高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件6.5

1、科學(xué)出版社第五節(jié)一、一、 物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量二、二、 引力引力三、三、 液體的壓力液體的壓力四、四、 功功若干物理應(yīng)用 第六六章 科學(xué)出版社.ma體（面或線）密度為常數(shù) ,體積(面積或長(zhǎng)度)為a 的物體質(zhì)量為 一、物體的質(zhì)量一、物體的質(zhì)量若其密度 不是常數(shù)，而是位置的函數(shù)，積分的微元法，計(jì)算物體的質(zhì)量.則可用定 科學(xué)出版社例例1. 半徑r=2cm的圓片，心距離的平方成正比，28/,g cm求該圓片的質(zhì)量.解：解：到圓心的距離為x2kx的點(diǎn)的面密度2,8,2,xk時(shí)22.x因此圓環(huán)的質(zhì)量微元為2d2mx于是圓片的質(zhì)量為2304d16 ( )mxxg已知圓片邊沿處之面密度為 其各點(diǎn)的面密度與該點(diǎn)

2、到圓oxdxx2dx x34dxx科學(xué)出版社二、二、 引力引力質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:122mmfgr方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需利用上述公式求出引力微元, 然后通過(guò)積分求得引力 .科學(xué)出版社例例2. 設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) m,m該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解解:y2l2ld,xxx細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 dfgxm d22xa 故垂直分力元素為ddcosyff a22dmxgax 22xaa3222d()xgm aax xox在試計(jì)算fdxfdyfdx

3、xd建立坐標(biāo)系如圖.科學(xué)出版社利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性232220d2()lyxfgm aax 22220lxgm aaax 22214gm laal 棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力.0 xf22214gm lfaal 故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的鉛直分力為 my2l2laaxoxfdxfdyfdxxd科學(xué)出版社2loy2laxxxdx注注:2gma2) 若考慮質(zhì)點(diǎn)克服引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視 l 為無(wú)窮大 ,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到 b (a 2 r )的水池底, 解：解： 取x 軸方向向上, 任取小區(qū)間 ,d ,x xxr r 球的這層小薄片體積

4、為 22d()d ,vrxx將其移至水面時(shí)移動(dòng)距離為h r x,所受力為221d()d ,frxx因而移至水面所作的功是1dw 22(1)()dgrxx，ohrxhr球中心為原點(diǎn),現(xiàn)將其從水中取出, 須作多少功？(1)g()hrx科學(xué)出版社要將球移出水池, 還要移動(dòng)r + x的距離, 重力是.g因此將此薄片從水面移出水池所作的功為222d()()dgrxxwrx，于是該薄片的功微元為dw (1)()ghrx22()()drxrxx22()()dg hhrx rxx從而將球提出水池所求功為22()()drrwg hhrx rxx333()rxrg hhr r x34().3g rhhr此時(shí)要克服的12ddww科學(xué)出版社s例例6.體, 求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為s 的活塞從點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxxd由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 v 成反比 , 即,sxkvkp 功元素