(gòu)響應(yīng)的問(wèn)題，確定性的動(dòng)力分析無(wú)法考慮隨機(jī)性，隨機(jī)振動(dòng)理論應(yīng)運(yùn)而生。equation chapter 1 section 1隨機(jī)振動(dòng)的物理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)早在 30年代已基本奠定。18

2、27年brown對(duì)懸浮在 水中微小花粉粒子雜亂運(yùn)動(dòng)的觀察，為最早的系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)激勵(lì)響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究。19世紀(jì)后期maxwell和boltzmann用統(tǒng)計(jì)方法描述系統(tǒng)可能狀態(tài)和達(dá)到的概率， 但沒有考慮統(tǒng)計(jì)隨時(shí)間的演化。1919年rayleigh用“隨機(jī)振動(dòng)” 一詞描述一等 價(jià)于平面隨機(jī)行走的聲學(xué)問(wèn)題。用隨機(jī)方法研究動(dòng)力學(xué)行為始于1905年，einstein從理論上解釋了 brown運(yùn)動(dòng)，1915年smoluchowski擴(kuò)展了 einstein的結(jié)果 并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。1908年langevin導(dǎo)出含有隨機(jī)項(xiàng)的微分方程，成為隨機(jī)微分 方程的第一個(gè)例子，fokker于1915年、plank于1917年、

3、k o ji m o r市1931b 年、伊藤于1946年都對(duì)隨機(jī)微分方程的研究作出貢獻(xiàn)。1933年a h a p。等應(yīng)b 用隨機(jī)微分方程討論隨機(jī)擾動(dòng)下一般動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。1920年taylor引入相關(guān)函數(shù)概念，wiener于1930年和x n h q# 1934年分別建立了譜的理論，這些數(shù) 學(xué)工具首先應(yīng)用于通訊和控制系統(tǒng)而不是結(jié)構(gòu)和機(jī)械的強(qiáng)度分析，因?yàn)楣こ碳夹g(shù)尚無(wú)此要求。隨機(jī)振動(dòng)的研究始于 50年代中期。由于噴氣和火箭技術(shù)的發(fā)展在 航空和航天工程中提出一系列問(wèn)題，如大氣湍流引起的飛機(jī)顫振，噴氣噪音導(dǎo)致 的飛行器表面結(jié)構(gòu)聲疲勞，傳動(dòng)系統(tǒng)中滾動(dòng)件不光滑而嚙合不完善的損傷積累， 火箭推進(jìn)中運(yùn)載工具

4、有效負(fù)載可靠性等，都促使研究者運(yùn)用已有數(shù)學(xué)工具，并借鑒這些工具在通訊等學(xué)科中的應(yīng)用以解決面臨的工程問(wèn)題。miles于1954年和powell于1955年分別研究了飛行器結(jié)構(gòu)顫振損傷積累的時(shí)間無(wú)規(guī)和空間漲落。1955年morrow和muchmore把譜分析引進(jìn)隨機(jī)振動(dòng)并建立了結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)等基 本概念。1957年erigen研究了連續(xù)體的隨機(jī)振動(dòng)并討論振型相關(guān)性。1958年crandall主編隨機(jī)振動(dòng)的出版標(biāo)志著隨機(jī)振動(dòng)這一振動(dòng)力學(xué)分支的誕生。60年代以來(lái)，隨機(jī)振動(dòng)在應(yīng)用和理論方面都發(fā)展迅速。振動(dòng)測(cè)試技術(shù)是隨機(jī)振動(dòng)應(yīng) 用的前提。在70年代之前基本采用模擬式儀器。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展及1965年

5、cooley和tukky發(fā)明快速fourier變換算法，70年代以來(lái)數(shù)字式測(cè)試設(shè)備廣泛采用。在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)的識(shí)別與診斷及隨機(jī)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)技術(shù)有很大發(fā)展，應(yīng)用范圍也愈來(lái)愈廣泛，由飛機(jī)和火箭擴(kuò)展到汽車、船舶及高層建筑、海洋工程結(jié) 構(gòu)等。在理論研究中，非線性隨機(jī)振動(dòng)備受重視。1959年caughey研究提出隨機(jī)等效線性化方法，而該方法在 1954年便被booton應(yīng)用于控制系統(tǒng)。1961年 crandall 建立隨機(jī)攝動(dòng)法。1966 年以后，stratonovich、khasminskii、papanicolaou 與kohler等發(fā)展了隨機(jī)平均法。結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析，一方面要研究隨機(jī)激勵(lì)模型，地震、海浪

6、、風(fēng)等荷載形 式都是極為復(fù)雜的，模擬這些隨機(jī)動(dòng)力荷載，即要掌握大量的數(shù)據(jù)資料，也要把 握其內(nèi)在的物理機(jī)制，這些工作都不是輕而易舉能夠解決的；另一方面研究隨機(jī)振動(dòng)分析方法。對(duì)于線性的結(jié)構(gòu)，由于服從疊加原理，能夠較為容易的解決。而 非線性結(jié)構(gòu)，對(duì)于實(shí)際的結(jié)構(gòu)，即使是確定性的動(dòng)力問(wèn)題，都是難以求解的，隨 機(jī)振動(dòng)更是困難。1.隨機(jī)結(jié)構(gòu)激勵(lì)的一般模型隨機(jī)激勵(lì)的一般模型可分為平穩(wěn)模型和非平穩(wěn)模型兩種。平穩(wěn)模型就是平穩(wěn) 隨機(jī)過(guò)程。結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)的平穩(wěn)模型記為 fs(t),則fs(t)的均值是常數(shù)、相關(guān)函 數(shù)只依賴于時(shí)間差，即mfs (t)= mfs , rfs(t1,t2)= rfs(t) (t = t2-

7、t1)(1.1)當(dāng)mf(t)=0時(shí)，fs(t)的相關(guān)函數(shù)與其譜密度sf(w)之間有如下關(guān)系：rfs()=:生('甘 d-；-(1.2)1sfs( ) = - .:;rfs( )e d即rfs和sfs構(gòu)成fourier變化對(duì)。當(dāng)mf)1 0時(shí)，fs(t)的協(xié)方差函數(shù) 展與其sfs(。)之間有上述關(guān)系式(1.2)。對(duì)于結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)的平穩(wěn)模型，我們只要知道它的均值和相關(guān)函數(shù)、或者均值和譜密度就可完全確定這個(gè)模型的統(tǒng)計(jì)特性。在確定具體的結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)平穩(wěn) 模型時(shí)，我們總是根據(jù)大量的實(shí)測(cè)時(shí)程曲線去統(tǒng)計(jì)確定均值和相關(guān)函數(shù)的具體表 達(dá)形式、或者均值和譜密度的具體表達(dá)形式，二者只要知道其中一個(gè)，即可由關(guān)

8、系式(1.2)求得另一個(gè)。不同的平穩(wěn)隨機(jī)模型主要反映在相關(guān)函數(shù)或譜密度的具體 表達(dá)形式上的不向。結(jié)構(gòu)隨機(jī)激勵(lì)的平穩(wěn)模型就是非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，可以分為兩類：均勻調(diào)制非平穩(wěn)模型和調(diào)制非平穩(wěn)模型。(1)均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)模型：這種隨機(jī)模型又稱為可分離式非平穩(wěn)隨機(jī)模 型，它可以表示為確定性函數(shù)與平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的乘積，即f«)= f(t)fs(t)(1.3)式中f (t)是表示隨機(jī)激勵(lì)非平穩(wěn)特性的確定性函數(shù)；fs (t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。假定用英型(1.3)中f(t)的均值mf (t)= 0因此,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程fs(t)的均值m,(t)= 0。 對(duì)于均值不為零的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)f'(t),我們?nèi)?/p>

9、f(t)= f'(t)- mf,(t),從而有模型 (1.3)的形式。當(dāng)已知fs(t)的相關(guān)函數(shù)rid或者譜密度&儂)時(shí)，非平穩(wěn)隨機(jī)干 擾f (t)的相關(guān)函數(shù)和譜密度可容易地求得為rf(t)= f & )f，2 )rs(t) (1.錯(cuò)誤!未找到引用源。)2sf( ) = f t sfs( )(1.5)與平穩(wěn)隨機(jī)模型類似，非平穩(wěn)隨機(jī)模型的統(tǒng)計(jì)特性也完全由其均值和相關(guān)函 數(shù)或者是均值和譜密度所確定。在工程實(shí)際中，為了建立起這種隨機(jī)激勵(lì)的非平 穩(wěn)模型，在大量實(shí)測(cè)記錄統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上，首先合理確定平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程rfs(t)統(tǒng)計(jì)特性一一相關(guān)函數(shù)或者譜密度，其次合理確定反映該隨機(jī)干擾

10、非平穩(wěn)待性 的確定性函數(shù)f(t)。(2)調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)模型：這種非平穩(wěn)隨機(jī)模型可以表示為 ¥ ,f(t)= 0? a(t,w)e-lwtdz(w)(1.6)式中a(t,w)是時(shí)間t和頻率w的確定性函數(shù)，稱為調(diào)制函數(shù)；z(w)是均值為零的正交增量過(guò)程，它通過(guò)下式與某個(gè)平穩(wěn)過(guò)程 rf«)聯(lián)系起來(lái): s(1.7)隹 2|z(w)= sfs (w)dw式中sfs(w)是fs的譜密度。這里假定模型(1.6)中f)的均值mf (t)= 00對(duì)于均值不為零的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)f'(t),總可以取f(t)= f'(t)- mf.(t),從而有模型(1.6)的形式。調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)

11、模型的相關(guān)函數(shù)和譜密度可分別表示為rf (32)= 61 a(ti，w)a* (t2,w)sfs (w)ew(t2-tl)dw(1.8)，、 ，、2 ，、 ，一sf (t,w)= a(t,w) sfs (w)(1.9)式中*表示復(fù)共腕。因此，調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)模型的統(tǒng)計(jì)特性完全由調(diào)制函數(shù) a(t,w)和平穩(wěn)過(guò)程fs (t)統(tǒng)計(jì)特性一一相關(guān)函數(shù)或譜密度完全確定。1.1.脈動(dòng)風(fēng)速隨機(jī)模型風(fēng)荷載是高聳結(jié)構(gòu)(如煙囪、電視塔、輸電線塔和桅桿等卜高層建筑、大跨 和橋梁結(jié)構(gòu)等的主要荷載。作用于結(jié)構(gòu)的風(fēng)力主要與風(fēng)速有關(guān)。脈動(dòng)風(fēng)速的隨機(jī)模型：實(shí)測(cè)資料表明，在一次大風(fēng)過(guò)程中，在風(fēng)速最強(qiáng)的時(shí) 段內(nèi)，任意固定高度處的風(fēng)速

12、總是圍繞其平均值平穩(wěn)地變化， 因此，風(fēng)速v(乙t)可 以分解為兩部分：平均風(fēng)速va(z)和脈動(dòng)風(fēng)速vd(z,t),即風(fēng)速可以表示為v(z,t)= va (z)+ vd (z,t)(1.10)平均風(fēng)速沿高度的變化規(guī)律一般符合指數(shù)律或?qū)?shù)律。(1)指數(shù)律：根據(jù)實(shí)測(cè)結(jié)果的分析，davenport等人提出的指數(shù)律可以表示 為(1.11)"s式中zs和uas分別是標(biāo)準(zhǔn)高度及標(biāo)準(zhǔn)高度處的平均風(fēng)速；a是地面粗糙度(指數(shù)律用)。地面粗糙的程度愈大，a亦愈大。(2)對(duì)數(shù)律：根據(jù)近地風(fēng)速摩擦層的理論研究和實(shí)測(cè)結(jié)果的分析，tah a h h等人提出的對(duì)數(shù)律可以表示為(1.12)va (z) = lnz-

13、lnz0vas1nzs- 1nz°式中z0是風(fēng)速等于零的高度，隨地面粗糙程度而變化，因而也稱為地面粗糙度(對(duì) 數(shù)律用)。地面粗糙的程度愈大、z0愈大。脈動(dòng)風(fēng)速是隨機(jī)的，可以用隨機(jī)過(guò)程來(lái)表示，而且大量的實(shí)測(cè)分析結(jié)果表明， 它是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，且由(1.10)知，脈動(dòng)風(fēng)速的均值是零。利用風(fēng)速實(shí)測(cè)記錄統(tǒng)計(jì)確定脈動(dòng)風(fēng)速的相關(guān)函數(shù)或譜密度的方法通常有兩種：一種是將強(qiáng)風(fēng)記錄進(jìn)行相關(guān)分析直接得到相關(guān)曲線，然后通過(guò)曲線擬合求得相關(guān)函數(shù)的具體表達(dá)形式；另一種是將強(qiáng)風(fēng)記錄通過(guò)超低頻濾波器直接得到譜曲 線，然后通過(guò)曲線擬合求得譜密度的具體表達(dá)形式。1.2.地震地面運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)模型由于地震發(fā)生、震源機(jī)制、傳播途

14、徑與場(chǎng)地條件等因素的隨機(jī)性，使觀測(cè)地震動(dòng)加速度時(shí)程具有顯著的隨機(jī)性。 地震動(dòng)的隨機(jī)性包括兩個(gè)層面：一是地震活 動(dòng)的隨機(jī)性，地震活動(dòng)性指的是地震活動(dòng)的時(shí)、空、強(qiáng)度和頻度的規(guī)律；另一層 面是地震動(dòng)過(guò)程的隨機(jī)性?；陔S機(jī)過(guò)程理論研究地震動(dòng)源于真實(shí)強(qiáng)震記錄的獲 得，1947年housner針對(duì)強(qiáng)震記錄所表現(xiàn)出的強(qiáng)烈不規(guī)則性，提出用隨機(jī)過(guò)程 理論解釋和描述地震動(dòng)的加速度時(shí)程。至今，已有多種隨機(jī)地震動(dòng)模型提出。按 所提出的隨機(jī)地震動(dòng)模型平穩(wěn)與否，可以將現(xiàn)有的描述地震動(dòng)隨機(jī)性的方法歸納 為平穩(wěn)地震動(dòng)隨機(jī)模型和非平穩(wěn)地震動(dòng)模型。鑒于非平穩(wěn)模型的不成熟性，在此只討論平穩(wěn)模型。(1)時(shí)域平穩(wěn)模型1947年，hou

15、sner提出用平穩(wěn)脈沖序列模擬真實(shí)地震動(dòng)， 假定地震動(dòng)加速度 可以簡(jiǎn)化成一系列集中脈沖的集合，每個(gè)脈沖的大小一定，但到達(dá)時(shí)刻是隨機(jī)的， 其分布是均勻的。加速度的表達(dá)式為：ag(t)= ? vd(t- t)(1.13)i式中，ag(t)為t時(shí)刻的加速度，v表示集中速度脈沖，d(t)為dirac函數(shù)， ti表示第i個(gè)脈沖的到達(dá)時(shí)刻。盡管這個(gè)模型存在著一些問(wèn)題，但作為一個(gè)開創(chuàng) 性工作是值得充分肯定的。goodman等推廣了 housner的概念，仍然假定地震動(dòng) 加速度為一系列集中脈沖，但不僅每個(gè)脈沖的到達(dá)時(shí)刻是隨機(jī)的， 而且大小也是 隨機(jī)的。彼此獨(dú)立，有相同的分布。時(shí)域平穩(wěn)模型只能在現(xiàn)象上獲得和真實(shí)

16、地震 動(dòng)相似的時(shí)間序列，但是真實(shí)地震動(dòng)的特征，如能量在頻域的分布等，無(wú)法通過(guò) 這種方法體現(xiàn)。因此，在工程上時(shí)域平穩(wěn)模型沒有得到廣泛的應(yīng)用。(2)頻域平穩(wěn)模型和時(shí)域上模擬相比，在頻域上進(jìn)行地震動(dòng)模擬的研究更為活躍。 針對(duì)地震動(dòng) 加速度時(shí)程功率譜并不是常數(shù)這一特點(diǎn)，kanai提出了過(guò)濾白噪聲模型。他假定基巖傳來(lái)的地震波是白噪聲，基巖上的土層為單自由度體系，求這個(gè)單自由度體 系的絕對(duì)加速度功率譜，并用這個(gè)譜來(lái)模擬地表加速度功率譜。譜的表達(dá)式為：sa (w)=(1.14)式中，wa,xa分別為場(chǎng)地土卓越頻率和阻尼比，s0為白譜強(qiáng)度，這個(gè)譜具有 g g單峰形狀。后來(lái)tajimi用上式求解了建筑物結(jié)構(gòu)的最

17、大反應(yīng)。1964年，housner 和jennings根據(jù)美國(guó)若干地震動(dòng)記錄確定了 kanai公式中的參數(shù)，并證明了無(wú)阻 尼速度反應(yīng)譜和功率譜有近似關(guān)系。由kanai-tajimi模型可容易地得到地面運(yùn)動(dòng)速度和位移的功率譜函數(shù)(1.15)(1.16)2sv(w) = w sa (w)4，、sx(w) = w sa(w)但是，當(dāng)w=0時(shí)，sv(w)和sx(w)出現(xiàn)明顯的奇異點(diǎn)，它使地面速度和位移 無(wú)界，這顯然是與實(shí)際不符合的。為了克服這一缺點(diǎn)，胡聿賢和周錫元引入一低頻減量風(fēng)，提出一種修正模型:sa(w)=42wg + (2xgwgw)(w2-2、22w ) + (2xgwgw)njwsk n n

18、 s0w + w c(1.17)式中，$0為白噪聲功率譜密度;x為地基過(guò)濾器阻尼比；w為地基過(guò)濾器圓頻 g g率；wc為低頻減量；n為參數(shù),取46。為了保持kanai-tajimi譜的原有特征, 低頻的模型：ruiz和penzien建議了另外一種削減sa(w)= 一 (1-22 w1+ 4xg wg4 w4 w122示2w、2“ 2 ww、22) + 4xg2 (1 -2) +ww wgg12 so “ 2 w 4天2w1(1.18)其中，頻率參數(shù)w和阻尼參數(shù)x1是為了給出所需要的過(guò)濾特征而選擇的。針對(duì)過(guò)濾白噪聲模型無(wú)法反映基巖加速度頻率特性的問(wèn)題，松島豐在過(guò)濾白噪聲模型的基礎(chǔ)上，將基巖地震動(dòng)

19、的譜密度由白噪聲過(guò)程修正為馬爾柯夫有色 譜：sa (w)=2 w21+ 4xg2wg2(1- w2)2+wg2/ 2 w 彳4xg 2 1 +wg1 s2 s0w2wh(1.19)式中，wh是反映基巖特性的譜參數(shù)，可取為 wh = 8p (rad/s),這一模型仍然有 kanai譜同樣的缺點(diǎn)，即地面速度和位移的方差無(wú)界。由上述隨機(jī)地震動(dòng)模型可以看出，以平穩(wěn)過(guò)程功率譜密度函數(shù)描述的隨機(jī)地 震動(dòng)模型的發(fā)展，實(shí)際上是一個(gè)基于白噪聲模型或過(guò)濾白噪聲的改進(jìn)過(guò)程。同時(shí)應(yīng)該指出，過(guò)于復(fù)雜的模型形式并沒有在本質(zhì)上改善模型精度，反而是形式最簡(jiǎn) 單的kanai-tajimi模型應(yīng)用最廣泛。雖然，該模型積分將使地面

20、速度和位移功率 譜無(wú)界，但是由于現(xiàn)在更多的將隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到時(shí)域處理，該缺點(diǎn)已經(jīng)顯得無(wú)足輕重。但是，當(dāng)w= 0時(shí)，sv(w)和sx(w)出現(xiàn)明顯的奇異點(diǎn)，它使地面速度 和位移無(wú)界，這顯然是與實(shí)際不符合的。2 .線性體系隨機(jī)振動(dòng)的反應(yīng)分析2.1. 單自由度體系的隨機(jī)振動(dòng) 時(shí)域分析(20)單自由度體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為：mu&t) + ci&t) + ku(t) = p(t)式中m為質(zhì)量，c為阻尼，k為剛度，p(t)為外力，u(t)為質(zhì)點(diǎn)位移響應(yīng)。將上 式兩邊同除以m ,可寫成常用的標(biāo)準(zhǔn)形式，&t) + 2%w1i&t) + w：u=f(t)(21)式中：w1= j

21、k,單自由度體系的自振頻率; mxi =c2 *m，阻尼比；f(t) =p(t)m單位質(zhì)量的外激勵(lì)。對(duì)于大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)而言，x1 = 1 ,此時(shí)方程的解為:> j.1 t- xw (t- t ),u(t)= 蟒(t)h(t- t)dt = o f(t)e 11( ,sinw1(t- t)dt (22)式中：1- x w th(t) =:e 1 1 sinw1,t ? 0(23)必?cái)?shù)學(xué)期望:(24)¥eu(t)= 0? ef(t- ti)h(ti)dt1自相關(guān)函數(shù):ru(ti，t2)= eu(t)u(t2)= 蝌 ？ ef(ttjft- t2)小(t，小(t2)dtidt2(25

22、)=蛆? rf(l - tj- ti)h(ti)h(t2)dtidt2由以上兩式，只要輸入 ef(t- t1)、rf(t1 - t1,t2- t2)已知，通過(guò)脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t),即可求出有關(guān)的值。如果f(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則ef(t- t1)及rf(t1- t1,t2- t2)與t無(wú)關(guān)，通過(guò)積分后，仍然與t無(wú)關(guān)，即輸入是 平穩(wěn)的，輸出亦是平穩(wěn)的。同理，輸入如是各態(tài)歷經(jīng)的，則輸出亦是各態(tài)歷經(jīng)的。頻域分析在時(shí)間域計(jì)算統(tǒng)計(jì)值一般比較復(fù)雜，常涉及繁瑣的積分運(yùn)算，因而常把它變 換到頻域中去，可有一定的簡(jiǎn)化。利用維納-辛欽關(guān)系式可得頻域的功率譜密度 為：sx(w)=12p-iwt 一o? ruedt?

23、1- iwt2"蝌? ? rf(t + ti- t2)h(ti)h(t2)edtidt2dtpiwt- iwt蝌 h(ti)e dtig ? h(t2)e2dt 2g? ? sf (w)eiwtdt(26)¥o?h (i w) sf(w)eiwtdw式中:¥(27)(28)-iwth (iw) = 0? h(t )e dt6? h (i w)eiwtdw1h(t)= -2ph (i w)是h(t)的傅立葉變換。h(t)是系統(tǒng)對(duì)于單位脈沖函數(shù)(即6函數(shù))的 響應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)。因此h(iw)亦有相應(yīng)的意義。實(shí)質(zhì)上，因?yàn)?h(iw)是f(t -s會(huì)由 即f(t) =

24、eiwt = 1時(shí)、系統(tǒng)的位移響應(yīng)u(t),因此，如設(shè)輸入f(t)= eiwt時(shí)，系統(tǒng)的平穩(wěn)響應(yīng)為：y(t) = h(iw)eiwt(29)h(t)是系統(tǒng)對(duì)于單位脈沖函數(shù)的響應(yīng)，稱為脈沖響應(yīng)，表征著時(shí)域內(nèi)的響應(yīng)特性，如果取f(t)=eiwt = 1時(shí)的系統(tǒng)的位移響應(yīng)，表征著頻域內(nèi)的響應(yīng)特性， 一般我們稱它為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(或頻率響應(yīng)函數(shù))。因此線性系統(tǒng)的特性可以 用脈沖響應(yīng)或者頻率響應(yīng)來(lái)表示。當(dāng)系統(tǒng)輸入 f(t)時(shí)，通過(guò)h(iw)的傳遞可得出 輸出的響應(yīng)，對(duì)于位移響應(yīng)u(t)來(lái)說(shuō)，它表示了振幅的放大率，因此頻率響應(yīng)函 數(shù)也常稱為傳遞函數(shù)。對(duì)于單自由度體系：傳遞函數(shù)可表示為：1h (i w) =

25、 -2 w1 - w + i 2xw1w(30)輸入f (t)為白噪聲時(shí)的響應(yīng)(31)當(dāng)輸入f(t)為白噪聲時(shí)，其功率譜密度應(yīng)為：sf (w) = s0- ? w<由于很多物理現(xiàn)象如地震等，可以用白噪聲近似地來(lái)表達(dá)，它具有很簡(jiǎn)單的 功率譜，即功率譜密度為常數(shù)，如公式(31)所示，所以是理論分析經(jīng)常利用的平 穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)模型。位移響應(yīng)的功率譜密度可以表示為：2su(w) = h (iw) sf(w)由于eu = 0,所以方差值等于均方值，即:s2 = du = eu2 = ru(0)=¥q? su(w)dw=2 6 ?w1dw(33)pso2xw132.2. 多自由

26、度體系的隨機(jī)振動(dòng)(34)多自由度體系的振動(dòng)方程應(yīng)為:m&&+ cu&+ ku = p(t)(35)(36)最常用的解法是振型分解法，由于它具有正交性，因而根據(jù)需要，用很少幾項(xiàng), 就能有效的描述所求的位移響應(yīng)。設(shè)位移按振型分解為：u = <dq式中中為振星，q為廣義坐標(biāo)。將上式代入(34),并利用正交性，可以得到：mq&+ cq&+ kq = p (t)式中：m =tm ，c=tc，k =tk，p (t)=tp(t)(37)上式中m、c、k、p依次表示廣義質(zhì)量、廣義阻尼(設(shè)為瑞雷阻尼)、廣義剛度、 廣義荷載，除p外其它矩陣均為對(duì)角矩陣。根據(jù)對(duì)角矩陣的

27、特點(diǎn)，上式可以變成 若干個(gè)振型計(jì)算結(jié)果的疊加。對(duì)于第j個(gè)振型，上式為：mjqj cjqj y=pj(t)(38)或：.2pj(t)qj 2 j ,瓶=j=fj(t)(39)m j對(duì)于n個(gè)自由度的體系，這樣的獨(dú)立方程共有n個(gè)。對(duì)于位移響應(yīng)，由式(35),可得：nu(t)- j z qj(t)(40)j i為了表示廣泛起見，對(duì)于某處任何響應(yīng)量 r(z,t)可表示為：nr(z,t) ='、aj(z)qj(t)(41)j i式中aj(z)為第j個(gè)振型，的響應(yīng)函數(shù)，它等于第j個(gè)振型上的慣性力m j«j2*j (z) 所引起響應(yīng)量。經(jīng)簡(jiǎn)化可得到：n¥(42)r(z,t) = ?

28、 aj(z)fj(t- ti)hj(ti)dti j = i'n ¥r(z,t+ t)= ? ak(z) 6, fk(t + t - t2)hk(t2)dt2 k= 1- -因此，自相關(guān)函數(shù)可表示為：rr(z,t) = er(z,t)r(z,t + t)旦< n . ?(43)= 遛 蝌 ？入化小甲行 +t/t2)hj3)h<2)dtidt2j = 1 k=1相應(yīng)的譜密度公式為：c1¥- iwtsr(z,w) = 丁 0 rr(z,t)e dt2p 3?1 n n?= 丁蝌遛 ? ? aj(z)ak(z)rfjfk(t + ti- t2)hj(ti)h&

29、#171;2)e iwtdtidt2 2p - j= i k=in niwt,- iwt c= 逋aj(z)ak(z)蝌 %(tje dti/卜匕"dt 2j=i k=ii ¥ - 一、-iwt3 rg2p o? rfjfk(t 3)edt 3n n= 遛aj(z)ak(z)hj(- iw)hk(iw)sffk(w)j=i k=ij(44)對(duì)于小阻尼體系，由振型j產(chǎn)生的響應(yīng)同振型k產(chǎn)生的響應(yīng)幾乎是獨(dú)立的。這樣, 上式中各交叉項(xiàng)都相對(duì)地小，可以略去。這樣就只保留腳標(biāo)相同的各項(xiàng)，得：n2sr(z,w)? ? aj hj(iw)j = 12sff(w)j j(45)式中sff(w

30、)常寫成sf (w) 0 j jjsff (w)根據(jù)fj(t)的定義可求得： 'j' kjspp(w)fjspp(w)fjsf f (w)=fjfkmmmmj kj k式中：l sp p (w)1 nl spp (w)2nm ml spp (w) n nfj = fj1,fj2,l ,fjntspp(w) 二i ip (w) 1p (w)1mp (w)1sp p (w)1 2spp(w) 廠2廠2mspp(w)nr2(46)(47)得到功率譜密度sr(z,w),根方差sr就可以容易的寫出了，具值為各個(gè)振型影響 的疊加，即：22.2sr = .sr1 + sr2 + l + sr

31、ni蝌 a2hl(iw)(sf(w)dw +a 2,-,? a2 h 2(iw) s(w)dw + l(48)22+ o? an hn(iw) sfn(w)dw當(dāng)系統(tǒng)受到多個(gè)集中力或分布力輸入同時(shí)激振時(shí)，除了給出各個(gè)輸入的功率譜密度或相關(guān)函數(shù)外，還必須給出各個(gè)輸入之間的互譜密度或互相關(guān)函數(shù)。 只有 各個(gè)輸入毫不相關(guān)而獨(dú)立時(shí)，才可按各個(gè)輸入分別求出響應(yīng)，然后疊加。3 .非線性體系隨機(jī)振動(dòng)的反應(yīng)分析嚴(yán)格地說(shuō)，結(jié)構(gòu)體系的振動(dòng)總不同程度地具有某種非線性， 只是在小變形的 微幅振動(dòng)下大多數(shù)體系的非線性特征不明顯， 我們可以較好地用線性的模型來(lái)?yè)?述。但是，對(duì)于大變形振動(dòng)或本身含有非線性元件的體系振動(dòng)，我

32、們必須用非線性的模型來(lái)描述，并探討非線性反應(yīng)分析的相應(yīng)方法。 結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)的反應(yīng)分 析比線性的情況要復(fù)雜和困難得多.根本的原因是疊加原理對(duì)非線性振動(dòng)不適 用。由于這個(gè)原因，致使對(duì)線性振動(dòng)反應(yīng)分析非常有效的duhamel積分法和振型分解法對(duì)非線性振動(dòng)都不適用。 此外，線線性隨機(jī)振動(dòng)還有一大困難，就是體 系在正態(tài)型隨機(jī)下，由于非線性的影響，反應(yīng)也不一定是正態(tài)型的。這就使得我 們不能由反應(yīng)的二階統(tǒng)計(jì)量來(lái)直接得到反應(yīng)的概率分布。理淪上，對(duì)于非線性隨機(jī)振動(dòng)，當(dāng)體系的狀態(tài)反應(yīng)是 m a p k通程矢量時(shí)， 出于反應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度滿足 fpk方程，因此，在一定的初始條件下，我們可 以通過(guò)求解fpk方程來(lái)得

33、到反應(yīng)的概率密度，這種方法稱為fpk方程法。但是, fpk方程的解析解只對(duì)很少一類問(wèn)題才能求得，止匕外，也只有在體系的干擾是白 噪聲或過(guò)濾白噪聲的情況下，狀態(tài)反應(yīng)才是 ma p k通程矢量，因此，人們?yōu)榱?揭示一般的非線性隨機(jī)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律而不得不尋求其它的近似方法。非線性隨機(jī)振動(dòng)分析的基本方法主要有 fpk方程法、統(tǒng)計(jì)矩截?cái)喾ā㈦S機(jī)攝動(dòng)法和隨機(jī) 等價(jià)線性化法。3.1. fpk方程法由于單自由度和多自由度非線性體系在白噪聲或過(guò)濾白噪聲激勵(lì)下隨機(jī)振 動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程都可以化成ito)型狀態(tài)微分方程：(49)y&(t)= f (t),t)+ g(y (t),t)w (t)(t?t;y (t0)

34、 y 0或y0)所以體系的狀態(tài)反應(yīng)y (t)是矢量ma p k試程。因此，y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度滿 足fpk方程?？紤]非線性隨機(jī)振動(dòng)的一般狀態(tài)方程(49),令體系狀態(tài)反應(yīng)y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度為p(y,t y。上)，滿足如下fpk向前方程:?pi=1yiaky，t)p +n n2? 732 i=i j=i w %jy，t)p(50)式中導(dǎo)出矩ai (y,t)和aj(y,t)(i,j = 1,2,n )與體系的狀態(tài)方程(49)有關(guān)，其 具體表達(dá)式為：a (y,t)= fi (y,t) aij(y ,t)= 2 gdg t(51)( = 1,2. n)(i j = 1,2. n)其中是fi(y

35、,t)矢量函數(shù)f (y,t)的第i個(gè)分量；g = g (y,t) ； d = ps , s是矢量白噪聲w (t)的譜密度矩陣；|dgt jj是矩陣gdgt的第i行、第j列的元 素。fpk方程(50)的初始條件有兩種情況：1)當(dāng)狀態(tài)方程(49)的初始條件y 佃)=y0(52)是矢量隨機(jī)變量時(shí)，則fpk方程(50)的初始條件是p(y,t y。,t0)t=t0 = p(y。乙)(53)式中p(y0,t。)是矢量隨機(jī)變量y0的聯(lián)合概率密度。2)當(dāng)狀態(tài)方程(49)的初始條件y (t°)= y0(54)是矢量常量時(shí)，則fpk方程(50)的初始條件是p(y,t y。,t0)t=t0 = ?od(y

36、i- yi0)(55)fpk方程(50)的邊界條件由分布在整個(gè)實(shí)軸上的概率密度的基本性質(zhì)確定，即p(y,t y。，t0,=飽=0(i = 1,2,., n)(56)由于狀態(tài)矢量y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度p(y,t y0 ,t0)是從體系運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)y (t0)= y0轉(zhuǎn)移到x (t)= x的概率密度，因此1)當(dāng)狀態(tài)方程是式(54)那樣的確定性初始條件時(shí)，p(m y0 ,t0)就是體系狀態(tài) 欠量y (t)的概率密度。2)當(dāng)狀態(tài)方程是式(52)那樣的隨機(jī)初始條件時(shí)，則體系狀態(tài)矢量y (t)的概率 密度可由全概率公式求得為¥p(y，t)= o? p(y,t y。,to)p(y0lyy。(5

37、7)特別地，當(dāng)體系的狀態(tài)方程(49)中 fy qt)二 f(t)，g (y (t),t)= g (y (t)不顯含t時(shí)(如通常的非線性隨機(jī)振動(dòng)那樣)，則由式(51) 知，導(dǎo)出矩ai (y,t)= ai (y) aij (y,t)= aij (y)與1無(wú)關(guān)。在這種情況下，當(dāng)t變大 時(shí)反應(yīng)y (t)趨于平穩(wěn)。平穩(wěn)狀態(tài)反應(yīng)y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度p (y,t y0,t0)= ps (y) 與初始條件和時(shí)間都無(wú)關(guān)，并滿足如下穩(wěn)態(tài)的 fpk方程：n 抖左女 n n 2-蹲方副丫 )ps(y) + 2 1?1 v?taj(y，t)ps(y )= 0(58)i= i yi2 i = i j = i yi y

38、j因此，穩(wěn)態(tài)的fpk方程的求解只需要邊界條件.平穩(wěn)狀態(tài)反應(yīng)y (t)的轉(zhuǎn)移概率密度ps(y )與初始條件無(wú)關(guān)，顯然，ps(y )就 是y (t)的平穩(wěn)概率密度；止匕外，由于ps(y)與時(shí)間t無(wú)關(guān)，因此。y (t)還是嚴(yán)格 平穩(wěn)的。狀態(tài)矢量y (t)的概率密度能完整地反映體系狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的隨機(jī)信息，由 它可以求得y (t)的各階統(tǒng)計(jì)矩。非線性隨機(jī)振動(dòng)的 fpk方程法就是要通過(guò)求解 體系的狀態(tài)矢量或擴(kuò)充了的狀態(tài)矢量(在過(guò)濾白噪聲激勵(lì)下)的fpk方程來(lái)得到 狀態(tài)矢量或擴(kuò)充了的狀態(tài)矢量的聯(lián)合概率密度。因此，從理論上來(lái)說(shuō)，fpk方程法是非線性隨機(jī)振動(dòng)分析最嚴(yán)密、 最完美的方法。然而，遺憾的是，ppk方程

39、的 精確解對(duì)于非線性體系的非平穩(wěn)反應(yīng)只是在少數(shù)一階體系的情況下才能得到；即使對(duì)于平穩(wěn)反應(yīng)的情況，也只有少數(shù)幾類特殊的單自由度和多自由度體系才能得 到。因此，對(duì)于比較一般的非線性隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題，還只能用近似的分析方法。3.2. 隨機(jī)等價(jià)線性化方法隨機(jī)等價(jià)線性化法是非線性確定性振動(dòng)的等價(jià)線性化法對(duì)隨機(jī)問(wèn)題的推廣。 它的基本思想是把受隨機(jī)激勵(lì)的非線性體系的運(yùn)動(dòng)方程用一個(gè)等價(jià)的線性方程 來(lái)近似，然后使兩個(gè)方程之差的誤差項(xiàng)的某種量度最小的原則來(lái)確定等價(jià)線性方 程中的參數(shù)。這種方法既適用于弱非線性體系， 也適用于強(qiáng)非線性體系，在工程 實(shí)際中應(yīng)用較廣，是目前解決工程結(jié)構(gòu)非線性隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題最有效的方法?？紤]如下

40、單自由度非線性體系(59)(60)mx&+ g (&x)= f (t) x (0) = x(0)= 0式中激勵(lì)f (t)是任意的隨機(jī)過(guò)程。設(shè)與方程(59)等價(jià)的線性方程為mx&+ cex&+ kex = f (t) x (0) = x&(0) = 0其中的參數(shù)ce和ke稱為等價(jià)線性阻尼和等效線性剛度，它們要選擇得使構(gòu)造的等 價(jià)線性方程“最優(yōu)”地逼近原來(lái)的非線性方程 (59)的解。因此，現(xiàn)在的中心問(wèn)題 就是要在某種準(zhǔn)則下“最優(yōu)”地確定參數(shù)ce和ke。一旦這些參數(shù)確定，我們就可 以用線性隨機(jī)振動(dòng)的理論通過(guò)求等價(jià)線件體系的反應(yīng)來(lái)作為原非線性體系的近 似反應(yīng)。令

41、e(t)表示原方程(59)和等價(jià)的線性方程(60)之差的誤差項(xiàng)，即e(t)= g(x,x)- cex&- kex(61)誤差項(xiàng)e(t)是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。為了使誤差最小，等價(jià)線性化通常的準(zhǔn)則是使誤差 過(guò)程e(t )的平方的期望最小，并按此準(zhǔn)則來(lái)確定參數(shù) ce和ke o由式(61),得e(e2)= ei(x，x&)-cex&- kex2(62)根據(jù)多元函數(shù)求極值的方法，可以證明使e2e (e2)取極小的充分必要條件是-e£)=0ke(63)利用這個(gè)條件并注意期望與導(dǎo)數(shù)的可交換性，得e|g(x,x)- cee(&2)- kee(xx)= 0e|g(x，x)-

42、cee-)- kee(x2)= 0以上方程聯(lián)立求解，可得所要求的參數(shù)(64)cece3畸”)-e(xx)咋")ef)e(x2)- i(xx)；£件盧麗(人旭)-上。呼母6%)e(x2)e(x2)- i(xx)2(65)用式(65)確定參數(shù)ce和ke時(shí)，需要知道等式右邊的那些期望值。在不作任何假設(shè)的情況下，這些期望值是很難求得的，們?yōu)樗鼈円辉乱笾纗(t)和登)的 聯(lián)合概率密度p(x,t;x&t),這是未知的。當(dāng)激勵(lì)f (t)是平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，一般在平穩(wěn)反應(yīng)的狀態(tài)下來(lái)確定等價(jià)線性體系的阻尼ce和ke 。在這種情 況下，由于平穩(wěn)位移和速度反應(yīng)互不相關(guān)，即e (x (t)x

43、&t)= 0 ,于是式(65)變成cee(x2)(66)(68)(69)(70)(71)在隨機(jī)等價(jià)線性化中，通常用等價(jià)線性體系反應(yīng)的聯(lián)合概率密度代替原非線 性體系反應(yīng)的聯(lián)合概率密度來(lái)確定式(65)或(66)(中的那些期望。因此，當(dāng)激勵(lì)是 正態(tài)非平穩(wěn)或乎穩(wěn)過(guò)程時(shí)，由等價(jià)線性方程(60)可容易地確定反應(yīng)*«)和姿)的 聯(lián)合概率密度px&(x,x),然后將其代人式(65)或(66)求期望，即可求得等價(jià)阻尼ce 和ke。當(dāng)f (t )是零均值的正態(tài)過(guò)程(可以是嚴(yán)穩(wěn)或非平穩(wěn)的)時(shí)，假定g(x,x)滿足正 態(tài)截?cái)喾ǖ臈l件，令tty =僅詼 = x,x(67)則式(64)可以寫成e

44、 翻 )y t - 1 臌 t =0 可求得e !(y )t =e翻 gy)e yy t將式(69)代人式(68),兩邊右乘e - 1篇丫 t，得|ece =e|y g(y)即式(71)右端的期望可以重復(fù)利用正態(tài)截?cái)喾ń惦A，直到表示為x和)&的一階矩、二階矩和二階聯(lián)合矩的函數(shù)。由于激勵(lì) f(t)的均值是零，因此，x和x的一階矩 (均值)也為零，而它們的二階矩和二階聯(lián)合矩可容易地由等價(jià)線性方程(60)求得。由于式(65)、(66)和(71)右端的那些期望是由等價(jià)線性方程(60)求得的.因此，這些期望表達(dá)式個(gè)總含有ce和ke。為了求得ce和ke的具體值，一般需用選代法求解。對(duì)于非平穩(wěn)隨機(jī)干

45、擾的情況，由式(65)或(71)可明顯地看出，由于ce和ke, 直接與反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩有關(guān)，而非平穩(wěn)反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩是時(shí)間 t的函數(shù)，因此，體系 的等價(jià)阻尼和剛度ce = ce(t)和ke=ke(t)是隨時(shí)間變化的。這時(shí)等價(jià)阻尼和剛度 以及體系反應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩，需要從t1= dt的離散時(shí)刻起驟迭代求解，一直算到所需 要的時(shí)刻tk = kdt。由單自由體系就可以清楚了解隨機(jī)等價(jià)線性化方法，多自由體系求解不再贅述。3.3. 隨機(jī)攝動(dòng)法隨機(jī)攝動(dòng)法是非線性確定性振動(dòng)的攝動(dòng)方法對(duì)隨機(jī)問(wèn)題的直接推廣，它可用來(lái)確定弱非線性體系受隨機(jī)激勵(lì)的近似反應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩?？紤]如下單自由度非線性體系mx&+ c0x&+ k

46、x + eg (x, x) = f (t)(72)式中e= 1, f(t)是正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。按照攝動(dòng)法的基本思想，假設(shè)方程(72)的解可以展開成參數(shù)e的幕級(jí)數(shù)：(73)x(t)= xo(t)+ exl(t)+ e2x2 (t ) +將g(x,x&)在x0和x0附近展成talyor級(jí)數(shù)后，把式(73)代入方程(72),令e的同事 次項(xiàng)相等，則得如下一系列線性方程：mx% + c(x)+ kx。= f (t)mx&+ c0x& + kx1 = - g(x0,x%)(74)(75)8 o廟(xo，x%)g(xo，x&lmx& + c + kx = -x -x

47、&f q 2 揀01 x&m令是線性微分算子m 工+cd+kdt2 dt的單位脈沖反應(yīng)，則方程(74)的解可以按順序依次求得，其平穩(wěn)解可以表示為 tx0(t)= 0? h(t- t)3 (t)dt txi(t)= - o? h(t- tg(x0(t),x&(t)dt(76)m于是，體系反應(yīng)x(t)的統(tǒng)計(jì)矩可由式(73)和(76)求得。由式(73),得反應(yīng)均值ei(t)二 £翩)3|«)+&|«)+.(")式中eio(t)= o h(ti(t- t)dtei(t) = y¥h紇g(x0(t- t)，x&(t

48、- t)dt(78)m其中e jg(x0,x&)可按正態(tài)截?cái)喾ń惦A后由xo(t)和x&(t)的前二階矩表示出來(lái)，也 可按如下求期望的公式計(jì)算：ei(x0,)&)=蝌 ? g(xo,>&>(x0,x0)dx0d>&(79)由于假定激勵(lì)f (t)是正態(tài)過(guò)程，所以反應(yīng)x0(t)和&(t)也是正態(tài)過(guò)程，因此它們的平穩(wěn)聯(lián)合概率密度p(x0,x&,)由它們的一階和二階矩唯一確定。 這些一階和 二階矩可由式(76)的第一式容易地求出。由式(73)得反應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為e (< (t)x(t + t )= e (x0(t)x0(t+ t)+ ee (x0(t)xi (t