01第一節(jié)向量及其運算

1、2021-11-151第一節(jié)第一節(jié) 向量及其運算向量及其運算一、向量概念一、向量概念二、向量的線性運算二、向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影六、小結(jié)六、小結(jié) 思考題思考題2021-11-152向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m為起點，為起點，2m為終點的有向線段為終點的有向線段.1m2m a21mm模長為模長為1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向

2、量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：一、向量概念一、向量概念或或或或或或2021-11-153自由向量：自由向量：不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點空間直角坐標(biāo)系中任一點 與原點與原點構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . omm2021-11-1541 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向

3、和反向bac|bac （平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）二、向量的線性運算二、向量的線性運算1、向量的加減法、向量的加減法2021-11-155向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2021-11-156設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0

4、)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 2、向量與數(shù)的乘法、向量與數(shù)的乘法2021-11-157數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa 定定理理1 1設(shè)設(shè)向向量量，那那末末向向量量平平行行于于的的充充分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯一一的的實實數(shù)數(shù) ，使使兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系2021-11-158證證充分性顯然；充分性顯然；必要性必要性ab設(shè)設(shè),ab 取取取正值，取正值，同向時同向時與與當(dāng)當(dāng) ab取負值，取負值，反向時

5、反向時與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即有即有.同向同向與與此時此時ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又設(shè)又設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即2021-11-159同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.2021-11-1510例例1 1 化簡化簡 53215abbba解解 5

6、3215abbbaba 551251)31(.252ba 2021-11-1511例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分的試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad與與 平行且相等平行且相等,bc結(jié)論得證結(jié)論得證.abcdmab2021-11-1512.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uabuuab.abababuuabuabab ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負的，是負的，軸反向時軸反向時與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時向時軸同軸同與與

7、，且當(dāng)，且當(dāng)滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)向量在軸上的值：向量在軸上的值：2021-11-1513ouab1軸同方向的單位向量，軸同方向的單位向量，是與是與設(shè)設(shè)ue.)(eabab 的相互位置如何，的相互位置如何，三點三點軸上任意三點，不論這軸上任意三點，不論這是是設(shè)設(shè)ucba,ebceabeac)()()( 即即,)(ebcab .bcabac ,bcabac e2021-11-1514x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個坐標(biāo)軸的正方向三個坐標(biāo)軸的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個手指當(dāng)右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以

8、2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時，大拇指的指向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系2021-11-1515xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限八個卦限2021-11-1516空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的點,p,q,r坐標(biāo)面上的點坐標(biāo)面上的點,a,b,c2021-11-1517以以

9、kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向向的的單單位位向向量量.romxiyjzk xyzo ijkpnqrmhk向量的坐標(biāo)分解式：向量的坐標(biāo)分解式：任給向量任給向量 ，對應(yīng)有點，對應(yīng)有點 ,使使 ，如圖所示，設(shè)，如圖所示，設(shè)r momr ,opxi ,oqyj .orzk 則則上式稱為向量上式稱為向量 的的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式， 稱為向量稱為向量 沿三個坐標(biāo)軸方向的沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量分向量。r r xiyjzk、 、2021-11-1518向量向量 稱為點稱為點 關(guān)于原點關(guān)于原點 的的向徑向徑。rom mo ,x y z、( ,).rxyz 定義：定義：向量向量 的的坐標(biāo)坐標(biāo)：r

10、 向量向量 的的坐標(biāo)表達式坐標(biāo)表達式：r ,x y z、點點 的的坐標(biāo)坐標(biāo)：m記作：記作：( ,).m xyz2021-11-1519四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 設(shè)：設(shè)：則則2021-11-1520解解,111zzyyxxam ,222zzyyxxmb 設(shè)設(shè)),(zyxm為直線上的點，為直線上的點，例例 3 3 設(shè)設(shè)),(11

11、1zyxa和和),(222zyxb為兩已知為兩已知點， 而在點， 而在ab直線上的點直線上的點m分有向線段分有向線段ab為兩為兩部分部分am、mb，使它們的值的比等于某數(shù)，使它們的值的比等于某數(shù))1( ，即，即 mbam，求分點的坐，求分點的坐標(biāo)標(biāo). abmxyzo2021-11-1521由題意知：由題意知：mbam ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzm為為有有向向線線段段ab的的定定比比分分點點.m為中點時，為中點時，,221xxx ,221yyy .221zzz 2021-

12、11-1522設(shè)設(shè)),(1111zyxm、),(2222zyxm為為空空間間兩兩點點xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212nmpnpmd 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影2021-11-1523,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr

13、2m2021-11-1524例例 4 4 求證以求證以)1 , 3 , 4(1m、)2 , 1 , 7(2m、)3 , 2 , 5(3m 三點為頂點的三角形是一個等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.2021-11-1525例例 5 5 設(shè)設(shè)p在在x軸上，它到軸上，它到)3 , 2, 0(1p的距離為的距離為到點到點)1, 1 , 0(2 p的距離的兩倍，求點的距離的兩倍，求點p的坐標(biāo)的坐標(biāo).

14、解解設(shè)設(shè)p點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因為因為p在在x軸上，軸上， 1pp 22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 2021-11-1526空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們

15、的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 2021-11-1527非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1m 2m 2021-11-1528xyzo 1m 2m 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa pqr向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121rmqmpmmm 2021-11-15290

16、222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式2021-11-15301coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為2021-11-1531例例 6 6 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的單單位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116

17、117116kji 或或0a|aa .116117116kji 2021-11-1532例例 7 7 設(shè)有向量設(shè)有向量21pp，已知，已知221 pp，它與，它與 x軸軸和和y軸的夾角分別為軸的夾角分別為 3 和和 4 ，如果，如果 1p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為)3 , 0 , 1(，求，求2p的坐標(biāo)的坐標(biāo). 解解設(shè)向量設(shè)向量21pp的方向角為的方向角為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 2021-11-1533.32,3 設(shè)設(shè)2p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為),(zyx,1cos x 21pp21 x21 , 2 x0cos y 21pp20 y22

18、, 2 y3cos z 21pp23 z, 2, 4 zz2p的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 2021-11-1534空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u aa 過過點點a作作軸軸 u的的垂垂直直平平面面，交交點點 a 即即為為點點 a在在軸軸 u上上的的投投影影. 2021-11-1535空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uaa bb 已知向量的起點已知向量的起點a和終點和終點b在在軸軸u上的投影分別為上的投影分別為ba ,那那 么軸么軸u上的有向線段上的有向線段ba 的的值，稱為向量在軸值，稱為向量在軸 u上的投影上的投影. uprj ab

19、 .ba 向量向量ab在軸在軸 u上的投影記為上的投影記為 2021-11-1536關(guān)于向量的投影的性質(zhì)：關(guān)于向量的投影的性質(zhì)： 向向量量ab在在軸軸 u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以軸軸與與向向量量的的夾夾角角的的余余弦弦： uprj ab |cosab 證證uaba b b uprj ab uprj ab cos| ab u 性質(zhì)性質(zhì)12021-11-1537性質(zhì)性質(zhì)1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負；投影為負；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 2021-11

20、-1538兩個向量的和在軸上的投影等于兩個兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和向量在該軸上的投影之和. . 1212().uuuprj aaprj aprj aaa bb cc （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a性質(zhì)性質(zhì)2性質(zhì)性質(zhì)3().uuprjaprj a 2021-11-1539例例 8 8 設(shè)設(shè)kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求向量，求向量pnma 34在在 x軸上的投影及在軸上的投影及在y軸上的分向量軸上的分向量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投

21、影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.2021-11-1540六、小結(jié)六、小結(jié)向量的概念向量的概念向量的加減法向量的加減法向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）（注意數(shù)乘后的方向）2021-11-1541空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限） 21221221221zzyyxxmm 2021-11-1542向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐

22、標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式.（注意分向量與向量的坐標(biāo)的（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別區(qū)別）作業(yè)：作業(yè)：p p12 12 習(xí)題習(xí)題8-18-15 5、12 12、13 13、15 152021-11-1543思考題思考題2、在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點在哪個、在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點在哪個卦限？卦限？, )3 , 2, 1( a, )4, 3 , 2( b, )4, 3, 2( c. )1 , 3, 2( d1、已知平行四邊形、已知平行四邊形abcd的對角線的對角線ac,a bdb 試用試

23、用 表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量.ba,2021-11-1544思考題思考題2解答解答a:; b:; c:; d:;思考題思考題1解答解答bcad am md).(21ba dc ab am mb).(21ba abcdmab2021-11-1545一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做單位向量；的向量叫做單位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 與與_無關(guān)的向量稱為自由向量；無關(guān)的向量稱為自由向量；6 6、 平行于同一直線的一組向量叫做平行于

24、同一直線的一組向量叫做_，三，三個或三個以上平行于同一平面的一組向量叫做個或三個以上平行于同一平面的一組向量叫做_ _ _；7 7、兩兩向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我們們稱稱這這兩兩個個向向量量相相等等；8 8、兩兩個個模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互為為逆逆向向量量；9 9、把把空空間間中中一一切切單單位位向向量量歸歸結(jié)結(jié)到到共共同同的的始始點點，則則終終點點 構(gòu)構(gòu)成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題 12021-11-15461010、把平行于某一直線的一切單位向量歸結(jié)到共同的

25、、把平行于某一直線的一切單位向量歸結(jié)到共同的 始點，則終點構(gòu)成始點，則終點構(gòu)成_；1111、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,應(yīng)滿足應(yīng)滿足_ _ _；1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,應(yīng)滿足應(yīng)滿足_ _ _ _ . .二、二、 用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形行四邊形 .三 、 把三 、 把abc的的bc邊 五 等 分 ， 設(shè) 分 點 依 次 為邊 五 等 分 ， 設(shè) 分 點 依 次 為4321,dddd， 再 把 各 分 點 與 點， 再 把 各 分 點 與 點a連 接 ， 試 以連 接 ， 試 以

26、abccab ,表示向量表示向量adadadad4321,和和 . .2021-11-1547練習(xí)題練習(xí)題1答案答案一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大??；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起點；、起點； 6 6、共線向量、共線向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半徑為、半徑為 1 1 的球面；的球面； 1010、距離等于、距離等于 2 2 的兩點；的兩點； 1111、a垂直于垂直于b； 1212、a與與b同向同向 . .三、

27、三、)51(1acad , ,)52(2acad , , ).54(),53(43acadacad 2021-11-1548 1 1、下列各點所在象限分別是：、下列各點所在象限分別是： _;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；軸軸的的對對稱稱點點是是，關(guān)關(guān)于于軸軸的的對對稱稱點點是是，關(guān)關(guān)于于的的對對稱稱點點是是軸軸，關(guān)關(guān)于于的的對對稱稱點點是是關(guān)關(guān)于于平平面面的的對對稱稱點點是是，關(guān)關(guān)于于平平面面的的對對稱稱點點是是關(guān)關(guān)于于平平面面、點點_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空題一、填空題練習(xí)題練習(xí)題22021-11-15493、點、點)5,3,4( a在在xoy平面上的射影點為平面上的射影點為_ _, ,在在yoz面上的射影點為面上的射影點為_，在，在 zox軸上的射影點為軸上的射影點為_，在，在軸上軸上x的射影的射影 點為點為_，在，在軸上軸上x的射影點為的射影點為_，在，在 軸上軸上z的射影點為的射影點為_ ; ;4、已知空間直角坐標(biāo)系下，立方體的、已知空間直角坐標(biāo)系下，立方體的 4 個頂點為個頂點為 ),(aaaa ，),(aaab ，),(aaac 和和 ),(aaad，則其余頂