固體物理第4課倒易空間ppt課件

1、1.9 倒格子倒格子(倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣reciprocal)*s0abops1 正格矢與倒矢點(diǎn)p： rl=l1a1+l2a2+l3a3，rl是布喇菲點(diǎn)陣中由原胞基矢a1，a2，a3構(gòu)成的矢量，s0和s是入射線和衍射線的單位矢量，經(jīng)過o點(diǎn)和p點(diǎn)衍射后光程差為：)(000s-srsrs-roballl原子可向空間任何方向散射x光線，只有一些固定方向可形成衍射。當(dāng)x光為單色光，衍射加強(qiáng)的條件為： rl(s-s0)=u 令 ，代入上式，衍射加強(qiáng)條件變?yōu)椋?rl （k -k0） = 2 u根據(jù)正點(diǎn)陣與倒易點(diǎn)陣的關(guān)系，(k-k0)必是倒易空間中的位置矢量，令：有 rl gh = 2 u ( rl和gh 不

2、一定平行) 2k 200ssk)(200ss k -kgh可見， rl和 gh的量綱是互為倒逆的， rl是格點(diǎn)p的位置矢量，稱為正矢量， kh稱為倒易矢量。若令gh= h1b1+h2b2+h3b3，則稱由b1，b2，b3為基矢構(gòu)成的點(diǎn)陣為倒易點(diǎn)陣.(b1，b2，b3)如何確定？1.9.2 倒格子空間倒格子空間(倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣)*（1）.倒矢與正格矢的關(guān)系： 原胞體積原胞體積， )(222321213132321aaavvaabvaabvaab321aaa、點(diǎn)點(diǎn)陣陣：原原胞胞基基矢矢正點(diǎn)陣原胞基矢 ：a、a、a倒易點(diǎn)陣原胞基矢 ：b、b、b321321原胞體積 )(22232121313232

3、1aaavvaabvaabvaab構(gòu)成的晶面族的面間距、是：構(gòu)成的晶面的法線方向、的方向沿：32111321221aaddbaab （2）. 倒格子點(diǎn)陣與正格子點(diǎn)陣的關(guān)系倒格子點(diǎn)陣與正格子點(diǎn)陣的關(guān)系jijibaijji 0 22 (1)，系：兩個(gè)點(diǎn)陣基矢之間的關(guān)vaabvaabvaab213132321222。，grhhhbhbhbhgzlllalalalrhlhl點(diǎn)陣的位矢則另一個(gè)矢量必為倒易為正點(diǎn)陣位矢且其中一個(gè)矢量的整數(shù)倍若兩矢量點(diǎn)積為結(jié)論則有、倒格矢倒易點(diǎn)陣：、正格矢正點(diǎn)陣：系：兩個(gè)點(diǎn)陣格矢之間的關(guān)2 ：z 2 ： z (2)321332211321332211為什么在倒易關(guān)系中存在2

4、 因子，這是因?yàn)槿绱硕x的互為倒易的兩個(gè)矢量g g與t t之間滿足下面簡潔的恒等式： 1tigecbabcacbavv*vbbbv*)()( )2()( (3)3321上式利用了互為倒數(shù)與可見的關(guān)系：兩個(gè)點(diǎn)陣原胞體積之間： 2 )( / (4)321321332211321證明如下法線方向則有：倒易點(diǎn)陣中倒格矢：）面指數(shù)為：（正點(diǎn)陣中一族晶面，晶之間的關(guān)系：倒格矢和正點(diǎn)陣晶面族hhhhhhdghhhgbhbhbhghhh(5)倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣互為倒易點(diǎn)陣(6)倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣有相同的宏觀對(duì)稱性倒格矢和正點(diǎn)陣晶面族示意圖倒格矢和正點(diǎn)陣晶面族示意圖返回返回cbcacbcaocobcbocoacah

5、hhhgggghahahaha0033223311hhhhhhhgghbhbhbhagghad2)(13322111113213.倒易點(diǎn)陣與傅里葉變換 112233)()()()()()(321332211321332211nnnnnnrginnnrginllnnececrrrrrzlllalalalrrrrrxxxaxaxaxrr：作傅里葉級(jí)數(shù)展開，有將為周期函數(shù)則有、，若有、 ( (示意圖示意圖) ) nnrginnrginnnnnnnnnrginnnrginnnnnegrgrdervcznnnbnbnbnggececr)()()()(1)(321332211112233、，為倒格矢， 的

6、的傅傅里里葉葉變變換換是是)()(rgn的傅里葉逆變換是)()(ngrtdeftfdtetff-ti-ti2)(21)( )()( 傅里葉逆變換：傅里葉逆變換：傅里葉變換：傅里葉變換：總結(jié)：總結(jié)：晶體點(diǎn)陣晶體點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣倒易點(diǎn)陣實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)虛構(gòu)虛構(gòu)顯微圖像顯微圖像衍射圖像衍射圖像微觀粒子微觀粒子一族晶面一族晶面線度量綱：線度量綱：l線度量綱：線度量綱：l1位置空間位置空間坐標(biāo)空間坐標(biāo)空間倒易空間倒易空間傅里葉空間傅里葉空間k空間空間iabiaa 2 11 1.9.3 常見晶格的布里淵區(qū)常見晶格的布里淵區(qū)(1) 一維晶格一維晶格(2) 二維晶格二維晶格 321132321321332

7、122 aaaaabaaaaabkaaaa ，令，令構(gòu)造構(gòu)造、 jaaaaaabiaaaaaabjaaiaa 2222 32113232132121(3) 三維晶格三維晶格 a. 簡立方晶格簡立方晶格1b格格倒易點(diǎn)陣仍為簡立方晶倒易點(diǎn)陣仍為簡立方晶 kabjabiabkaaj aaaia 222321321倒易空間倒易空間示意圖示意圖2b3b1bb. b. 體心立方晶格體心立方晶格 倒易空間示意圖倒易空間示意圖體心立方晶格的倒易晶格是面心立方，其晶胞常數(shù)為 。 ab ) ji (ab)ki (ab)kj (ab)kji (aa)kji (aa)kji(aa4222222321321a4c. 面

8、心立方晶格面心立方晶格面心立方晶格的倒易晶格是體心立方，其晶胞常數(shù)為 。abkjiabkjiabkjiabjiaakiaakjaa4)(2)(2)(2)(2)(2)(2321321a4示意圖示意圖布里淵區(qū)示意圖布里淵區(qū)示意圖1倒易原胞vav32 體簡約布里淵區(qū)：簡立方返回返回abc布里淵區(qū)示意圖布里淵區(qū)示意圖2-1倒易倒易離原點(diǎn)最近的有離原點(diǎn)最近的有個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)體心立方的倒易點(diǎn)體心立方的倒易點(diǎn)陣是面心立方陣是面心立方 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)原點(diǎn)和原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正十二面體體心立方的倒格子是面心立方，離原點(diǎn)最近的有十二個(gè)倒

9、格點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中它們的坐標(biāo)為：)()()(2321213132321knnjnninnannnkbbbn倒格矢),(2213132nnnnnna).1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 1 , 0(2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),1 , 0 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2),0 , 1 , 1 (2aaaaaaaaaaaa相應(yīng)的倒格矢長度這十二個(gè)倒格矢的中垂面圍成菱形十二面體：其體積正好等于倒格子原胞的體積大小22),(

10、321aknnn布里淵區(qū)示意圖布里淵區(qū)示意圖2-2返回返回倒易原胞面體簡約布里淵區(qū)：正十二vav322 21,21,212 111 0 ,21,212 110 0 , 0 , 12 100 0 , 0 , 0a pa na h ：坐標(biāo)原點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)布里淵區(qū)示意圖布里淵區(qū)示意圖3-1面心立方的倒面心立方的倒易點(diǎn)陣是體心易點(diǎn)陣是體心立方立方倒易倒易離原點(diǎn)最近的有離原點(diǎn)最近的有個(gè)倒格點(diǎn)個(gè)倒格點(diǎn)布里淵區(qū)。因此正8面體不是第一是而第一布里淵區(qū)的體積，面體的體積是332282298)a()a(個(gè)次個(gè)次鄰格點(diǎn)鄰格點(diǎn) 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 八個(gè)面是正六邊形八個(gè)面是正六邊形 六個(gè)面是正四邊形六個(gè)面是正四邊形

11、布里淵區(qū)示意圖布里淵區(qū)示意圖3-2返回返回倒易原胞倒易原胞體體簡約布里淵區(qū)：十四面簡約布里淵區(qū)：十四面vav 324 21,21,212 0 ,43,432 0 , 0 , 12 0 , 0 , 02 alakaxa： 第一布里淵區(qū)為十第一布里淵區(qū)為十四面體四面體 布里淵區(qū)中某些對(duì)稱布里淵區(qū)中某些對(duì)稱點(diǎn)和若干對(duì)稱軸上的點(diǎn)能點(diǎn)和若干對(duì)稱軸上的點(diǎn)能量較為容易計(jì)算，這些點(diǎn)量較為容易計(jì)算，這些點(diǎn)的標(biāo)記符號(hào)的標(biāo)記符號(hào)布里淵區(qū)原點(diǎn)布里淵區(qū)原點(diǎn)000六方面的中心六方面的中心(,)laaa 四方面的中心四方面的中心2(,0,0 )xa 計(jì)為計(jì)為 軸軸 方向方向x)100(計(jì)為計(jì)為 軸軸 方向方向l)111( 將零級(jí)近似下的波矢將零級(jí)近似下的波矢k移入簡約布里淵區(qū)，能量移入簡約布里淵區(qū)，能量變化的圖像，圖中定性畫變化的圖像，圖中定性畫出了沿出了沿 軸的結(jié)果軸的結(jié)果29/29圖5 閃鋅礦結(jié)構(gòu)的本征gan材料的能帶結(jié)構(gòu)圖，導(dǎo)帶最小和價(jià)帶最大。作作 業(yè)業(yè)1 試證簡單立方晶格的倒易點(diǎn)陣仍為簡單立方晶格，體心立方和面心立方互為