高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：14.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教案含習(xí)題及答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.514.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)梳理1.函數(shù)的單調(diào)性（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),若f（x）0,則f（x）為增函數(shù);若f（x）0,則f（x）為減 函數(shù).（2）求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法.確定函數(shù)f（x）的定義區(qū)間.求f（x）,令f（x）=0,解此方程,求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根.把函數(shù)f（x）的間斷點(diǎn)即包括f（x）的無定義點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f（x）的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間.確定f（x）在各小開區(qū)間內(nèi)的符號(hào),根據(jù)f（x）的符號(hào)判定函數(shù)f（x）在每個(gè)相應(yīng)小開區(qū)間內(nèi)的增減性.2.可導(dǎo)函數(shù)的極值（1）極

2、值的概念設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x 0附近有定義,且若對(duì)x0附近所有的點(diǎn)都有f（x）f（x0）（或f（x）f（x0）,則稱f（x0）為函數(shù)的一個(gè)極大（小）值,稱x0為極大（?。┲迭c(diǎn).（2）求可導(dǎo)函數(shù)f（x）極值的步驟.求導(dǎo)數(shù)f（x）.求方程f（x）=0的根.檢驗(yàn)f（x）在方程f（x）=0的根的左右的符號(hào),如果在根的左側(cè)附近為正,右側(cè)附近為負(fù),那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處取得極大值;如果在根的左側(cè)附近為負(fù),右側(cè)附近為正,那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)根處取得極小值.3.函數(shù)的最大值與最小值（1）設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間a,b上的函數(shù),y=f（x）在（a,b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),求函數(shù)y=f（x）在a,b上的最大

3、值與最小值,可分兩步進(jìn)行.求y=f（x）在（a,b）內(nèi)的極值.將y=f（x）在各極值點(diǎn)的極值與f（a）、f（b）比較,其中最大的一個(gè)為最大值,最小的一個(gè)為最小值.（2）若函數(shù)f（x）在a,b上單調(diào)增加,則f（a）為函數(shù)的最小值,f（b）為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f（a）在a,b上單調(diào)遞減,則f（a）為函數(shù)的最大值,f（b）為函數(shù)的最小值.特別提示我們把使導(dǎo)函數(shù)f（x）取值為0的點(diǎn)稱為函數(shù)f（x）的駐點(diǎn),那么（1）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它的駐點(diǎn),注意這句話中的“可導(dǎo)”兩字是必不可少的.例如函數(shù)y=|x|在點(diǎn)x=0處有極小值f（0）=0,可是我們在前面已說明過,f（0）根本不存在,所以點(diǎn)x=0不是f（

4、x）的駐點(diǎn).（2）可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn).例如函數(shù)f（x）=x3的導(dǎo)數(shù)是 f（x）=3x2,在點(diǎn)x=0處有f（0）=0,即點(diǎn)x=0是f（x）=x3的駐點(diǎn),但從f（x）在（, +）上為增函數(shù)可知,點(diǎn)x=0不是f（x）的極值點(diǎn).點(diǎn)擊雙基1.（2005年海淀區(qū)高三第一學(xué)期期末模擬）函數(shù)y=xsinx+cosx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)a.（,） b.（,2）c.（, ） d.（2,3）解析：y=（xsinx+cosx）=sinx+xcosxsinx=xcosx,當(dāng)x（,）時(shí),恒有xcosx0.答案：c2.函數(shù)y=1+3xx3有a.極小值2,極大值2b.極小值2,極大值3c.極小值

5、1,極大值1d.極小值1,極大值3解析：y=33x2=3（1+x）（1x）.令y=0得x1=1,x2=1.當(dāng)x1時(shí),y0,函數(shù)y=1+3xx3是減函數(shù);當(dāng)1x1時(shí), y0,函數(shù)y=1+3xx3是增函數(shù);當(dāng)x1時(shí),y0,函數(shù)y=1+3xx3是減函數(shù).當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y=1+3xx3有極小值1;當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y=1+3xx3有極大值3.答案：d3.設(shè)f（x）在（a,b）內(nèi)有定義，x0（a,b），當(dāng)xx0時(shí)，f（x）0;當(dāng)xx0時(shí)，f（x）0.則x0是a.間斷點(diǎn) b.極小值點(diǎn)c.極大值點(diǎn) d.不一定是極值點(diǎn)解析:f（x）在x0處不一定連續(xù).答案:d4.函數(shù)f（x）=xx在（，）上的單調(diào)性是_.解析

6、:f（x）=exex=ex（e2x1）,當(dāng)x（0,+）時(shí)，f（x）0.f（x）在（0，+）上是增函數(shù).答案:增函數(shù)5.若函數(shù)f（x）=x3+x2+mx+1是r上的單調(diào)遞增函數(shù)，則m的取值范圍是_.解析:f（x）=3x2+2x+m.f（x）在r上是單調(diào)遞增函數(shù),f（x）0在r上恒成立，即3x2+2x+m0.由=44×3m0,得m.答案:m典例剖析【例1】 求函數(shù)y=的值域.剖析:求函數(shù)值域是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)來求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出值域.本題形式結(jié)構(gòu)復(fù)雜，可采用求導(dǎo)的方法求解.解:函數(shù)的定義域由求得x2.求導(dǎo)得y=.由y0得2,即解得x2,

7、即函數(shù)y=在（2,+）上是增函數(shù).又此函數(shù)在x=2處連續(xù),在2,+）上是增函數(shù)，而f（2）=1.函數(shù)y=的值域是1,+）.評(píng)述:函數(shù)y=f（x）在（a,b）上為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)在a,b上連續(xù)時(shí)，y=f（x）在a,b上也是單調(diào)函數(shù).【例2】 已知f（x）=ax3+bx2+cx（a0）在x=±1時(shí)取得極值，且f（1）=1,（1）試求常數(shù)a、b、c的值；（2）試判斷x=±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由.剖析:考查函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f（x）=0的根建立起由極值點(diǎn)x=±1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)

8、用待定系數(shù)法確定a、b、c的值.（1）解法一:f（x）=3ax2+2bx+c,x=±1是函數(shù)的極值點(diǎn),x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系知又f（1）=1,a+b+c=1.             由解得a=,b=0,c=.解法二:由f（1）=f（1）=0,得3a+2b+c=0, 3a2b+c=0. 又f（1）=1,a+b+c=1. 由解得a=,b=0,c=.（2）解:f（x）=x3x,f（x）= x2= （x1）（x+1）.當(dāng)x

9、1或x1時(shí),f（x）0;當(dāng)1x1時(shí)，f（x）0.x=1時(shí)，f（x）有極大值；x=1時(shí),f（x）有極小值.【例3】 已知函數(shù)f（x）=2ax,x（0,1.（1）若f（x）在x（0,1上是增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）求f（x）在區(qū)間（0,1上的最大值.剖析:（1）要使f（x）在（0,1上為增函數(shù)，需f（x）0,x（0,1）.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求最大值.解:（1）由已知可得f（x）=2a+,f（x）在（0,1）上是增函數(shù)，f（x）0,即a, x（0,1.a1.當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2+對(duì)x（0,1）也有f（x）0，滿足f（x）在（0,1上為增函數(shù)，a1.（2）由（1）知,當(dāng)a1時(shí),f（x）在（

10、0,1上為增函數(shù),f（x）max=f（1）=2a1.當(dāng)a1時(shí)，令f（x）=0得x=,01,0x時(shí),f（x）0; x1時(shí)，f（x）0.f（x）在（0, ）上是增函數(shù)，在（,1減函數(shù).f（x）max=f （）=3.評(píng)述:求參數(shù)的取值范圍，凡涉及函數(shù)的單調(diào)性、最值問題時(shí)，用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決較簡單.深化拓展（1）也可用函數(shù)單調(diào)性的定義求解.思考討論函數(shù)f（x）在區(qū)間d上的極值與最值有什么聯(lián)系？闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.下列各式正確的是a.xsinx （x0）b.sinxx （x0）c.xsinx （0x）d.以上各式都不對(duì)解析：令f（x）=xsinx,則f（x）=1cosx0（當(dāng)x0,x2n,n=1,2,）.

11、故f（x）在x0時(shí)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x0時(shí),有f（x）f（0）=0.答案：b2.函數(shù)f（x）=sin（3x）在點(diǎn)（,）處的切線方程是a.3x+2y+=0b.3x2y+=0c.3x2y=0d.3x+2y=0解析:因?yàn)閒（x）=3cos（3x）,所以所求切線的斜率為f（）=,切線方程為y= （x）,即3x2y+=0.答案:b3.函數(shù)y=2x（x0）的最大值為_.解析:y=2,當(dāng)0x時(shí)，y0,y=2x在（0,）上為增函數(shù).當(dāng)x時(shí)，y0,y=2x在（,+）上是減函數(shù).y=2x在（0,+）上的最大值為=.答案:4.（2005年北京東城區(qū)模擬題）如果函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖所示,給出下列判斷:函

12、數(shù)y=f（x）在區(qū)間（3,）內(nèi)單調(diào)遞增;函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（,3）內(nèi)單調(diào)遞減;函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（4,5）內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)y=f（x）有極小值;當(dāng)x=時(shí),函數(shù)y=f（x）有極大值.則上述判斷中正確的是_解析:當(dāng)x（4,5）時(shí),恒有f（x）0.答案:5.已知f（x）=2ax+lnx在x=1,x=處取得極值.（1）求a、b的值；（2）若對(duì)x,4時(shí)，f（x）c恒成立，求c的取值范圍.解:（1）f（x）=2ax+lnx,f（x）=2a+.f（x）在x=1與x=處取得極值，f（1）=0,f（）=0,即解得所求a、b的值分別為1、1.（2）由（1）得f（x）=2+= （2x2+x1）=

13、（2x1）（x+1）.當(dāng)x,時(shí)，f（x）0;當(dāng)x,4時(shí)，f（x）0.f（）是f（x）在,4上的極小值.又只有一個(gè)極小值，f（x）min=f（）=3ln2.f（x）c恒成立，cf（x）min=3ln2.c的取值范圍為c3ln2.6.（2004年全國,理19）已知ar，求函數(shù)f（x）=x2eax的單調(diào)區(qū)間.解:f（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax.當(dāng)a=0時(shí)，若x0，則f（x）0，若x0,則f（x）0.所以當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（,0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增 函數(shù).當(dāng)a0時(shí)，由2x+ax20，解得x或x0;由2x+ax20,得x0.所以當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x

14、）在區(qū)間（，）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（,0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù).當(dāng)a0時(shí)，由2x+ax20，得0x.由2x+ax20，得x0或x.所以當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（,0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間（,+）內(nèi)為減函數(shù).培養(yǎng)能力7.已知xr,求證：exx+1.證明:設(shè)f（x）=exx1,則f（x）=ex1.當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0,f（x）=0.當(dāng)x0時(shí)，f（x）0,f（x）在（0,+）上是增函數(shù).f（x）f（0）=0.當(dāng)x0時(shí)，f（x）0,f（x）在（,0）上是減函數(shù)，f（x）f（0）=0.對(duì)xr都有f（x）0.exx+1.8.（2004年全國，文21）若函數(shù)f

15、（x）=x3ax2+（a1）x+1在區(qū)間（1,4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，）上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）=x2ax+a1.令f（x）=0,解得x=1或x=a1.當(dāng)a11，即a2時(shí)，函數(shù)f（x）在（1,+）上為增函數(shù)，不合題意.當(dāng)a11,即a2時(shí)，函數(shù)f（x）在（,1）上為增函數(shù)，在（1,a1）內(nèi)為減函數(shù)，在（a1,+）上為增函數(shù).依題意應(yīng)有當(dāng)x（1,4）時(shí)，f（x）0,當(dāng)x（6,+）時(shí)，f（x）0.所以4a16,解得5a7.所以a的取值范圍是5,7.探究創(chuàng)新9.已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+2的圖象關(guān)于點(diǎn)a（0，1）對(duì)稱.（1）求f（x）的解析式

16、；（2）若g（x）=f（x）+,且g（x）在區(qū)間（0，2上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:（1）設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），點(diǎn)（x,y）關(guān)于點(diǎn)a（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)（x,2y）在h（x）圖象上.2y=x+2.y=x+,即f（x）=x+.（2）g（x）=x+ ,g（x）=1,g（x）在（0，2上遞減，10在x（0,2時(shí)恒成立,即ax21在x（0,2）時(shí)恒成立.x（0,2時(shí)，（x21） max=3,a3.思悟小結(jié)1.函數(shù)單調(diào)性的充分條件，若f（x）0（或0），則f（x）為增函數(shù)（或減函數(shù)）.2.函數(shù)單調(diào)性的必要條件，設(shè)f（x）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，若f（x）在（a,b）上單調(diào)遞增（或遞減），則f（x）0（或f（x）0）且f（x）在（a,b）的任意子區(qū)間上都不恒為零.3.可以用單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛利用導(dǎo)數(shù)解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的問題是本節(jié)的主要題型，也是高考考查的重點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起足夠的重視.解單調(diào)性的題目時(shí)要注意判斷端點(diǎn)能否取到，用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)函數(shù)的最值時(shí)要注意由極值到最值的過渡.拓展題例【例題】 設(shè)函數(shù)y=f（x）=ax3+bx2+cx+d圖象與y軸的交點(diǎn)為p,且曲線在p點(diǎn)處的切線方程為24x+y12=0,若函數(shù)在x=2處取得極值16,試求函數(shù)解析式,并確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.錯(cuò)因點(diǎn)評(píng)：有的同學(xué)不知道p點(diǎn)處的斜率為y|,即