極坐標(biāo)參數(shù)方程題型歸納

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程 ( 高考真題 ) 題型歸納一、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化1.(2015 廣·東理， 14)已知直線 l 的極坐標(biāo)方程為2sin 2，點(diǎn) A 的極坐標(biāo)為 A 22，7，則點(diǎn) A44到直線 l 的距離為 _ 立意與點(diǎn)撥 本題考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的互化、點(diǎn)到直線的距離，屬于容易題解答本題先進(jìn)行極直互化，再求距離二、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化【解析】橢圓方程為：x2y 21 ，因?yàn)?sin 2 x cos2 x1，令x6 sin，則有64y2 cosX+2y= 6 sin +4 cos=6 16 sin, 最大值 22，最小值22三、根據(jù)條件求直線和圓的極坐標(biāo)方程

2、四、求曲線的交點(diǎn)及交點(diǎn)距離4 (2015 湖·北高考 )在直角坐標(biāo)系xOy 中，以 O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系已知直線lx t1，的極坐標(biāo)方程為(sin 3cos) 0，曲線 C 的參數(shù)方程為t(t 為參數(shù) )， l 與 C 相交于 A， B1兩點(diǎn)，則 |AB| _y t t【解析】直線 l 的極坐標(biāo)方程 (sin 3cos ) 0化為直角坐標(biāo)方程為3x y 0，曲線 C 的參xt1，3x y0，數(shù)方程t兩式經(jīng)過平方相減，化為普通方程為y2 x2 4，聯(lián)立1y2 x2 4y t t22x 2 ，x 2 ，2， 32， B2，3 2解得或所以點(diǎn)A.y 3 22y32

3、 2.2222所以 |AB|2223232 22 5.22 222x 1 2 t，5. 在平面直角坐標(biāo)xOy 中，已知直線l 的參數(shù)方程(t 為參數(shù) )，直線 l 與拋物線y2 4x 相2y 2 2 t，交于 A、 B 兩點(diǎn)，求線段AB 的長解析 解法 1：將 l 的方程化為普通方程得l ： x y 3， y x3，代入拋物線方程y24x 并整理得 x2 10x 90， x1 1，x2 9.交點(diǎn) A(1,2)， B(9， 6)，故 |AB |82 82 82.解法 2：將 l 的參數(shù)方程代入y2 4x 中得， (222t)，2t)2 4(12解之得 t1 0， t2 8 2， |AB| |t1

4、 t2 | 8 2.1x3 2t，6.(2015 陜·西理， 23)在直角坐標(biāo)系xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為(t 為參數(shù) )以原點(diǎn)為極點(diǎn)，3y 2 tx 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C 的極坐標(biāo)方程為 2 3sin .(1) 寫出 C 的直角坐標(biāo)方程；(2) P 為直線 l 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P 到圓心 C 的距離最小時(shí)，求P 的直角坐標(biāo) 立意與點(diǎn)撥 考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想；解答本題 (1) 需熟記極直互化公式；(2) 用參數(shù)坐標(biāo)將距離表達(dá)為 t 的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解解析 (1)由 223sin ，從而有223y，所以223sin ，得 2xy 2x (

5、y3) 3.133)，則 |PC|123t 322(2) 設(shè) P(3 t，2t)，又 C(0，3t 2t 12，22故當(dāng) t 0 時(shí)， |PC|取得最小值，此時(shí)，P 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,0)五、利用參數(shù)方程求最值( 轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想) 立意與點(diǎn)撥 ( 用三角函數(shù)作為參數(shù)，轉(zhuǎn)化成求三角函數(shù)最值問題, 著重理解轉(zhuǎn)化思維，用參數(shù)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的技巧 )8 (2015 新·課標(biāo) 高考 )在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1：x tcos ，(t 為參數(shù)， t 0)，其中 0 ，y tsin 在以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2： 2sin ， C3： 2 3cos

6、 .(1) 求 C2 與 C3 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2) 若 C1 與 C2 相交于點(diǎn) A， C1 與 C3 相交于點(diǎn) B，求 |AB|的最大值【解】 (1) 曲線 C2 的直角坐標(biāo)方程為x2 y2 2y 0，曲線 C3 的直角坐標(biāo)方程為x2y2 23x0.x2 y2 2y0，x0，x3，聯(lián)立2解得y 0，或3x2 y2 2 3x 0，y 2.3 3所以 C2 與 C3 交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (0，0)和 2 ， 2 .(2) 曲線 C1 的極坐標(biāo)方程為 ( R ， 0)，其中 0 .( 此題 C1 代表的是一條過原點(diǎn)的直線 ) 因此 A 的極坐標(biāo)為 (2sin ， )，B 的極坐標(biāo)為 (2 3co

7、s ， )所以 |AB| |2sin 2.3cos | 4 sin 3當(dāng) 5 時(shí)， |AB|取得最大值，最大值為4.69 (2015 商·丘市二模 ) 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與x 軸的正半軸重合，直線l 的極坐標(biāo)方程為： sin 1，曲線 C 的參數(shù)方程為：x2 2cos，y 2sin.62(1) 寫出直線 l 的直角坐標(biāo)方程；(2) 求曲線 C 上的點(diǎn)到直線 l 的距離的最大值1， 3113113y1 0.解析 (1) sin sin cos ，2y x ，即 l： x6222222(2) 解法一：由已知可得，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2 2cos， 2sin)，

8、所以，曲線 C 上的點(diǎn)到直線 l 的距離4cos 3d |2 2cos 2 3sin1|3 7.所以最大距離為7.2222解法二： 曲線 C 為以 (2,0)為圓心， 2為半徑的圓 圓心到直線的距離為3，所以， 最大距離為 3 27.222x2y2x 2 t10 (文 )(2014 新·課標(biāo)理， 23)已知曲線1，直線 l：(t 為參數(shù) )C： 49y 2 2t(1) 寫出曲線 C 的參數(shù)方程，直線l 的普通方程；(2) 過曲線 C 上任意一點(diǎn) P 作與 l 夾角為 30°的直線，交 l 于點(diǎn) A，求 |PA|的最大值與最小值解析 (1)曲線 C 的參數(shù)方程為x 2cos，

9、2xy 6 0.(為參數(shù) ) 直線 l 的普通方程為：y 3sin，5(2) 曲線 C 上任意一點(diǎn) P(2cos， 3sin)到 l 的距離為 d 5 |4cos3sin 6|.則 |PA| d254sin30° 5|5sin( )6|，其中 為銳角，且 tan 3.( 將 d=|AB|sin30利用三角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化化歸思想，高考考點(diǎn)考察學(xué)生思維能力)當(dāng) sin()1 時(shí)， |PA|取得最大值，最大值為2255 .當(dāng) sin() 1 時(shí)， |PA|取得最小值，最小值為255 .六、直線參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義方法一：方法二：根據(jù)直線參數(shù)方程中t 的幾何意義，可知，弦長=|t

10、1-t2|.2323得：440 ，方程化簡，然后用韋達(dá)定理求1t1 t1 t1 t5555弦長 =|t-t |=24t1t2 =.t1 t21213. (理 )在直角坐標(biāo)系 xOy 中，過點(diǎn) P( 23， 32)作傾斜角為 的直線 l 與曲線 C：x2 y21 相交于不同的兩點(diǎn) M、N.1 1(1) 寫出直線 l 的參數(shù)方程； (2)求 |PM| |PN|的取值范圍11( 根據(jù)直線參數(shù)方程中 t的幾何意義 , 用參數(shù) t表示所求量 | PM| | PN| ，然后用 t的二次方程的韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)進(jìn)而求范圍，此題較難)3tcos，解析(1)x 23 tsin ，(t 為參數(shù) )y23 t

11、cos，(2) 將x 23cos 3sin)t 2 0，3(t 為參數(shù) )代入 x2 y2 1 中，消去 x， y 得， t2 (y2 tsin.由 (6，3cos 3sin)2 8 12sin2( ) 8>0?sin( )>6631111t1 t23cos 3sin t1 t21 2 2 3sin()( 2， 3|PM |PN|t t6七、求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、求變量的值1x 32t，14.(2015 陜·西理， 23)在直角坐標(biāo)系xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為3(t 為參數(shù) )以原點(diǎn)y 2 t為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，C 的極坐標(biāo)方程為 2 3sin .(1

12、) 寫出 C 的直角坐標(biāo)方程；(2) P 為直線 l 上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P 到圓心 C 的距離最小時(shí)，求P 的直角坐標(biāo) 立意與點(diǎn)撥 考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想和函數(shù)思想；解答本題 (1) 需熟記極直互化公式；(2) 用參數(shù)坐標(biāo)將距離表達(dá)為 t 的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解2222(y3)23. 解析 (1) 由 2 3sin ，得 2 3sin ，從而有x y 23y，所以 x 133)，則 |PC|123t322，故當(dāng) t 0 時(shí)， |PC|(2) 設(shè) P(3 t，2t)，又 C(0，3t 2t 1222取得最小值，此時(shí)，P 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (3,0)( 此處用參數(shù)t 來表示所求距離，然后

13、當(dāng)作變量為t 的二次函數(shù)，求最值)15.(2016 全國卷 I) 在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為xa cost ,y1(t 為參數(shù)， a 0) 在a sin t,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C 2:4 cos（）說明 C1 是哪一種曲線，并將C1 的方程化為極坐標(biāo)方程；（）直線 C3 的極坐標(biāo)方程為0 ，其中0 滿足 tan02，若曲線 C1 與 C2 的公共點(diǎn)都在 C 3 上，求 a 【解析】：xa cost（ t 均為參數(shù)） , x2y12a2y1asin t C1為以0 ，1 為圓心， a 為半徑的圓方程為222 y12xya0 x2y22 ，

14、ysin,22sin1a20即為 C1的極坐標(biāo)方程 C2：4cos,兩邊同乘得24cosQ2x2y2 ， cosxx2y24x即x2y24 , C3 ：化為普通方程為y2 x,2由題意： C1 和 C2的公共方程所在直線即為C3得： 4 x2 y2，即為 C3,1 a 0 1 a2 0 , a 1（圓與圓交點(diǎn)所在直線的求法，聯(lián)立圓方程，兩方程相減, 可得變量的方程）16 (文 )(2015 唐·山市二模 )在極坐標(biāo)系中，曲線C： 2acos(a>0)，l ： cos 3， C 與 l 有且僅有32一個(gè)公共點(diǎn)(1) 求 a；(2) O 為極點(diǎn)， A， B 為 C 上的兩點(diǎn)，且 AOB 3，求 |OA| |OB |的最大值 解析 (1) 曲線 C 是以 (a,0)為圓心，