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1、最新人教版數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料§1.3.2 球的體積和表面積一、教材分析 本節(jié)教材直接給出了球的表面積和體積公式,并用兩個(gè)例題來說明其應(yīng)用.值得注意的是教學(xué)的重點(diǎn)放在球與其他幾何體的組合體的有關(guān)計(jì)算上,這是高考的重點(diǎn).二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)了解幾何體體積的含義,以及柱體、錐體與臺(tái)體的體積公式.(不要求記憶公式)(2)熟悉臺(tái)體與柱體和錐體之間體積的轉(zhuǎn)換關(guān)系.(3)培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力. 2過程與方法(1)讓學(xué)生通過對(duì)照比較,理順柱體、錐體、臺(tái)體之間的體積關(guān)系.(2)通過相關(guān)幾何體的聯(lián)系,尋找已知條件的相互轉(zhuǎn)化,解決一些特殊幾何體體積的計(jì)算. 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過柱體、
2、錐體、臺(tái)體體積公式之間的關(guān)系培養(yǎng)學(xué)生探索意識(shí).三、重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):球的表面積和體積公式的應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn):關(guān)于球的組合體的計(jì)算.四、課時(shí)安排約1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)(一)導(dǎo)入新課思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱,有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務(wù)(中國(guó))有限公司等三方合資興建,1996年9月正式開業(yè),既是島城飲食服務(wù)業(yè)的“特一級(jí)”店,又是新增加的一處景點(diǎn).酒店的總建筑面積11 380平方米,現(xiàn)酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學(xué)材料以更好地保護(hù)酒店,那么,需要多少面積的這種化學(xué)材料呢?思路2.球既沒有底面,也無(wú)法像柱體、錐體和臺(tái)體那樣展開成平面圖形,那么怎樣
3、來求球的表面積與體積呢?球的大小與球的半徑有關(guān),如何用球半徑來表示球的體積和面積?教師引出課題:球的體積和表面積.(二)推進(jìn)新課、新知探究 球的半徑為r,它的體積和表面積只與半徑r有關(guān),是以r為自變量的函數(shù).事實(shí)上,如果球的半徑為r,那么s=4r2,v=.注意:球的體積和表面積公式的證明以后證明.(三)應(yīng)用示例思路1例1 如圖1所示,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:圖1(1)球的體積等于圓柱體積的;(2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.活動(dòng):學(xué)生思考圓柱和球的結(jié)構(gòu)特征,并展開空間想象.教師可以使用信息技術(shù)幫助學(xué)生讀懂圖形.證明:(1)設(shè)球的半徑為r,則圓柱的底面半徑為r,高為2r.則有v球
4、=,v圓柱=r2·2r=2r3,所以v球=.(2)因?yàn)閟球=4r2,s圓柱側(cè)=2r·2r=4r2,所以s球=s圓柱側(cè).點(diǎn)評(píng):本題主要考查有關(guān)球的組合體的表面積和體積的計(jì)算.解決此類問題的關(guān)鍵是明確組合體的結(jié)構(gòu)特征.變式訓(xùn)練1.如圖2(1)所示,表面積為324的球,其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個(gè)正四棱柱的表面積.圖2解:設(shè)球的半徑為r,正四棱柱底面邊長(zhǎng)為a,則軸截面如圖2(2),所以aa=14,ac=,又4r2=324,r=9.ac=.a=8.s表=64×2+32×14=576,即這個(gè)正四棱柱的表面積為576.2有一種空心鋼球,質(zhì)量為142 g,測(cè)得外徑
5、(直徑)等于5 cm,求它的內(nèi)徑(鋼的密度為7.9 g/cm3,精確到0.1 cm).解:設(shè)空心球內(nèi)徑(直徑)為2x cm,則鋼球質(zhì)量為7.9·=142,x3=11.3,x2.24,直徑2x4.5.答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5 cm.例2 如圖3所示,表示一個(gè)用鮮花做成的花柱,它的下面是一個(gè)直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體,上面是一個(gè)半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵,那么裝飾這個(gè)花柱大約需要多少朵鮮花(取3.1)?圖3活動(dòng):學(xué)生思考和討論如何計(jì)算鮮花的朵數(shù).鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積(不含下底面)與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積
6、.解:圓柱形物體的側(cè)面面積s13.1×1×3=9.3(m2),半球形物體的表面積為s22×3.1×()21.6(m2),所以s1+s29.3+1.6=10.9(m2).10.9×1501 635(朵).答:裝飾這個(gè)花柱大約需要1 635朵鮮花.點(diǎn)評(píng):本題主要考查球和圓柱的組合體的應(yīng)用,以及解決實(shí)際問題的能力.變式訓(xùn)練 有一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐容器,內(nèi)放一個(gè)半徑為r的內(nèi)切球,然后將容器注滿水,現(xiàn)把球從容器中取出,水不損耗,且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺(tái)體,問容器中水的高度為多少?分析:轉(zhuǎn)化為求水的體積.畫出軸截面,充分利用軸截面中的直
7、角三角形來解決.解:作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示,圖4圓錐底面半徑r=,圓錐母線l=2r=,圓錐高為h=3r,v水=·3r2·3r,球取出后,水形成一個(gè)圓臺(tái),下底面半徑r=,設(shè)上底面半徑為r,則高h(yuǎn)=(r-r)tan60°=,(r2+r2+rr),5r3=,5r3=,解得r=,h=()r.答:容器中水的高度為()r.思路2例1 (2006廣東高考,12)若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為_.活動(dòng):學(xué)生思考長(zhǎng)方體和球的結(jié)構(gòu)特征.教師可以借助于信息技術(shù)畫出圖形.分析:畫出球的軸截面可得,球的直徑是正方體的對(duì)角線,所以球的半徑r=,則該球的表面
8、積為s=4r2=27.答案:27點(diǎn)評(píng):本題主要考查簡(jiǎn)單的組合體和球的表面積.球的表面積和體積都是半徑r的函數(shù).對(duì)于和球有關(guān)的問題,通??梢栽谳S截面中建立關(guān)系.畫出軸截面是正確解題的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.(2006全國(guó)高考卷,理7)已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是( )a.16 b.20 c.24 d.32分析:由v=sh,得s=4,得正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2.畫出球的軸截面可得,該正四棱柱的對(duì)角線即為球的直徑,所以,球的半徑為r=,所以球的表面積為s=4r2=24.答案:c2.(2005湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽,13)一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切,若正四面體的棱長(zhǎng)為a,則
9、這個(gè)球的體積為_.分析:把正四面體補(bǔ)成正方體的內(nèi)接正四面體,此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)為,于是球的半徑為,v=.答案:3.(2007天津高考,理12)一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上,且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3,則此球的表面積為_.分析:長(zhǎng)方體的對(duì)角線為,則球的半徑為,則球的表面積為4()2=14.答案:14例2 圖5是一個(gè)底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯,水中放著一個(gè)底面直徑為6 cm,高為20 cm的一個(gè)圓錐形鉛錘,當(dāng)鉛錘從水中取出后,杯里的水將下降幾厘米?圖5活動(dòng):學(xué)生思考杯里的水將下降的原因,通過交流和討論得出解題思路.因?yàn)椴AП菆A柱形的,所以鉛錘取出后,水面
10、下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱,這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣,是一直徑為20 cm的圓,它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積,這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度.解:因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為×20=60(cm3),設(shè)水面下降的高度為x,則小圓柱的體積為=100x( cm3).所以有60=100x,解此方程得x=0.6( cm).答:杯里的水下降了0.6 cm.點(diǎn)評(píng):本題主要考查幾何體的體積問題,以及應(yīng)用體積解決實(shí)際問題的能力.明確幾何體的形狀及相應(yīng)的體積公式是解決這類問題的關(guān)鍵.解實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.本題的數(shù)學(xué)模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積.明確其體積公式中的相關(guān)量
11、是列出方程的關(guān)鍵.變式訓(xùn)練1.一個(gè)空心鋼球,外直徑為12 cm,壁厚0.2 cm,問它在水中能浮起來嗎?(鋼的密度為7.9 g/cm3)和它一樣尺寸的空心鉛球呢?(鉛的密度為11.4 g/cm3)分析:本題的關(guān)鍵在于如何判斷球浮起和沉沒,因此很自然要先算出空心鋼球的體積,而空心鋼球的體積相當(dāng)于是里、外球的體積之差,根據(jù)球的體積公式很容易得到空心鋼球的體積,從而算出空心鋼球的質(zhì)量,然后把它與水的質(zhì)量相比較即可得出結(jié)論,同理可以判斷鉛球會(huì)沉沒.解:空心鋼球的體積為v鋼=×20.88887.45(cm3),鋼的質(zhì)量為m鋼=87.45×7.9=690.86(g).水的體積為v水=&
12、#215;63=904.32(cm3),水的質(zhì)量為m水=904.32×1=904.32(g)m鋼.鋼球能浮起來,而鉛球的質(zhì)量為m鉛=87.45×11.4=996.93(g)m水.同樣大小的鉛球會(huì)沉沒.答:鋼球能浮起來,同樣大小的鉛球會(huì)沉沒.2.(2006全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試,10)底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為cm的實(shí)心鐵球,四個(gè)球兩兩相切,其中底層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水使水面恰好浸沒所有鐵球,則需要注水_cm3.分析:設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為o1、o2、o3、o4,其中o1、o2為下層兩球的球心,a、b、c、d分別為四個(gè)球心在底面的射影,則
13、abcd是一個(gè)邊長(zhǎng)為 cm的正方形,所以注水高為(1+) cm.故應(yīng)注水(1+)-4× cm3.答案:(+)(四)知能訓(xùn)練1.三個(gè)球的半徑之比為123,那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的( )a.1倍 b.2倍 c.倍 d.倍分析:根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的4倍,可設(shè)最小的一個(gè)半徑為r,則另兩個(gè)為2r、3r,所以各球的表面積分別為4r2、16r2、36r2,(倍).答案:c2.(2006安徽高考,理9)表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則此球的體積為( )a. b. c. d.分析:此正八面體是每個(gè)面的邊長(zhǎng)均為a的正三角形,所以由8×知,a=1,則
14、此球的直徑為.答案:a3.(2007北京西城抽樣,文11)若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9,則球的表面積是_.分析:畫出球的軸截面,則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形,又由題意得截面圓的半徑是3,則球的半徑為=5,所以球的表面積是4×52=100.答案:1004.某街心花園有許多鋼球(鋼的密度是7.9 g/cm3),每個(gè)鋼球重145 kg,并且外徑等于50 cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷鋼球是實(shí)心的還是空心的.如果是空心的,請(qǐng)你計(jì)算出它的內(nèi)徑(取3.14,結(jié)果精確到1 cm).解:由于外徑為50 cm的鋼球的質(zhì)量為7.9×516 792(
15、g),街心花園中鋼球的質(zhì)量為145 000 g,而145 000516 792,所以鋼球是空心的.設(shè)球的內(nèi)徑是2x cm,那么球的質(zhì)量為7.9·=145 000,解得x311 240.98,x22.4,2x45(cm).答:鋼球是空心的,其內(nèi)徑約為45 cm.5.(2007海南高考,文11)已知三棱錐sabc的各頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為r的球面上,球心o在ab上,so底面abc,ac=,則球的體積與三棱錐體積之比是( )a. b.2 c.3 d.4分析:由題意得so=r為三棱錐的高,abc是等腰直角三角形,所以其面積是×2r×r=r2,所以三棱錐體積是,又球的體積為,則
16、球的體積與三棱錐體積之比是4.答案:d點(diǎn)評(píng):面積和體積往往涉及空間距離,而新課標(biāo)對(duì)空間距離不作要求,因此在高考試題中其難度很低,屬于容易題,2007年新課標(biāo)高考試題就體現(xiàn)了這一點(diǎn).高考試題中通常考查球、三棱錐、四棱錐、長(zhǎng)方體、正方體等這些簡(jiǎn)單幾何體或它們的組合體的面積或體積的計(jì)算.我們應(yīng)高度重視這方面的應(yīng)用.(五)拓展提升問題:如圖6,在四面體abcd中,截面aef經(jīng)過四面體的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)球心o,且與bc,dc分別截于e、f,如果截面將四面體分成體積相等的兩部分,設(shè)四棱錐abefd與三棱錐aefc的表面積分別是s1,s2,則必有( )圖6a.s1s2 b.s1s2 c.s1=s
17、2 d.s1,s2的大小關(guān)系不能確定探究:如圖7,連oa、ob、oc、od,則vabefd=voabdvoabevobefd+voadf,vaefc=voafcvoaecvoefc,又vabefd=vaefc,而每個(gè)小三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑,故sabdsabesbefd+sadf=safcsaecsefc,又面aef是公共面,故選c.圖7答案:c(五)課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了:1.球的表面積和體積.2.計(jì)算組合體的體積時(shí),通常將其轉(zhuǎn)化為計(jì)算柱、錐、臺(tái)、球等常見的幾何體的體積.3.空間幾何體的表面積與體積的規(guī)律總結(jié):(1)表面積是各個(gè)面的面積之和,求多面體表面積時(shí),只需將它們沿著若干條棱剪開后展成平面圖形,利用平面圖形求多面體的表面積.求旋轉(zhuǎn)體的表面積時(shí),可從回憶旋轉(zhuǎn)體的生成過程及其幾何特征入手,將其展開求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系,注意球面不可展開.(2)在體積公式中出現(xiàn)了幾何體的高,其含義是:柱體的高:從柱體的一個(gè)底面上任一點(diǎn)向另一個(gè)底面作垂線,這點(diǎn)和
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