高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析：2.7冪函數(shù)

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5高考一輪復(fù)習(xí)熱點難點精講精析：2.7冪函數(shù)一、冪函數(shù)定義的應(yīng)用1、相關(guān)鏈接（1）判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，只需判斷該函數(shù)的解析式是否滿足：指數(shù)為常數(shù)；底數(shù)為自變量;冪系數(shù)為1.（2）若一個函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)解析式也必具有以上的三個特征.（3）幾個具體函數(shù)的定義正比例函數(shù)； 反比例函數(shù)；一次函數(shù)；二次函數(shù)；來源:冪函數(shù)（）2、例題解析例1已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m為何值時，f(x)：(1)是冪函數(shù)；(2)是冪函數(shù)，且是(0，+)上的增函數(shù)；(3)是正比例函數(shù)；(4)是反比例函數(shù).【方法詮釋】利用冪函數(shù)必須滿足的三個特征，構(gòu)建關(guān)于m的式

2、子求解(1)(2)；利用正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的定義，構(gòu)建關(guān)于m的方程，求解(3)(4).解析：(1)f(x)是冪函數(shù)，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是冪函數(shù)，且又是(0,+)上的增函數(shù)，則m=-1.(3)若f(x)是正比例函數(shù)，則-5m-3=1,解得此時m2-m-10,故(4)若f(x)是反比例函數(shù)，則-5m-3=-1,則此時m2-m-10,故例2已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)是冪函數(shù)，求m、n的值.思路解析：本題是求實數(shù)m、n的值，由于已知冪函數(shù)的解析式，因此在解題方法上可從冪函數(shù)的定義入手，利用方程思想解決.解答：由題

3、意得：，解得，所以，。二、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用1、相關(guān)鏈接來源:冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)由于的值不同而比較復(fù)雜，一般從三方面考查：（1）的正負(fù)：>0時，圖象過原點和（1，1），在第一象限的圖象上升；<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立；來源:（2）曲線在第一象限的凹凸性：>1時，曲線下凸；0<<1時，曲線上凸；<0時，曲線下凸；（3）=（其中，且互質(zhì)）。當(dāng)為偶數(shù)時，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)都為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱；當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時，為非奇非偶函數(shù)，其圖象只能在第一象限。(4)冪函數(shù)的圖象最多只能出現(xiàn)在

4、兩個象限內(nèi)；來源:(5)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點一定是原點.注：冪函數(shù)的圖象無論取何實數(shù)，其必經(jīng)過第一象限，且一定不經(jīng)過第四象限。2、例題解析例1已知點在冪函數(shù)的圖象上，點，在冪函數(shù)的圖象上定義試求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間.【方法詮釋】本題是求函數(shù)h(x)的最大值以及單調(diào)區(qū)間，只需作出其圖象,數(shù)形結(jié)合求解即可，但由于在條件中已知函數(shù)h(x)在相應(yīng)段上的解析式，所以，在求解方法上，應(yīng)在每一段上求最大值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時要注意函數(shù)端點值解析：設(shè)冪函數(shù)為f(x)=x，因為點在f(x)的圖象上，所以所以=2，即f(x)=x2；又設(shè)g(x)=x，點()在g(x)的圖象上，所以(2

5、)=，所以=2，來源:即g(x)=x2.在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，如圖所示：則有：根據(jù)圖象可知：函數(shù)的最大值等于1，單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)和(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，0)和(1，+).注：解決與冪函數(shù)圖象有關(guān)的問題，常利用其單調(diào)性、奇偶性、最值(值域)等性質(zhì)去確認(rèn)與應(yīng)用，而與冪函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的性質(zhì)的研究，常利用其相應(yīng)冪函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.例2 已知函數(shù)（1） 求的單調(diào)區(qū)間；（2） 比較與的大小來源:解答：（1）方法一：=1+，其圖象可由冪函數(shù)向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到，如圖：所以該函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。方法二：=1+，設(shè)在定義域內(nèi)，

6、則（2）圖象關(guān)于直線對稱，又。（二）冪函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用1、相關(guān)鏈接來源:<一>比較冪值大小的類型及方法(1)當(dāng)冪的底數(shù)相同，指數(shù)不相同時，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；(2)當(dāng)冪的底數(shù)不同，指數(shù)相同時，可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較；(3)當(dāng)冪的底數(shù)與指數(shù)都不同時，一種方法是作商，比較商值與1的大小關(guān)系，確定兩個冪值的大小關(guān)系；另一種方法是找中介值，即找中間量，通過比較兩個冪值與中間量的大小，確定兩冪值的大小關(guān)系；(4)比較多個冪值的大小，一般也采用中間量法，即先判斷每個冪值與0、1等數(shù)的大小關(guān)系，據(jù)此將它們分成若干組，然后將同一組內(nèi)的各數(shù)再比較大小，最后確定各數(shù)間的大小關(guān)系.<

7、二>冪函數(shù)y=x的性質(zhì)(1)定義域、值域及奇偶性,要視的具體值而定.(2)當(dāng)0時，冪函數(shù)在(0，+)上是增函數(shù)，當(dāng)0時，冪函數(shù)在(0，+)上是減函數(shù).2、例題解析【例1】(1)試比較0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.(2)已知冪函數(shù)y=x3m-9(mn*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，+)上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足的a的取值范圍.【解題指南】(1)前三個同指數(shù)的冪值用冪函數(shù)y=x0.2的單調(diào)性比較，而后兩個同底數(shù)的冪值利用指數(shù)函數(shù)y=2x的單調(diào)性比較.(2)利用冪函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)建出m的不等式，并求出m的值，再根據(jù)其單調(diào)性，由關(guān)于a的已知不等式，構(gòu)建a的不等式，從

8、而求出a的范圍.【規(guī)范解答】(1)因為函數(shù)y=x0.2在r上為增函數(shù)，來源:且0.20.42,0.20.2 0.40.220.2,又函數(shù)y=2x在r上為增函數(shù)，且0.21.6,20.221.6,0.20.20.40.220.221.6.(2)函數(shù)在(0，+)上遞減，3m-9<0，m<3，mn*，m=1,2.又函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，3m-9為偶數(shù)，當(dāng)m=1時,3m-9=-6為偶數(shù)，當(dāng)m=2時,3m-9=-3為奇數(shù)，而在(-,0)，(0，+)上均為減函數(shù)，等價于a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a，解得a<-1或a

9、的取值范圍是a|a<-1或.三、冪函數(shù)中的三類討論題所謂分類討論，實質(zhì)上是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的策略 分類討論時應(yīng)注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧，做到確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重、不漏的分類討論在冪函數(shù)中，分類討論的思想得到了重要的體現(xiàn)，可根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性分類討論，使得結(jié)果得以實現(xiàn)類型一：求參數(shù)的取值范圍例1已知函數(shù)為偶函數(shù)，且，求m的值，并確定的解析式來源:分析：函數(shù)為偶函數(shù)，已限定了必為偶數(shù)，且，只要根據(jù)條件分類討論便可求得m的值，從而確定的解析式解：是偶函數(shù)，應(yīng)為偶數(shù)又，即，整理，得，又，或1當(dāng)m=0時，為奇數(shù)（舍去）；當(dāng)時，為

10、偶數(shù)故m的值為1，評注：利用分類討論思想解題時，要充分挖掘已知條件中的每一個信息，做到不重不漏，才可為正確解題奠定堅實的基礎(chǔ)類型二：求解存在性問題例2已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)，問是否存在實數(shù)，使得在區(qū)間是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行判斷，但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間解：，則假設(shè)存在實數(shù)，使得滿足題設(shè)條件，設(shè)，則來源:若，易知，要使在上是減函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，.從而要使恒成立，則有，即若，易知，要使在上是增函數(shù)，則應(yīng)有恒成立，而，要使恒成立，則必有，即綜上可知，存在實數(shù)，使得在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)注：本題是一道綜合性較強的題目，是冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用判斷函數(shù)的單調(diào)性時，可從定義入手，也可根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷，但對分析問題和解決問題的能力要求較高，這在平時要注意有針對性的訓(xùn)練類型三：類比冪函數(shù)性質(zhì)，討論函數(shù)值的變化情況例3討論函數(shù)在時隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況分析：首先應(yīng)判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù)，再看冪指數(shù)，并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論解：（1）當(dāng)，即或時，為常函數(shù)；（2）當(dāng)時，或，此時函數(shù)為常函數(shù)；（3）即時，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減??；（4）當(dāng)即或時，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；（5）當(dāng)即時，函數(shù)為增函數(shù)，函