【全程復(fù)習(xí)方略】高中數(shù)學(xué)人教A版選修22課件：1.4 生活中的優(yōu)化問題舉例

1、1.4生活中的優(yōu)化問題舉例【題型示范】【題型示范】類型一類型一 幾何中的最值問題幾何中的最值問題【典例【典例1 1】(1)(1)用長為用長為18m18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為要求長方體的長與寬之比為2121，則該長方體的最大體積是，則該長方體的最大體積是_m_m3 3. .(2)(2)如圖，等腰梯形如圖，等腰梯形abcdabcd的三邊的三邊abab，bcbc，cdcd分別與函數(shù)分別與函數(shù)y=- xy=- x2 2+2+2，x-2x-2，22的圖象切于點的圖象切于點p p，q q，r.r.求梯形求梯形abcdabcd面積的最小面積

2、的最小值值. .12【解題探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)中應(yīng)設(shè)哪個未知量中應(yīng)設(shè)哪個未知量? ?如何表示其他的量如何表示其他的量? ?2.2.題題(2)(2)中如何巧設(shè)切點坐標(biāo)中如何巧設(shè)切點坐標(biāo)? ?在曲線上一點處的切線方程公式在曲線上一點處的切線方程公式是什么是什么? ?【探究提示】【探究提示】1.1.根據(jù)題意知，長方體的所有棱長和是根據(jù)題意知，長方體的所有棱長和是18m18m，故，故可設(shè)出寬，用寬表示出長和高，將體積表示成寬的函數(shù)，用導(dǎo)可設(shè)出寬，用寬表示出長和高，將體積表示成寬的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)來求其最大值即可數(shù)來求其最大值即可. .2.2.可設(shè)點可設(shè)點p p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (t

3、 t，- t- t2 2+2)+2)(0t2)(0t2)，過曲線上一點的，過曲線上一點的切線方程公式是切線方程公式是y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0).).12【自主解答】【自主解答】(1)(1)設(shè)該長方體的寬是設(shè)該長方體的寬是x mx m，由題意知，其長是，由題意知，其長是2x m2x m，高是，高是 則該長方體的體積則該長方體的體積v(x)=xv(x)=x2x2x( -3x)=-6x( -3x)=-6x3 3+9x+9x2 2，由，由v(x)=0v(x)=0，得到，得到x=1x=1，且，且當(dāng)當(dāng)0 0 x x1 1時，時，v(x)v(x)0 0；

4、當(dāng)；當(dāng)1 1x x 時，時，v(x)v(x)0 0，即體，即體積函數(shù)積函數(shù)v(x)v(x)在在x=1x=1處取得極大值處取得極大值v(1)=3v(1)=3，也是函數(shù)，也是函數(shù)v(x)v(x)在定義在定義域上的最大值域上的最大值所以該長方體體積最大值是所以該長方體體積最大值是3 m3 m3 3答案：答案：3 318 12x93(3x)m(0 x)422 ，9232(2)(2)設(shè)梯形設(shè)梯形abcdabcd的面積為的面積為s s，點，點p p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(t(t，- t- t2 2+2)(0t2)+2)(0t2)由題意得，點由題意得，點q q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0(0，2)2)，直線，直線bcbc

5、的方程為的方程為y=2y=2因為因為y=- xy=- x2 2+2+2，所以，所以y=-xy=-x，所以，所以y|y|x=tx=t=-t=-t，所以直線所以直線abab的方程為的方程為y-(- ty-(- t2 2+2)=-t(x-t)+2)=-t(x-t)，即：即：y=-tx+ ty=-tx+ t2 2+2+2，令，令y=0y=0得，得，所以所以a( a( ，0).0).令令y=2y=2得，得，x= tx= t，所以，所以b( tb( t，2)2)，所以所以121212122t4x2t，2t42t12122211t444s(t)2 22t.s2222ttt ，令令s=0s=0得得t= .t=

6、 .故當(dāng)故當(dāng)t= t= 時，時，s s有最小值為有最小值為所以梯形所以梯形abcdabcd的面積的最小值為的面積的最小值為224 24 2【方法技巧】【方法技巧】1 1解決面積、體積最值問題的思路解決面積、體積最值問題的思路解決面積、體積的最值問題，要正確引入變量，將面積或體積解決面積、體積的最值問題，要正確引入變量，將面積或體積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值數(shù)的最值2.2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路3.3.解決優(yōu)化問題時應(yīng)注意的問題解決優(yōu)化問題時應(yīng)注意的問題(1)(1)列函

7、數(shù)關(guān)系式時，注意實際問題中變量的取值范圍，即函列函數(shù)關(guān)系式時，注意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域數(shù)的定義域. .(2)(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值. .如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點或函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點或函數(shù)f(x)f(x)在開區(qū)間上只有一個在開區(qū)間上只有一個點使點使f(x)=0f(x)=0，則只要根據(jù)實際意義判斷該值是最大值還是最，則只要根據(jù)實際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較小值即可，不必再與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】某出版社出

8、版一讀物，一頁上所印文字占去某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150cm150cm2 2，上、下要留，上、下要留1.5cm1.5cm空白，左、右要留空白，左、右要留1cm1cm空白，出版商空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用怎樣尺寸的頁面為節(jié)約紙張，應(yīng)選用怎樣尺寸的頁面? ?【解題指南】【解題指南】設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為x cmx cm，確定紙張的長，確定紙張的長與寬，表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得與寬，表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論結(jié)論【解析】【解析】設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為x cmx cm，則上下長為，

9、則上下長為 cmcm，所以紙張的左右長為，所以紙張的左右長為(x+2)cm(x+2)cm，上下長為，上下長為( +( +3)cm3)cm，所以紙張的面積，所以紙張的面積s=(x+2)( +3)=3x+ +156s=(x+2)( +3)=3x+ +156所以所以s= s= ，令，令s=0s=0解得解得x=10 x=10當(dāng)當(dāng)x x1010時，時，s s單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)0 0 x x1010時，時，s s單調(diào)遞減單調(diào)遞減所以當(dāng)所以當(dāng)x=10 x=10時，時，s sminmin=216(cm=216(cm2 2) )，此時紙張的左右長為，此時紙張的左右長為12 cm12 cm，上下長為上下長為

10、18 cm18 cm故當(dāng)紙張的邊長分別為故當(dāng)紙張的邊長分別為12 cm12 cm，18 cm18 cm時最節(jié)約時最節(jié)約150 x150 x150 x300 x23003x【補償訓(xùn)練】【補償訓(xùn)練】已知三棱錐已知三棱錐s-abcs-abc的底面是正三角形，點的底面是正三角形，點a a在側(cè)面在側(cè)面sbcsbc上的射影上的射影h h是是sbcsbc的垂心，的垂心，sa=asa=a，則此三棱錐體積的最大，則此三棱錐體積的最大值是值是_._.【解題指南】【解題指南】說明點說明點s s在底面在底面abcabc上的射影上的射影o o為為abcabc的垂心，三的垂心，三棱錐棱錐s-abcs-abc為正三棱錐，記

11、為正三棱錐，記so=h(ha)so=h(ha)，求出，求出aoao，abab，表示出，表示出f(h)f(h)，通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，通過導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值. .【解析】【解析】因為點因為點a a在側(cè)面在側(cè)面sbcsbc上的射影上的射影h h是是sbcsbc的垂心，所以點的垂心，所以點s s在底面在底面abcabc上的射影上的射影o o為為abcabc的垂心；又的垂心；又abcabc為正三角形，為正三角形，所以所以o o為為abcabc的中心，即三棱錐的中心，即三棱錐s-abcs-abc為正三棱錐記為正三棱錐記so=h(hso=h(ha)a)，則，則ao= ao= ，于是有，于是有ab=

12、ab= ，記三棱錐，記三棱錐s-abcs-abc的體積為的體積為f(h)f(h)，則，則f(h)= (af(h)= (a2 2-h-h2 2)h)h，f(h)= (af(h)= (a2 2-3h-3h2 2) )，所以所以f(h)f(h)maxmax= =答案：答案：22ah223(ah )343433af(a)363a6類型二類型二 用料用料( (費用費用) )最省問題最省問題【典例【典例2 2】(1)(1)圓柱形金屬飲料罐的容積一定，要使生產(chǎn)這種金圓柱形金屬飲料罐的容積一定，要使生產(chǎn)這種金屬飲料罐所用的材料最省，它的高與底面半徑比為屬飲料罐所用的材料最省，它的高與底面半徑比為_._.(2)

13、(2)某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)塊，用某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)塊，用128128萬元購買土地萬元購買土地1000010000平方米，該中心每塊球場的建設(shè)面積為平方米，該中心每塊球場的建設(shè)面積為10001000平方米，球平方米，球場的總建筑面積的每平方米的平均建設(shè)費用與球場數(shù)有關(guān)，當(dāng)場的總建筑面積的每平方米的平均建設(shè)費用與球場數(shù)有關(guān)，當(dāng)該中心建球場該中心建球場x x塊時，每平方米的平均建設(shè)費用塊時，每平方米的平均建設(shè)費用( (單位：元單位：元) )可可近似地用近似地用f(x)=800(f(x)=800(1+ ln x1+ ln x) )來刻畫來刻畫. .為了使該球場每平方米為了使該球場

14、每平方米的綜合費用最省的綜合費用最省( (綜合費用是建設(shè)費用與購地費用之和綜合費用是建設(shè)費用與購地費用之和) )，該網(wǎng)，該網(wǎng)球中心應(yīng)建幾個球場球中心應(yīng)建幾個球場? ?15【解題探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)中圓柱形金屬飲料罐容積一定，底面半中圓柱形金屬飲料罐容積一定，底面半徑和高有什么關(guān)系徑和高有什么關(guān)系? ?2.2.題題(2)(2)中解決用料中解決用料( (費用費用) )最省問題的關(guān)鍵是什么最省問題的關(guān)鍵是什么? ?【探究提示】【探究提示】1.v=r1.v=r2 2h h，即，即2.2.解決用料解決用料( (費用費用) )最省問題的關(guān)鍵是選取合適的量作為自變量，最省問題的關(guān)鍵是選

15、取合適的量作為自變量，把要求解的問題表示成自變量的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值把要求解的問題表示成自變量的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值. .2vhr【自主解答】【自主解答】(1)(1)設(shè)圓柱形飲料罐的高為設(shè)圓柱形飲料罐的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r，則表面積則表面積s=2rh+2rs=2rh+2r2 2. .由由v=rv=r2 2h h，得得h= h= ，則，則s(r)=s(r)= +2r= +2r2 2，令，令s(r)=s(r)=解得解得r=r=從而從而即即h=2rh=2r，因為，因為s(r)s(r)只有一個極值，所以它是最小值，當(dāng)飲料只有一個極值，所以它是最小值，當(dāng)飲料罐的高與底面

16、直徑相等，即罐的高與底面直徑相等，即hr=21hr=21時所用材料最省時所用材料最省. .答案：答案：21212vr22v2 r2 rr 2vr22v4 r0r ，3v2，33223vv4vvh2r2v()2，(2)(2)設(shè)建成設(shè)建成x x個球場，則個球場，則1x101x10，每平方米的購地費用為，每平方米的購地費用為 元，元，因為每平方米的平均建設(shè)費用因為每平方米的平均建設(shè)費用( (單位：元單位：元) )可近似地用可近似地用f(x)=f(x)=800(1+ ln x)800(1+ ln x)來表示，所以每平方米的綜合費用為來表示，所以每平方米的綜合費用為g(x)=g(x)=f(x)+ =80

17、0+160ln x+ (xf(x)+ =800+160ln x+ (x0)0)，所以，所以g(x)=g(x)= (x (x0)0)，令令g(x)=0g(x)=0，則，則x=8x=8，當(dāng)，當(dāng)0 0 x x8 8時，時，g(x)g(x)0 0，當(dāng)，當(dāng)x x8 8時，時，g(x)g(x)0 0，所以，所以x=8x=8時，函數(shù)取得極小值，且為最小值時，函數(shù)取得極小值，且為最小值故當(dāng)建成故當(dāng)建成8 8座球場時，每平方米的綜合費用最省座球場時，每平方米的綜合費用最省4128 101 2801 000 xx151 280 x1 280 x2160(x8)x【延伸探究】【延伸探究】若把題若把題(1)(1)中的

18、條件改為圓柱形金屬飲料罐的表中的條件改為圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值面積為定值s s，要使它的容積最大，它的高與底面半徑的比為，要使它的容積最大，它的高與底面半徑的比為_._.【解題指南】【解題指南】先寫出飲料罐的高與底面半徑的關(guān)系，再把飲料先寫出飲料罐的高與底面半徑的關(guān)系，再把飲料罐的體積表示成底面半徑的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出飲料罐容積最罐的體積表示成底面半徑的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出飲料罐容積最大時滿足的條件，再求高與底面半徑的比大時滿足的條件，再求高與底面半徑的比. .【解析】【解析】因為因為s=2rh+2rs=2rh+2r2 2，所以，所以所以所以v(r)=v(r)= (s-2r= (s-2r

19、2 2)r= sr-r)r= sr-r3 3，v(r)= s-3rv(r)= s-3r2 2=0=0，得，得s=6rs=6r2 2，當(dāng)當(dāng)s=6rs=6r2 2時，容積最大，時，容積最大，此時此時6r6r2 2=2rh+2r=2rh+2r2 2即即hr=21.hr=21.答案：答案：21212s2 rh2 r ，22s2 rr2 r ，121212【方法技巧】【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的四個步驟利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的四個步驟【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量的耗油量y(y(升升) )關(guān)于行駛速度關(guān)

20、于行駛速度x(x(千米千米/ /小時小時) )的函數(shù)解析式可以的函數(shù)解析式可以表示為表示為 ，x(0 x(0，120120，且甲、乙兩地，且甲、乙兩地相距相距100100千米，則當(dāng)汽車以多少千米千米，則當(dāng)汽車以多少千米/ /小時的速度勻速行駛時，小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油量最少從甲地到乙地耗油量最少. .【解題指南】【解題指南】根據(jù)題意求出總耗油量根據(jù)題意求出總耗油量h(x)h(x)與速度與速度x x的關(guān)系式，的關(guān)系式，再利用導(dǎo)函數(shù)求出再利用導(dǎo)函數(shù)求出h(x)h(x)的極小值判斷出就是最小值即可的極小值判斷出就是最小值即可313yxx8128 00080【解析】【解析】當(dāng)速度為當(dāng)速

21、度為x x千米千米/ /小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小時，設(shè)耗油量為小時，設(shè)耗油量為h(x)h(x)升，升，依題意得依題意得h(x)=h(x)=h(x)=h(x)=令令h(x)=0h(x)=0，得，得x=80 x=80當(dāng)當(dāng)x(0 x(0，80)80)時，時，h(x)h(x)0 0，h(x)h(x)是減函數(shù)；是減函數(shù)；當(dāng)當(dāng)x(80 x(80，120)120)時，時，h(x)h(x)0 0，h(x)h(x)是增函數(shù)是增函數(shù)100 x3213100180015(xx8)x(0128 00080 x1 280 x4x120)，3322x800 x800 x120640

22、 x640 x所以當(dāng)所以當(dāng)x=80 x=80時，時，h(x)h(x)取到極小值取到極小值h(80)=11h(80)=112525因為因為h(x)h(x)在在(0(0，120120上只有一個極值，所以它是最小值故上只有一個極值，所以它是最小值故當(dāng)汽車以當(dāng)汽車以8080千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為最少，最少為11112525升升【補償訓(xùn)練】【補償訓(xùn)練】(2014(2014南京高二檢測南京高二檢測) )如圖，如圖，現(xiàn)要在邊長為現(xiàn)要在邊長為100 m100 m的正方形區(qū)域的正方形區(qū)域abcdabcd內(nèi)建內(nèi)建一個交通一個交通“環(huán)島

23、環(huán)島”以正方形的四個頂點為以正方形的四個頂點為圓心，在四個角分別建半徑為圓心，在四個角分別建半徑為x m(xx m(x不小于不小于9)9)的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為 x x2 2 m m的的圓形草地圓形草地. .為了保證道路暢通，島口寬不小于為了保證道路暢通，島口寬不小于60 m60 m，繞島行駛，繞島行駛的路寬均不小于的路寬均不小于10 m.10 m.15(1)(1)求求x x的取值范圍的取值范圍.(.(運算中運算中 取取1.4)1.4)(2)(2)若中間草地的造價為若中間草地的造價為a a元元/m/m2 2，四個花壇的造價為，四

24、個花壇的造價為 元元/m/m2 2，其余區(qū)域的造價為，其余區(qū)域的造價為 元元/m/m2 2，當(dāng)，當(dāng)x x取何值時，可使取何值時，可使“環(huán)環(huán)島島”的整體造價最低？的整體造價最低？24ax3312a11 x9 x9，【解析】【解析】(1)(1)由題意得，由題意得， 100-2x60100-2x60， 100 -2x-2100 -2x-2 x x2 2221010， x9x9，解得解得 x20 x20， 即即9x15.9x15. -20 x15 -20 x15，215(2)(2)記記“環(huán)島環(huán)島”的整體造價為的整體造價為y y元，則由題意得元，則由題意得令令f(x)=f(x)=則則f(x)=f(x)=

25、由由f(x)=0f(x)=0，解得，解得x=0 x=0或或x=10 x=10或或x=15x=15，列表如下：列表如下：22242221412a1ya( x )axx10( x )x 5331154324a14 (xx12x )12 10 .11253 43214xx12x253，32241x4x24x4x(xx6).2525 所以當(dāng)所以當(dāng)x=10 x=10時，時，y y取最小值取最小值. .答：當(dāng)答：當(dāng)x=10 x=10時，可使時，可使“環(huán)島環(huán)島”的整體造價最低的整體造價最低. .x x(9(9，10)10)1010(10(10，15)15) 1515f(x)f(x)- -0 0+ +0 0f

26、(x)f(x) 極小值極小值 類型三類型三 利潤最大利潤最大( (成本最低成本最低) )問題問題【典例【典例3 3】(1)(1)甲乙兩地相距甲乙兩地相距240 km240 km，汽車從甲地以速度，汽車從甲地以速度v(km/h)v(km/h)勻速行駛到乙地已知汽車每小時的運輸成本由固定成本和可勻速行駛到乙地已知汽車每小時的運輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為變成本組成，固定成本為160160元，可變成本為元，可變成本為 元為使元為使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以_速度行駛速度行駛. .31v6 400(2)(2)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量某工廠生產(chǎn)某種

27、產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x(x(噸噸) )與每噸與每噸產(chǎn)品的價格產(chǎn)品的價格p(p(元元/ /噸噸) )之間的關(guān)系式為：之間的關(guān)系式為：p=24 200- xp=24 200- x2 2，且生，且生產(chǎn)產(chǎn)x x噸的成本為噸的成本為r=50 000+200 x(r=50 000+200 x(元元) )問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？品才能使利潤達(dá)到最大？最大利潤是多少？15【解題探究】【解題探究】1.1.題題(1)(1)中汽車每小時的運輸成本由哪些成本組中汽車每小時的運輸成本由哪些成本組成？如何利用導(dǎo)數(shù)求最值？成？如何利用導(dǎo)數(shù)求最值？2.2.題題(

28、2)(2)中利潤、收入、成本三者之間有何關(guān)系中利潤、收入、成本三者之間有何關(guān)系? ?求利潤最大的求利潤最大的解題思路是什么解題思路是什么? ?【探究提示】【探究提示】1.1.根據(jù)汽車每小時的運輸成本由固定成本和可變根據(jù)汽車每小時的運輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為成本組成，固定成本為160160元，可變成本為元，可變成本為 元，可構(gòu)建元，可構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的極值，極值就是最值函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的極值，極值就是最值2.2.利潤、收入、成本三者之間的關(guān)系為：利潤利潤、收入、成本三者之間的關(guān)系為：利潤= =收入收入- -成本首成本首先列出利潤關(guān)于月生產(chǎn)量的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求

29、函數(shù)的最先列出利潤關(guān)于月生產(chǎn)量的關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值值31v6 400【自主解答】【自主解答】(1)(1)設(shè)全程運輸成本為設(shè)全程運輸成本為y y元，由題意，得元，由題意，得令令y=0y=0，得，得v=80v=80當(dāng)當(dāng)v v8080時，時，yy0 0；當(dāng)當(dāng)0 0v v8080時，時，yy0 0所以所以v=80v=80時，時，y yminmin=720=720答案：答案：80 km/h80 km/h3224011601y(160v )240(v )v0v6 400v6 400， ，21602y240(v)v6 400 (2)(2)每月生產(chǎn)每月生產(chǎn)x x噸時的利潤為噸時的利潤為f(x)=(

30、24 200- xf(x)=(24 200- x2 2)x-(50 000+200 x)x-(50 000+200 x)=- x=- x3 3+24 000 x-50 000(x0)+24 000 x-50 000(x0)，由由f(x)=- xf(x)=- x2 2+24 000=0+24 000=0，解得：，解得：x=200 x=200或或x=-200(x=-200(舍去舍去) )因因f(x)f(x)在在0 0，+)+)內(nèi)只有一個點內(nèi)只有一個點x=200 x=200使使f(x)=0f(x)=0，故它就是，故它就是最大值點，且最大值為最大值點，且最大值為f(200)=- f(200)=- 20

31、02003 3+24 000+24 000200-200-50 000=3 150 000(50 000=3 150 000(元元) )，故每月生產(chǎn)故每月生產(chǎn)200200噸產(chǎn)品時利潤達(dá)到最大，最大利潤為噸產(chǎn)品時利潤達(dá)到最大，最大利潤為315315萬元萬元15153515【方法技巧】【方法技巧】1.1.經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)經(jīng)濟生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢，以產(chǎn)量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來量或單價為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動分析、研究

32、、指導(dǎo)生產(chǎn)活動. .2.2.關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系(1)(1)利潤利潤= =收入收入- -成本成本. .(2)(2)利潤利潤= =每件產(chǎn)品的利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)銷售件數(shù). .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】(2014(2014寧德高二檢測寧德高二檢測) )在一定面積的水域中養(yǎng)殖在一定面積的水域中養(yǎng)殖某種魚類，每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量某種魚類，每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量p p是網(wǎng)箱個數(shù)是網(wǎng)箱個數(shù)x x的一次函數(shù)，如果放的一次函數(shù)，如果放置置4 4個網(wǎng)箱，則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為個網(wǎng)箱，則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為1616噸；如果放置噸；如果放置7 7個網(wǎng)箱，則個網(wǎng)箱，則每個網(wǎng)箱的產(chǎn)量為每個網(wǎng)箱的產(chǎn)

33、量為1010噸，由于該水域面積限制，最多只能放置噸，由于該水域面積限制，最多只能放置1010個網(wǎng)箱個網(wǎng)箱. .(1)(1)試問放置多少個網(wǎng)箱時，總產(chǎn)量試問放置多少個網(wǎng)箱時，總產(chǎn)量q q最高最高? ?(2)(2)若魚的市場價為若魚的市場價為m m萬元萬元/ /噸，養(yǎng)殖的總成本為噸，養(yǎng)殖的總成本為(5lnx+1)(5lnx+1)萬元萬元. .(i)(i)當(dāng)當(dāng)m=0.25m=0.25時，應(yīng)放置多少個網(wǎng)箱才能使總收益時，應(yīng)放置多少個網(wǎng)箱才能使總收益y y最大最大? ?(ii)(ii)當(dāng)當(dāng)m0.25m0.25時，求使得收益時，求使得收益y y最高的所有可能的最高的所有可能的x x值組成的值組成的集合集合

34、. .【解析】【解析】(1)(1)設(shè)設(shè)p=ax+bp=ax+b，由已知得，由已知得 所以所以所以所以p=-2x+24p=-2x+24，所以，所以q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)2 2+72(xn+72(xn* *，x10)x10)，所以當(dāng)，所以當(dāng)x=6x=6時，時，f(x)f(x)最大，即放置最大，即放置6 6個網(wǎng)箱時，可使總個網(wǎng)箱時，可使總產(chǎn)量達(dá)到最大產(chǎn)量達(dá)到最大(2)(2)總收益為總收益為y=f(x)=(-2xy=f(x)=(-2x2 2+24x)m-(5ln x+1)(xn+24x)m-(5ln x+1)(xn* *，x10)x10

35、)，(i)(i)當(dāng)當(dāng)m=0m=02525時，時，f(x)=(-2xf(x)=(-2x2 2+24x)+24x) -(5ln x+1)=- x -(5ln x+1)=- x2 2+6x+6x-5ln x-1-5ln x-1，所以，所以f(x)=f(x)=164ab107ab，a2b24 ，1412(x1)(x5)x，當(dāng)當(dāng)1 1x x5 5時，時，f(x)f(x)0 0，當(dāng)，當(dāng)5 5x x1010時，時，f(x)f(x)0 0，所以，所以x=5x=5時，函數(shù)取得極大值，也是最大值所以應(yīng)放置時，函數(shù)取得極大值，也是最大值所以應(yīng)放置5 5個網(wǎng)箱才個網(wǎng)箱才能使總收益能使總收益y y最大；最大；(ii)(

36、ii)當(dāng)當(dāng)m0m02525時，時，f(x)=(-2xf(x)=(-2x2 2+24x)m-(5ln x+1)+24x)m-(5ln x+1)，所以所以f(x)=f(x)=令令f(x)=0f(x)=0，即，即-4mx-4mx2 2+24mx-5=0+24mx-5=0，因為，因為m0.25m0.25，所以，所以=16m(36m-5)=16m(36m-5)0 0，方程，方程-4mx-4mx2 2+24mx-5=0+24mx-5=0的兩根分別為的兩根分別為x x1 1=3-=3- ，x x2 2=3+ =3+ ，因為，因為m0.25m0.25，所以，所以x x1 111，5x5x2 26 6，所以當(dāng)，

37、所以當(dāng)x(1x(1，x x2 2) )時，時，f(x)f(x)0 0，當(dāng)，當(dāng)x x2 2x x1010時，時，24mx24mx5x，594m594mf(x)f(x)0 0，所以，所以x=xx=x2 2時，函數(shù)取得極大值，也是最大值時，函數(shù)取得極大值，也是最大值所以使得收益所以使得收益y y最高的所有可能的最高的所有可能的x x值組成的集合為值組成的集合為55，66【補償訓(xùn)練】【補償訓(xùn)練】某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量銷售量y(y(單位：千克單位：千克) )與銷售價格與銷售價格x(x(單位：元單位：元/ /千克千克) )滿足關(guān)系滿足關(guān)系

38、式式y(tǒng)= +10(x-6)y= +10(x-6)2 2，其中，其中3x63x6，a a為常數(shù)，已知銷售價格為為常數(shù)，已知銷售價格為5 5元元/ /千克時，每日可售出該商品千克時，每日可售出該商品1111千克千克. .(1)(1)求求a a的值的值. .(2)(2)若該商品的成本為若該商品的成本為3 3元元/ /千克，試確定銷售價格千克，試確定銷售價格x x的值，使商的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大場每日銷售該商品所獲得的利潤最大. .ax3【解題指南】【解題指南】(1)(1)根據(jù)根據(jù)“銷售價格為銷售價格為5 5元元/ /千克時，每日可售出千克時，每日可售出該商品該商品1111千克千克

39、”可知銷售函數(shù)過點可知銷售函數(shù)過點(5(5，11)11)，將其代入可求得，將其代入可求得a a的值的值. .(2)(2)利潤為利潤為f(x)=(f(x)=(每千克產(chǎn)品的售價每千克產(chǎn)品的售價- -每千克產(chǎn)品的成本每千克產(chǎn)品的成本) )銷銷售量，表示出函數(shù)解析式后，可借助導(dǎo)數(shù)求最值售量，表示出函數(shù)解析式后，可借助導(dǎo)數(shù)求最值. .【解析】【解析】(1)(1)因為因為x=5x=5時，時，y=11y=11，所以，所以 +10=11+10=11，所以，所以a=2.a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知，該商品每日的銷售量可知，該商品每日的銷售量y= +10(x-6)y= +10(x-6)2 2，所以商場

40、每日銷售該商品所獲得的利潤所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)=(x-3) +10(x-6)f(x)=(x-3) +10(x-6)2 2=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2，3x6.3x6.從而從而f(x)=10f(x)=10(x-6)(x-6)2 2+2(x-3)(x-6)+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).=30(x-4)(x-6).于是，當(dāng)于是，當(dāng)x x變化時，變化時，f(x)f(x)，f(x)f(x)的變化情況如下表，的變化情況如下表，a22x32x3由上表可得，由上表可得，x=4x=4是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(3(3

41、，6)6)內(nèi)的極大值點，也內(nèi)的極大值點，也是最大值點是最大值點. .所以，當(dāng)所以，當(dāng)x=4x=4時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)f(x)取得最大值，且最大值等于取得最大值，且最大值等于42.42.答：當(dāng)銷售價格為答：當(dāng)銷售價格為4 4元元/ /千克時，商場每日銷售該商品所獲得的千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大利潤最大. .x x(3(3，4)4)4 4(4(4，6)6)f(x)f(x)+ +0 0- -f(x)f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 極大值極大值4242 單調(diào)遞減單調(diào)遞減【規(guī)范解答】【規(guī)范解答】導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用【典例】【典例】(12(12分分) )某分公

42、司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為為3 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a a元元(3a5)(3a5)的管理費，的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x x元元(9x11)(9x11)時，一年的銷售量為時，一年的銷售量為(12-x)(12-x)2 2萬件萬件. .(1)(1)求分公司一年的利潤求分公司一年的利潤l(l(萬元萬元) )與每件產(chǎn)品的售價與每件產(chǎn)品的售價x x的函數(shù)關(guān)的函數(shù)關(guān)系式系式. .(2)(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤l l最大，最大，并求出并求出l l的最大值的最大值q(a).q(a).【審題】【審題】抓信息，找思路抓信息，找思路 【解題】【解題】明步驟，得高分明步驟，得高分【點題】【點題】警誤區(qū)，促提升警誤區(qū)，促提升失分點失分點1 1：若在：若在處不能正確求出導(dǎo)數(shù)為處不能正確求出導(dǎo)數(shù)為0 0的點，即不舍的點，即