高等數(shù)學(xué)大學(xué)課件 82

1、第八章第八章 重積分重積分第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算（1）如果積分區(qū)域?yàn)椋海┤绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,bax型型)(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy ., 0),(,),(連續(xù)連續(xù)其中其中考慮考慮 yxfzdyxfd x型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).由幾何意義知由幾何意義知,),(),(為為頂頂表表示示以以yxfzdyxfd 以以d為底的曲頂柱體體積為底的曲

2、頂柱體體積v. 如圖如圖.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)x0作平面作平面x= x0,截面是平面截面是平面x= x0上的上的, 以以z=f (x0, y)為曲邊的曲邊梯形為曲邊的曲邊梯形. 由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義, )()(000201,),()(xxdyyxfxa )()(21.),()(,xxdyyxfxa 一一般般zx0ydz=f (x, y)z=f (x0, y)x0ab)(2xy )(1xy )(02x )(01x 從而從而, baxxbadxdyyxfdxxav,),()()()(21 故故 baxxddxdyyxfdyxf),(),()()(21 右端稱為先對(duì)右端稱為先對(duì) y , 再對(duì)再對(duì)

3、 x 的二次積分的二次積分(累次積分累次積分).計(jì)算原則計(jì)算原則: 由里到外由里到外.即先將即先將x 看作常數(shù)看作常數(shù), 以以y 為積為積分變量分變量, 求里層積分求里層積分.得到的結(jié)果是只含得到的結(jié)果是只含x, 不含不含 y 的函數(shù)式的函數(shù)式, 再求外層積分再求外層積分(以以x為積分變量為積分變量).注注1. 公式公式 baxxddxdyyxfdyxf),(),()()(21 雖是在條件雖是在條件 f (x, y) 0下得到的下得到的, 但對(duì)一般但對(duì)一般的的 f (x, y)都成立都成立, 只須只須d是是x型區(qū)域即可型區(qū)域即可.注注2. 習(xí)慣上常將右端的二次積分記作習(xí)慣上常將右端的二次積分記

4、作 baxxdyyxfdx)()(21),( 即即 baxxddyyxfdxdyxf)()(21),(),( baxxdxdyyxf),()()(21 定理定理1.),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf 設(shè)有界閉區(qū)域設(shè)有界閉區(qū)域d是一個(gè)是一個(gè)x型區(qū)域型區(qū)域,:bxad ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在又設(shè)又設(shè)dyxf),(（2）如果積分區(qū)域?yàn)椋海┤绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc ).()(21yxy y型型dcdcdd).(2yx ).(1yx ).(2yx ).(1yx 則二重積分可化為先對(duì)

5、則二重積分可化為先對(duì) x, 再對(duì)再對(duì) y 的二次積分的二次積分. 即即 dcyydydxyxf)()(21),( ddyxf ),( dcyydxyxfdy)()(21),( y型區(qū)域的型區(qū)域的特點(diǎn)特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)穿過(guò)區(qū)域且平行于域且平行于x軸的直線與區(qū)軸的直線與區(qū)域邊界相交不域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)多于兩個(gè)交點(diǎn).定理定理2設(shè)有界閉區(qū)域設(shè)有界閉區(qū)域d是一個(gè)是一個(gè)y型區(qū)域型區(qū)域,:dycd ).()(21yxy .,)(),(21上連續(xù)上連續(xù)在在其中其中dcyy 上連續(xù)，則上連續(xù)，則在在又設(shè)又設(shè)dyxf),(.),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf 若區(qū)域即非若區(qū)域即非x-型區(qū)域

6、，型區(qū)域， 又非又非y-型區(qū)域型區(qū)域(如圖如圖)，3d2d1d在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式.321 dddd則必須分割，使得每個(gè)部分區(qū)域是則必須分割，使得每個(gè)部分區(qū)域是x-型區(qū)域型區(qū)域或或y-型區(qū)域型區(qū)域.例例1.1.,)(2圍圍成成和和由由其其中中求求xyxyddyxd xy0y=xy=x2x 為確定累次積分的上、為確定累次積分的上、下限下限. 作與作與y軸同向的射軸同向的射線線, 從下至上穿過(guò)從下至上穿過(guò)d.則則y是由下方的曲線是由下方的曲線y=x2變到上方的曲線變到上方的曲線y=x的的.解解: : 先畫區(qū)域先畫區(qū)域d的圖形的圖形.方法方法1：

7、先對(duì)先對(duì)y積分積分.里層積分的下限為里層積分的下限為x2, 上限為上限為x.由于該射線變化范圍是由于該射線變化范圍是0, 1.因此因此, 外層積分下限為外層積分下限為0, 上限為上限為1. 即即 102)()(xxddyyxdxdyx dxyxyxx210221 dxxxx 104322123203101416310543 xxxxy0y=xy=x211方法方法2： 先對(duì)先對(duì) x 積分積分.作與作與 x 軸同向射線軸同向射線, 從左至右穿過(guò)從左至右穿過(guò)d.y則則 x 是從左方曲線是從左方曲線x=y變到右方曲線變到右方曲線y=x2. 即即.的的yx 故里層對(duì)故里層對(duì) x 積分的下限為積分的下限為

8、y, 上限為上限為.y而該射線的變化范圍是而該射線的變化范圍是0, 1. 故外層對(duì)故外層對(duì) y 的積分下限為的積分下限為0, 上限為上限為1. 10)()(yyddxyxdydxdyyx 10221dyyxxyy 102232321dyyyy203635241103252 yyy例例2.2. .0, 2,2第第一一象象限限的的區(qū)區(qū)域域圍圍成成的的和和由由其其中中求求 yxyxydxydxdyd解解: : 先畫先畫d的圖形的圖形.先對(duì)先對(duì) x 積分積分. 作與作與 x 軸同向的射線穿過(guò)軸同向的射線穿過(guò)d. 易知易知, x 從左方曲線從左方曲線y=x2即即變變到到y(tǒng)x 102yydxydxdyxy

9、dxdy右方曲線右方曲線 y= x+2即即 x=2 y. 而而 y 0, 1. xy0y=x+2y=x2112故故所以所以, 原式原式 = 102yyxydxdy 102221dyxyyy 102)2(21dyyyy247 問(wèn)問(wèn), 若先對(duì)若先對(duì) y 積分積分, 情形怎樣情形怎樣?xy0y=x+2y=x2112例例3.3. 求求.sin110 ydxxxdy解：解：由于由于 1sinydxxx是是“積不出積不出”的，怎么辦？的，怎么辦？要改換積分次序要改換積分次序. 先畫積分區(qū)域先畫積分區(qū)域d的圖形的圖形.由積分表達(dá)式知，由積分表達(dá)式知，d： y x 1, 0 y 1畫曲線畫曲線 x=y 和和

10、x=1，直線，直線y=0, y=1.如圖：如圖：故故 原式原式 = ddxdyxxsin xdyxxdx010sin 10sinxdxxx 10sindxx1cos1cos10 xyx0dy = x由例由例2，例，例3知，選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序，知，選擇適當(dāng)?shù)姆e分順序，有時(shí)能使積分變得簡(jiǎn)便，易行有時(shí)能使積分變得簡(jiǎn)便，易行. 在作在作題時(shí)，當(dāng)按某一順序積分很難，或不可行題時(shí)，當(dāng)按某一順序積分很難，或不可行時(shí)，可改換積分順序試一試時(shí)，可改換積分順序試一試.例例4.4. 改換改換.),(2140的的積積分分順順序序 xxdyyxfdx解：解：寫出寫出d的表達(dá)式，的表達(dá)式，. 40,21: xxyxd畫畫

11、 d 的圖形的圖形改為先對(duì)改為先對(duì)x再對(duì)再對(duì)y的積分的積分 xxdyyxfdx2140),( yydxyxfdy2202),(yx0dxy21xy 24xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 dyey2無(wú)法用初等函數(shù)表示無(wú)法用初等函數(shù)表示解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例7 7解解. 10, 11:.2 yxddxyd其中其中計(jì)算計(jì)算 1d2d3d先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖 dxydyxdxyd

12、ddd 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 關(guān)于利用對(duì)稱性積分的問(wèn)題關(guān)于利用對(duì)稱性積分的問(wèn)題(1) 若若d的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱.(i) 若若f (x, y) = f (x, y), 即函數(shù)也關(guān)于即函數(shù)也關(guān)于y是偶函數(shù)是偶函數(shù).yx0d2d1 1),(2),(dddyxfdyxf 則則(ii) 若若f (x, y) = f (x, y), 0),( ddyxf 則則即函數(shù)也關(guān)于即函數(shù)也關(guān)于y是奇函數(shù)是奇函數(shù).(2) 若若d的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱.yx0d2d1(i) 若若f ( x, y) = f ( x, y)，

13、1),(2),(dddyxfdyxf 則則(ii) 若若f ( x, y) = f( x, y)，0),( ddyxf 則則即函數(shù)也關(guān)于即函數(shù)也關(guān)于x是偶函數(shù)是偶函數(shù).即函數(shù)也關(guān)于即函數(shù)也關(guān)于x是奇函數(shù)是奇函數(shù).(3)若若d關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若若),(),(yxfyxf 0,),(3 ydyxd其其中中(i)0),( ddyxf 則則(ii)，若若),(),(yxfyxf 3),(2),(dddyxfdyxf 則則.11,1 )(2122圍圍成成的的平平面面區(qū)區(qū)域域及及是是由由直直線線，其其中中計(jì)計(jì)算算 xyxyddxdyxeyidyx 利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效利用對(duì)稱性

14、來(lái)簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一的，它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)樣的，不過(guò)重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱性是稱性是要兼顧被積分函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域要兼顧被積分函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性兩個(gè)方面，不可誤用的對(duì)稱性兩個(gè)方面，不可誤用.二、 利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分 當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域d或被積函數(shù)用極或被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，或者一些函數(shù)它們的二重積分坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無(wú)法計(jì)算時(shí)，我們可以在極坐在直角坐標(biāo)系下根本無(wú)法計(jì)算時(shí)，我們可

15、以在極坐標(biāo)系下考慮其計(jì)算問(wèn)題。標(biāo)系下考慮其計(jì)算問(wèn)題。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdyeaodiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00 diiiiiiiiiiiidrdrdrrfrrrrffdxdyyxf 1 直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的二重積分關(guān)系（如圖）iiiiirrr 2221)(21i（1）面積元素變換為極系下：）面積元素變換為極系下：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：）二重積分轉(zhuǎn)換公式：.)sin,

16、cos(),( ddrdrdrrfdxdyyxf （3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行的二重積分需要進(jìn)行“三換三換”： rdrddxdyddryrxrxysincos2 極坐標(biāo)系下的二重積分化為二次積分的的上上下下限限關(guān)關(guān)鍵鍵是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)域，用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限由兩射線的傾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作過(guò)極點(diǎn)的半射線與平面區(qū)域相交，任意作過(guò)極點(diǎn)的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限。由穿進(jìn)點(diǎn)，穿

17、出點(diǎn)的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來(lái)計(jì)算二重積分仍然需要化為二次積分來(lái)計(jì)算。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ado)(1 r)(2 r drdrdrrf )sin,cos(具體的（如圖）具體的（如圖）（1）區(qū)域特征如圖）區(qū)域特征如圖, ).()(21 r區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd drdrdrrf )sin,cos(aod)(2r)(1raod)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd（2）區(qū)域特征如圖）區(qū)域特

18、征如圖, ).(0 r drdrdrrf )sin,cos( drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. drdrd （3）區(qū)域特征如圖）區(qū)域特征如圖).(0 rdoa)(r,2 01 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下d：ar 0， 20.dxdyedyx 22 arrdred0202).1(2ae

19、 解解| ),(2221ryxyxd 2| ),(2222ryxyxd 0, 0 yx0 ,0| ),(ryrxyxs 顯顯然然有有 21dsd , 022 yxe 122dyxdxdye syxdxdye22.222 dyxdxdye1d2dss1d2drr2又又 syxdxdyei22 ryrxdyedxe0022;)(202 rxdxe 1i 122dyxdxdye rrrdred0022);1(42re 同理同理 2i 222dyxdxdye);1(422re 當(dāng)當(dāng) r時(shí)時(shí),41 i,42 i故故當(dāng)當(dāng) r時(shí)時(shí),4 i即即 20)(2dxex4 ,所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2

20、 .,21iii );1(4)()1(4222220rrxredxee 解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxd)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分， 注意：注意：被積函數(shù)也要有對(duì)稱性被積函數(shù)也要有對(duì)稱性. ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14dd 1d解解根根據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)稱稱性性有有 14dd 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2

21、ar ,222arayx 1d由由 arar 2cos2, 得得交交點(diǎn)點(diǎn))6,( aa, 所求面積所求面積 ddxdy 14ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a三、二重積分的換元法 .sin,cosryrx間的關(guān)系為間的關(guān)系為坐標(biāo)與極坐標(biāo)之坐標(biāo)與極坐標(biāo)之平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角平面上同一個(gè)點(diǎn)，直角的一種變換，的一種變換，坐標(biāo)平面坐標(biāo)平面到直角到直角平面平面上式可看成是從極坐標(biāo)上式可看成是從極坐標(biāo)xoyro 換是一對(duì)一的換是一對(duì)一的，且這種變，且這種變平面上的一點(diǎn)平面上的一點(diǎn)成成，通過(guò)上式變換，變，通過(guò)上式變換，變面上的一點(diǎn)面上的一點(diǎn)平平即對(duì)于即對(duì)于),(),(yxmxoyrmr

22、o .),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( dddudvvujvuyvuxfdxdyyxfddtvuyxvujddvuyvuxdxoyduovvuyyvuxxtdxoyyxf是一對(duì)一的，則有是一對(duì)一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在且滿足且滿足，平面上的平面上的變?yōu)樽優(yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域平面上的閉區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換連續(xù)，變換上上平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理例例1616解解所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域線線軸和直軸和直軸、軸、由由其中其中計(jì)算計(jì)算2, yxyxddxdye

23、dxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 則則,dd dxyo2 yxd uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxj ,2121212121 dvudxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee例例1717解解所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域橢圓橢圓為為其中其中計(jì)算計(jì)算1,122222222 byaxddxdybyaxd.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作廣義極坐標(biāo)變換作廣義極坐標(biāo)變換,20,10),( rrdd在在這這變變換換下下.),(),(abrr

24、yxj 故換元公式仍成立，故換元公式仍成立，處為零，處為零，內(nèi)僅當(dāng)內(nèi)僅當(dāng)在在0 rdj drdabrrdxdybyaxdd 2222211.32ab 二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結(jié).),(),()()(21 dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 ddcyydxyxfdydyxf y型型x型型二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中注意使用（在積分中注意使用對(duì)稱性對(duì)稱性） drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrr

25、fd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 的形式的形式同時(shí)也兼顧被積函數(shù)同時(shí)也兼顧被積函數(shù)的形狀，的形狀，于積分區(qū)域于積分區(qū)域作什么變換主要取決作什么變換主要取決),(1yxfd基本要求基本要求: :變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易變換后定限簡(jiǎn)便，求積容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxj 計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：計(jì)算二重積分應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)： 先要考慮積分區(qū)域的形狀，先要考慮積分區(qū)域的形狀，看其邊界曲線用直角坐標(biāo)系方程表示簡(jiǎn)單還是看其邊界曲線用直角坐標(biāo)系方程表示簡(jiǎn)單還是極極坐標(biāo)坐標(biāo)系方程表示簡(jiǎn)單，其次要看被積函數(shù)的系方程表示簡(jiǎn)單，