概率論與數理統計浙大四版 第四章2講

1、 第二節(jié) 方差 上一講我們介紹了隨機變量的數學期上一講我們介紹了隨機變量的數學期望，它體現了隨機變量取值的平均水平，望，它體現了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數字特征是隨機變量的一個重要的數字特征. 但是在一些場合，僅僅知道平均值是但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的不夠的. 例如，某零件的真實長度為例如，某零件的真實長度為a，現用甲、，現用甲、乙兩臺儀器各測量乙兩臺儀器各測量10次，將測量結果次，將測量結果x用坐用坐標上的點表示如圖：標上的點表示如圖： 若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優(yōu)若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？劣，你認為哪臺儀器好一

2、些呢？a 乙儀器測量結果乙儀器測量結果 a甲儀器測量結果甲儀器測量結果較好較好測量結果的測量結果的均值都是均值都是 a因為乙儀器的測量結果集中在均值附近因為乙儀器的測量結果集中在均值附近又如又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：彈，其落點距目標的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 . 中心中心中心中心 為此需要引進另一個數字特征為此需要引進另一個數字特征,用它用它來度量隨機變量取

3、值在其中心附近的離來度量隨機變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個數字特征就是我們這一講要介紹的這個數字特征就是我們這一講要介紹的方差方差一、方差的定義一、方差的定義 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值x-e(x)都起正面的作用都起正面的作用 由于它與由于它與x具有相同的度量單位，在實具有相同的度量單位，在實際問題中經常使用際問題中經常使用. 方差的算術平方根方差的算術平方根 稱為標準差稱為標準差)(xd設設x是一個隨機變量，若是一個隨機變量，若e(x-e(x)2，則，則稱稱d(x)=ex-e(x)2 (1)為為x的方差的方差.若若x的取值比較分散，則方差較大的取值比較分

4、散，則方差較大 .若方差若方差d(x)=0,則則r.v x 以概率以概率1取常數值取常數值 . 方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學方差刻劃了隨機變量的取值對于其數學期望的離散程度期望的離散程度 .若若x的取值比較集中，則方差較小；的取值比較集中，則方差較??；d(x)=ex-e(x)2x為離散型，為離散型，p(x=xk)=pk 由定義知，方差是隨機變量由定義知，方差是隨機變量x的函數的函數g(x)=x-e(x)2的數學期望的數學期望 .,)()(,)()(212dxxfxexpxexxdkkkx為連續(xù)型，為連續(xù)型，xf(x)二、計算方差的一個簡化公式二、計算方差的一個簡化公式 d(x)=e(x2

5、)-e(x)2 展開展開證：證：d(x)=ex-e(x)2=ex2-2xe(x)+e(x)2=e(x2)-2e(x)2+e(x)2=e(x2)-e(x)2利用期望利用期望性質性質請自己用此公式計算常見分布的方差請自己用此公式計算常見分布的方差.例例1 設設r.v x服從幾何分布，概率函數為服從幾何分布，概率函數為p(x=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n其中其中0p0,2 或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越越小，則事件小，則事件|x-e(x)| 的概率越大，即的概率越大，即隨機變量隨機變量x集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.2 22

6、1| )(| xexp22| )(| xexp由此可體會方差的概率意義：由此可體會方差的概率意義：它刻劃了隨機變量取值的離散程度它刻劃了隨機變量取值的離散程度.當方差已知時，切比雪夫不等式給出了當方差已知時，切比雪夫不等式給出了r.v x與它的期望的偏差不小于與它的期望的偏差不小于 的概率的估的概率的估計式計式 . 如取如取 322| )(| xexp111. 093| )(|22xexp 可見，對任給的分布，只要期望和方差可見，對任給的分布，只要期望和方差 存在，則存在，則 r.v x取值偏離取值偏離e(x)超過超過 3 的的概率小于概率小于0.111 .2 例例5 已知正常男性成人血液中，

7、每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數平均是白細胞數平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用利用切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在切比雪夫不等式估計每毫升白細胞數在52009400之間的概率之間的概率 .解：設每毫升白細胞數為解：設每毫升白細胞數為x依題意，依題意，e(x)=7300,d(x)=7002所求為所求為 p(5200 x 9400) p(5200 x 9400) =p(5200-7300 x-7300 9400-7300) = p(-2100 x-e(x) 2100)2)2100()(1xd = p |x-e(x)| 2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 p

8、 |x-e(x)| 21002)2100700(198911即估計每毫升白細胞數在即估計每毫升白細胞數在52009400之間的之間的概率不小于概率不小于8/9 . 例例6 在每次試驗中，事件在每次試驗中，事件a發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時，需要多么大時，才能使得在才能使得在n次獨立重復試驗中次獨立重復試驗中, 事件事件a出現的出現的頻率在頻率在0.740.76之間的概率至少為之間的概率至少為0.90?解：設解：設x為為n 次試驗中，事件次試驗中，事件a出現的次數，出現的次數，e(x)=0.75n, 的最小的的最小的n .900

9、760740.).(nxp則則 xb(n, 0.75)所求為滿足所求為滿足d(x)=0.75*0.25n=0.1875n =p(-0.01nx-0.75n 0.01n)2)01. 0()(1nxd = p |x-e(x)| 0.01n20001. 01875. 01nnn18751 p(0.74n x0.76n )76. 074. 0(nxp)76. 074. 0(nxp可改寫為可改寫為在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，則，則0.01 = p |x-e(x)| 0.01n187509 . 011875n解得解得依題意，取依題意，取9 . 018751n 即即n 取取18750時，可以使得在時，可以使得在n次獨立重復次獨立重復試驗中試驗中, 事件事件a出現的頻率在出現的頻率在0.740.76之間的之間的概率至少為概率至少為0.90 .這一講，我們介紹了隨機變量的方