概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙大四版 第四章2講

1、 第二節(jié) 方差 上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期上一講我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征. 但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的不夠的. 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果x用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一

2、些呢？a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好測(cè)量結(jié)果的測(cè)量結(jié)果的均值都是均值都是 a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如又如,甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢你認(rèn)為哪門(mén)炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . 中心中心中心中心 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它用它來(lái)度量隨機(jī)變量取

3、值在其中心附近的離來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度散程度.這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差方差一、方差的定義一、方差的定義 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值x-e(x)都起正面的作用都起正面的作用 由于它與由于它與x具有相同的度量單位，在實(shí)具有相同的度量單位，在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常使用際問(wèn)題中經(jīng)常使用. 方差的算術(shù)平方根方差的算術(shù)平方根 稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)差)(xd設(shè)設(shè)x是一個(gè)隨機(jī)變量，若是一個(gè)隨機(jī)變量，若e(x-e(x)2，則，則稱(chēng)稱(chēng)d(x)=ex-e(x)2 (1)為為x的方差的方差.若若x的取值比較分散，則方差較大的取值比較分

4、散，則方差較大 .若方差若方差d(x)=0,則則r.v x 以概率以概率1取常數(shù)值取常數(shù)值 . 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度期望的離散程度 .若若x的取值比較集中，則方差較??；的取值比較集中，則方差較??；d(x)=ex-e(x)2x為離散型，為離散型，p(x=xk)=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量由定義知，方差是隨機(jī)變量x的函數(shù)的函數(shù)g(x)=x-e(x)2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望 .,)()(,)()(212dxxfxexpxexxdkkkx為連續(xù)型，為連續(xù)型，xf(x)二、計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式二、計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式 d(x)=e(x2

5、)-e(x)2 展開(kāi)展開(kāi)證：證：d(x)=ex-e(x)2=ex2-2xe(x)+e(x)2=e(x2)-2e(x)2+e(x)2=e(x2)-e(x)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)請(qǐng)自己用此公式計(jì)算常見(jiàn)分布的方差請(qǐng)自己用此公式計(jì)算常見(jiàn)分布的方差.例例1 設(shè)設(shè)r.v x服從幾何分布，概率函數(shù)為服從幾何分布，概率函數(shù)為p(x=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,，n其中其中0p0,2 或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越越小，則事件小，則事件|x-e(x)| 的概率越大，即的概率越大，即隨機(jī)變量隨機(jī)變量x集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.2 22

6、1| )(| xexp22| )(| xexp由此可體會(huì)方差的概率意義：由此可體會(huì)方差的概率意義：它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度它刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v x與它的期望的偏差不小于與它的期望的偏差不小于 的概率的估的概率的估計(jì)式計(jì)式 . 如取如取 322| )(| xexp111. 093| )(|22xexp 可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差可見(jiàn)，對(duì)任給的分布，只要期望和方差 存在，則存在，則 r.v x取值偏離取值偏離e(x)超過(guò)超過(guò) 3 的的概率小于概率小于0.111 .2 例例5 已知正常男性成人血液中，

7、每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率之間的概率 .解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為x依題意，依題意，e(x)=7300,d(x)=7002所求為所求為 p(5200 x 9400) p(5200 x 9400) =p(5200-7300 x-7300 9400-7300) = p(-2100 x-e(x) 2100)2)2100()(1xd = p |x-e(x)| 2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 p

8、 |x-e(x)| 21002)2100700(198911即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的之間的概率不小于概率不小于8/9 . 例例6 在每次試驗(yàn)中，事件在每次試驗(yàn)中，事件a發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 0.75, 利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時(shí)，需要多么大時(shí)，才能使得在才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件事件a出現(xiàn)的出現(xiàn)的頻率在頻率在0.740.76之間的概率至少為之間的概率至少為0.90?解：設(shè)解：設(shè)x為為n 次試驗(yàn)中，事件次試驗(yàn)中，事件a出現(xiàn)的次數(shù)，出現(xiàn)的次數(shù)，e(x)=0.75n, 的最小的的最小的n .900

9、760740.).(nxp則則 xb(n, 0.75)所求為滿(mǎn)足所求為滿(mǎn)足d(x)=0.75*0.25n=0.1875n =p(-0.01nx-0.75n 0.01n)2)01. 0()(1nxd = p |x-e(x)| 0.01n20001. 01875. 01nnn18751 p(0.74n x0.76n )76. 074. 0(nxp)76. 074. 0(nxp可改寫(xiě)為可改寫(xiě)為在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，則，則0.01 = p |x-e(x)| 0.01n187509 . 011875n解得解得依題意，取依題意，取9 . 018751n 即即n 取取18750時(shí)，可以使得在時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中試驗(yàn)中, 事件事件a出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的之間的概率至少為概率至少為0.90 .這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方