橢圓和雙曲線的類似的基本題型prt

1、橢圓和雙曲線的類似的基本題型X2222解法二： 由題知橢圓1的焦點坐標為 ( 5,0) ，而欲求橢圓和它有相解法二： 由題知雙曲線 x y 1的焦點坐標為 ( 2 5,0) ，而欲求雙曲線與9416 42222同的焦點， 故可設欲求橢圓的標準方程為： x y 1( 0) ，則有：它有相同的焦點， 故可設欲求雙曲線的標準方程為： xy 1(m 0) ，5 m m20 mm229 4 1 m 10 ，所以所求方程為： x y 118 4則有： 18 4 1 m 8 ，所以欲求雙曲線的標準方程為：22x2 y2 15 m m15 1020 m m12 8注：以上兩題屬于共焦點的同類曲線問題，雖然用了

2、兩種解法，但是原理都是一樣的，即利用有相同的焦點坐標。但是值得體會的是橢圓和雙曲線對這類題目的解法也有很多相似之處。3、(橢圓)求過點 A(5, 3 3),B(8,18)的橢圓的標準方程5(雙曲線)求過點 A(2 7,3),B( 7,6 2)的雙曲線的標準方程解：設欲求橢圓的方程為 Ax2 By21(A 0,B 0)，則依題意有解：設欲求雙曲線的方程為 Ax2 By2 1(AB 0) ，則依題意有25 A 27 B 1A1128 A 9 B 1 A 25 49 A 72 B 1 可解得： B 1 64 A 324 B 1 可解得： 100B1，2536752從而所求橢圓的標準方程為： x2y2

3、 122從而所求雙曲線的標準方程為： x y 11003625 75注：以上兩題雖然是求兩個不同的標準方程，但是我們可以發(fā)現(xiàn)，在用待定系數(shù)法對方程的假設上，兩個是一樣的，只是條件有所不同，并且這兩個方程這樣寫出并沒有規(guī)定所求曲線的焦點在哪個軸上，如果用常規(guī)解法，則要討論焦點在X 軸上和焦點在 Y 軸上兩種情形，而用這種設法就可以避免這類討論。這是解這類有曲線上兩點確定，不能判斷焦點所在的位置的標準方程的很簡潔的方法。而且針對橢圓和雙曲線，兩者又有很多相似的地方，值得回味。22 xy 4、(橢圓)已知橢圓2 2 1(a b 0) ， F1,F2為焦點， P 為橢圓上22(雙曲線)已知雙曲線 x2

4、 y2 1(a 0,b 0) ， F1,F2為焦點， P 為雙a2 b2a2 b2 1 2一點，曲線上一點，試證： S F1PF22b tanF1PF2試證：S F1PF2F1PF22b cot2證明：F1F2F1PF2PF1PF2P2F1P ?F22c 2 2aF1P ?F2P而SF1PF2b2 sin2F1P? F2P ?cos F1PF2F1P ?F2P ? 1 cos F1PF2F2P ?1 cos F1PF2證明：F1F2XF 1P224a2 4c22b221 cos F1PF2cos F1PF2F1P2F2P2c 2 2aF1P? F2P2F2P2 2F1P ?F2P ?cos F

5、1PF2F1P ? F2P ?1cos F1PF2YO2F1P ? F2P ? 1 cos F1PF2F24c2 4a22b212 F1P ? F2P ?sin F1PF22b221 cos F1PF21 cos F1PF21 cos F1PF2F1PF2b2 tanF1PF21?2 1 cos F1PF2?sin F1PF2而 S F1PF22b sin1 12b2F1P ?F2P ?sin F1PF2 ?2 1 cos F1PF2?sin F1PF21 cos F1PF2F1PF2b2 cotF1PF2注：以上兩題的結(jié)論在今后的選擇和填空中可以直接應用，而且在歷年的高考中都有直接應用的題目

6、。2x5、求橢圓92y 1被點Q(2,1) 平分的弦 AB所在的直線方程4解：設 A(x1,y1),B(x2,y2)，則有：2x192y14；22求雙曲線 x y 1被點Q(3,1) 平分的弦 AB所在的直線方程442x1解：設 A(x1, y1),B(x2,y2) ，則有：42y11 1 ；42x292y242x242 y22124得：2x12x222y1y24(x1 x2)(x1 x2)9(y1 y2 )(y1 y2)4得：22x1 x2422y12 y22 0 4(x1 x2 )( x1 x2) (y1 y2)(y1 y2)4而x1 x 22y1 y 2221 代入式，得：x1 x 22

7、y1 y 22入式，得4(x1 x2 )92(y1 y2 )y1 y24x1 x2而 恰好是 弦 AB 所在 直線 得斜 率值， 所以 直線 AB 得 方程 為： y 1 8(x 2)9即： 8x 9y 25 0 ，而由點 Q(2,1) 在橢圓內(nèi)部可知即為所求。44而恰好是弦ABy1 3(x3)即：3xy802 x(3x8)248x248x6414442176(x1x2)2(y1 y2)4所以，所求直線 3xy2 x1 x2y1所在直 線得 斜率值 ，所 以直線 AB 得方程 為： 再 將與雙 曲線方程聯(lián)立消 去 y 得：22x2 12x 17 0 ， 可 知 判 別 式8 0 與雙曲線有兩個

8、不同的交點，滿足題意，即式為所求。注：以上兩題也可以用常規(guī)解法來做，橢圓和雙曲線的解法也類似，但是計算過程相對麻煩許多，而且道理也簡單易懂，在此略去不寫了。這種解法由于是將 點的坐標設而不求，代入方程作差，利用中點坐標公式巧妙的求出直線斜率，從而簡捷的解決問題。這種方法稱為“點差法” 。但是這種方法對于橢圓只需要驗 證題目中給出的中點在橢圓內(nèi)部就可以保證所求直線為所求。而對于雙曲線，則要在求出直線方程后與雙曲線方程聯(lián)立，用判別式來判斷所求直線是否與雙曲 線有兩個不同的交點。如果有則是所求直線，若沒有，則所求方程不滿足。這些驗證是必要的，尤其是對雙曲線，因為有時用這種方法得到的直線和雙曲線根 本

9、就沒有交點。這里就不舉例了。226、(橢圓)已知橢圓 x y 1內(nèi)有一點 P(1, 1) ，F(xiàn)2 為右焦點，橢圓上4 3 2一點 M ，使得MP1 解：由題可知橢圓的離心率為 ，如右圖 1：2NP F2O圖12MF2 的值最小，求 M 的坐標所以：2(雙曲線)已知雙曲線 x2 y31 MP MF2解X： 由題可知雙曲線的離心率為上一點 M ，使得2，1，有一點 Q(3,2)， F2為右焦點，雙曲線的值最小，求 M 的坐標有： MMFN2MP 2MF2有：MF2MN 2MF2MP MN，故最小值是當 M,P,N 三點共線(見圖 2)，并且當點 M 在P,N 之O間時取得。此時點 M 的縱坐標和點 P 的縱坐標相同為 1，將 y 1 代入橢圓方程可得：2 6 ，舍去負值，3MN2 MN112 MF2所以： MPMF 2MPMN ，故最小值如右圖 1：得點 M 坐標為 (2 6 , 1)即為所求。3注：這兩道題采取都是用了F是2 當 M,PX, N 三點共(見圖 2)，并且當點 M 在P,N 之 間M 時N取 得。此時點 M 的縱坐標和點 P 的縱坐標相同2 212 為 2 ，將 y 2 代入雙曲線方程可得： x21 ，321 舍去負值，得