高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)：4.10 三角函數(shù)的應(yīng)用

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.54.10 三角函數(shù)的應(yīng)用知識梳理1.三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象變換.2.三角函數(shù)的恒等變形.三角函數(shù)的化簡、求值、證明多為綜合題，突出對數(shù)學(xué)思想方法的考查.3.三角函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系.特別要注意三角與幾何、三角與平面向量的聯(lián)系.點(diǎn)擊雙基1.已知sinx+cosx=，0x，則tanx等于a.或b.c.d.或解析：原式兩邊平方得2sinxcosx=2sinxcosx=12sinxcosx=sinxcosx=，可得sinx=，cosx=.tanx=.答案：b2.（2001年春季北京）若a、b是銳角abc的兩個內(nèi)角，則點(diǎn)p（cosbsina，sinbcosa）在a.第

2、一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限解析：abc為銳角三角形，a+b.ab，ba.sinacosb，sinbcosa.p在第二象限.答案：b3.（2004年北京西城區(qū)一模題）設(shè)0|，則下列不等式中一定成立的是a.sin2sinb.cos2cosc.tan2tand.cot2cot解析：由0|，知02|且2|，cos2|cos|.cos2cos.答案：b4.（2003年上海）若x=是方程2cos（x+）=1的解，其中（0，2），則=_.解析：x=是方程2cos（x+）=1的解，2cos（+）=1，即cos（+）=.又（0，2），+（，）.+=.=.答案：5.（2004年北京西城區(qū)二模題，理

3、）函數(shù)y=sinx·（sinx+cosx）（xr）的最大值是_.解析：原式=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2xcos2x+=sin（2x）+，其最大值為1+=.答案：典例剖析【例1】 化簡cos（+）+cos（）（kz）.剖析：原式=cos（k+）+cos（k）=cosk+（+）+cosk（+）.解：原式=cosk+（+）+cosk（+）=2coskcos（+）=2（1）k（coscossinsin）=（1）k（cossin），kz.【例2】 已知sin（+）=，sin（）=，求的值.解：由已知得所以sincos=，cossin=.從而=.思考討論由不解sinco

4、s、cossin，能求嗎?提示：÷，弦化切即可，讀者不妨一試.【例3】 求函數(shù)y=，x（0，）的值域.剖析：將原函數(shù)中三角函數(shù)都化成單角的正弦函數(shù)，再換元將其轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解.解：y=.設(shè)t=sinx，則由x（0，）t（0，1）.對于y=1+，令=m，m（，1），則y=2m2+3m1=2（m）2+.當(dāng)m=（，1）時，ymax=，當(dāng)m=或m=1時，y=0.0y，即y（0，.評述：本題的解法較多，但此方法主要體現(xiàn)了換元轉(zhuǎn)化的思想，在換元時要注意變量的范圍.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1.（2002年春季北京）若角滿足條件sin20，cossin0，則在a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象

5、限解析：sin20，2在第三、四象限.在第二、四象限.又cossin0，在第二象限.答案：b2.（2002年春季上海）在abc中，若2cosb·sina=sinc，則abc的形狀一定是a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形解析：2cosb·sina=sinc=sin（a+b）sin（ab）=0，又a、b、c為三角形的內(nèi)角，a=b.答案：c3.（2005年啟東市高三年級第二次調(diào)研考試題）在斜abc中，sina=cosbcosc且tanbtanc=1，則a的值為 a.b.c.d.解析：由a=（b+c），sina=cosbcosc得sin（b+c）=cosb

6、cosc，即sinbcosc+cosbsinc=cosbcosc.tanb+tanc=1.又tan（b+c）=，tana=，tana=.又0a，a=.答案：a4.函數(shù)y=sinxcosx的圖象可由y=sinx+cosx的圖象向右平移_個單位得到.解析：由y1=sinx+cosx=sin（x+），得x1=（周期起點(diǎn)）.由y2=sinxcosx=sin（x），得x2=（周期起點(diǎn)）.答案：5.函數(shù)y=sin（）的單調(diào)遞減區(qū)間及單調(diào)遞增區(qū)間分別是_.解析：y=sin（）=sin（）.故由2k2k+3kx3k+（kz），為單調(diào)減區(qū)間；由2k+2k+3k+x3k+（kz），為單調(diào)增區(qū)間.答案：3k，3k+

7、（kz）；3k+，3k+（kz）6.已知0x，則函數(shù)y=4sinxcosx+cos2x的值域是_.解析：可化為y=3sin（2x+），其中cos=，sin=，且有2x+.ymax=3sin=3，ymin=3sin（+）=3sin=1.值域是1，3.答案：1，3培養(yǎng)能力7.設(shè)a=（sinx1，cosx1），b=（，）.（1）若a為單位向量，求x的值；（2）設(shè)f（x）=a·b，則函數(shù)y=f（x）的圖象是由y=sinx的圖象按c平移而得，求c.解：（1）|a|=1，（sinx1）2+（cosx1）2=1，即sinx+cosx=1，sin（x+）=1，sin（x+）=，x=2k或x=2k+，

8、kz.（2）a·b=sin（x+）.f（x）=sin（x+），由題意得c=（，）.8.求半徑為r的圓的內(nèi)接矩形周長的最大值.解：設(shè)bac=，周長為p，則p=2ab+2bc=2（2rcos+2rsin）=4rsin（+）4r，當(dāng)且僅當(dāng)=時，取等號.周長的最大值為4r.探究創(chuàng)新9.（2004年北京東城區(qū)高三第一次模擬考試）在abc中，若sinc（cosa+cosb）=sina+sinb.（1）求c的度數(shù)；（2）在abc中，若角c所對的邊c=1，試求內(nèi)切圓半徑r的取值范圍.解：（1）sinc（cosa+cosb）=sina+sinb，2sinccos·cos=2sin·

9、cos.在abc中，.cos0.2sin2cos=cos，（12sin2）cos=0.（12sin2）=0或cos=0（舍）.0c，c=.（2）設(shè)rtabc中，角a和角b的對邊分別是a、b，則有a=sina，b=cosa.abc的內(nèi)切圓半徑r=（a+bc）=（sina+cosa1）=sin（a+）.abc內(nèi)切圓半徑r的取值范圍是0r.思悟小結(jié)三角函數(shù)是中學(xué)教材中一種重要的函數(shù)，它的定義和性質(zhì)有許多獨(dú)特的表現(xiàn)，是高考中對基礎(chǔ)知識和基本技能考查的重要內(nèi)容之一，同時，由于三角函數(shù)和代數(shù)、幾何知識聯(lián)系密切，它又是研究其他各類知識的重要工具，因此應(yīng)重視對知識理解的準(zhǔn)確性，加強(qiáng)對三角知識工具性的認(rèn)識.教師

10、下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.因本節(jié)是三角函數(shù)的應(yīng)用，建議教學(xué)中讓學(xué)生自己總結(jié)一下三角函數(shù)本身有哪些應(yīng)用，使知識能條理化并形成一個網(wǎng)絡(luò).2.總結(jié)本章涉及的數(shù)學(xué)思想方法，以及與三角相關(guān)聯(lián)的一些知識點(diǎn).拓展題例【例1】 已知cosb=cos·sina，cosc=sinsina.求證：sin2a+sin2b+sin2c=2.分析：本題為條件恒等式的證明，要從條件與要證的結(jié)論之間的聯(lián)系入手，將結(jié)論中的sin2b、sin2c都統(tǒng)一成角a的三角函數(shù).證法一：sin2a+sin2b+sin2c=sin2a+1（cossina）2+1（sinsina）2=sin2a+1cos2sin2a+1sin2sin2a

11、=sin2a（1sin2）+1cos2sin2a+1=sin2acos2sin2acos2+2=2.原式成立.證法二：由已知式可得cos=，sin=.平方相加得cos2b+cos2c=sin2a+=sin2acos2b+cos2c=2sin2a2.12sin2b+12sin2c=2sin2a2，sin2a+sin2b+sin2c=2.【例2】 函數(shù)f（x）=12a2acosx2sin2x的最小值為g（a），ar，（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此時f（x）的最大值.解：（1）f（x）=12a2acosx2（1cos2x）=2cos2x2acosx12a=2（cosx）22a1.若1，即a2，則當(dāng)cosx=1時，f（x）有最小值g（a）=2（1）22a1=1；若11，即2a2，則當(dāng)cosx