新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問題課時訓(xùn)練 理

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8篇 第6節(jié) 圓錐曲線的綜合問題課時訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號圓錐曲線間的綜合問題2、4、7、10直線與圓錐曲線的綜合問題1、6、9、12、13圓與圓錐曲線的綜合問題8、11、14、15、16、17圓錐曲線與其他知識的綜合3、5基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.(20xx泉州質(zhì)檢)“直線與雙曲線相切”是“直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)”的(b)(a)充分而不必要條件(b)必要而不充分條件(c)充要條件(d)既不充分也不必要條件解析:直線與雙曲線相切時,只有一個公共點(diǎn),但直線與雙曲線相交時,也可能有一個公共點(diǎn),例如

2、:與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線只有一個交點(diǎn).故選b.2.已知雙曲線x24-y2b2=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于(a)(a)5(b)42(c)3(d)5解析:拋物線y2=12x的焦點(diǎn)是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.雙曲線的漸近線方程為y=±52x,焦點(diǎn)(3,0)到y(tǒng)=±52x的距離d=5.故選a.3.橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為a,左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2,d是它短軸上的一個端點(diǎn),若3df1=da+2df2,則該橢圓的離心率為(d)(a)12(b)13(c)14(d)15

3、解析:設(shè)d(0,b),則df1=(-c,-b),da=(-a,-b),df2=(c,-b),由3df1=da+2df2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=ca=15.4.(20xx海口調(diào)研)拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線與雙曲線x29-y23=1的兩條漸近線所圍成的三角形的面積等于(a)(a)33(b)23(c)2(d)3解析:y2=-12x的準(zhǔn)線方程為x=3,雙曲線x29-y23=1的漸近線為y=±33x.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為a、b,由x=3,y=33x,求得a(3,3),同理b(3,-3),所以|ab|=23,而o到直線ab的距離d=3,故所求三角形的面積

4、s=12|ab|×d=12×23×3=33.5.(20xx河南省中原名校模擬)設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),離心率e=2,右焦點(diǎn)f(c,0),方程ax2-bx-c=0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1,x2,則點(diǎn)p(x1,x2)與圓x2+y2=8的位置關(guān)系(c)(a)在圓內(nèi)(b)在圓上(c)在圓外(d)不確定解析:由e=2得a=b,故c=2a,所以方程ax2-bx-c=0化為ax2-ax-2a=0,即x2-x-2=0,故x1+x2=1,x1·x2=-2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=12-2×(-2)=1+2

5、2,顯然(1+22)2=9+42>8,所以點(diǎn)p(x1,x2)在圓外.6.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于a、b兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段ab中點(diǎn)的直線的斜率為32,則ab的值為(a)(a)32(b)233(c)932(d)2327解析:設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),中點(diǎn)為m(x0,y0),將y=1-x代入ax2+by2=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=2ba+b,x0=ba+b,y1+y2=2-2ba+b=2aa+b,y0=aa+b,kom=y0x0=ab=32.二、填空題7.設(shè)橢圓c1的離心率為513,焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26.若曲線c2上的點(diǎn)到橢圓

6、c1的兩個焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8,則曲線c2的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 解析:對于橢圓c1,a=13,c=5,曲線c2為雙曲線,c=5,a=4,b=3,則標(biāo)準(zhǔn)方程為x216-y29=1.答案:x216-y29=18.(20xx哈師大附中模擬)雙曲線c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為f(c,0),以原點(diǎn)為圓心,c為半徑的圓與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為a,若此圓在a點(diǎn)處切線的斜率為33,則雙曲線c的離心率為. 解析:如圖,由題知abo=30°,所以aob=60°,oa=c,設(shè)a(x0,y0),則x0=-c·cos 60

7、76;=-c2,y0=csin 60°=32c,由雙曲線定義知2a=(-c2-c) 2+(32c) 2-(-c2+c) 2+(32c) 2=(3-1)c,e=ca=3+1.答案:3+19.(20xx太原五中模擬)直線l過橢圓x22+y2=1的左焦點(diǎn)f,且與橢圓相交于p、q兩點(diǎn),m為pq的中點(diǎn),o為原點(diǎn).若fmo是以of為底邊的等腰三角形,則直線l的方程為. 解析:法一由橢圓方程得a=2,b=c=1,則f(-1,0).在fmo中 ,|mf|=|mo|,所以m在線段of的中垂線上,即xm=-12,設(shè)直線l的斜率為k,則其方程為y=k(x+

8、1),由y=k(x+1),x22+y2=1 得x2+2k2(x+1)2-2=0,即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,xp+xq=-4k22k2+1,而m為pq的中點(diǎn),故xm=12(xp+xq)=-2k22k2+1=-12,k2=12,解得k=±22.故直線l的方程為y=±22(x+1),即x±2y+1=0.法二設(shè)p(x1,y1),q(x2,y2),m(x0,y0),由題意知kpq=-kom,由p、q在橢圓上知x122+y12=1,x222+y22=1,兩式相減整理得kpq=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-x02y0,

9、而kom=y0x0,故x02y0=y0x0,即x02=2y02,所以kpq=±22,直線pq的方程為y=±22(x+1),即x±2y+1=0.答案:x±2y+1=010.(20xx高考山東卷)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點(diǎn)為a,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為f.若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為2c,且|fa|=c,則雙曲線的漸近線方程為. 解析:拋物線x2=2py的準(zhǔn)線方程為y=-p2,與雙曲線的方程聯(lián)立得x2=a2(1+p24b2),根據(jù)已知得a2(1+p24b2)=c2,由|

10、fa|=c,得p24+a2=c2,由可得a2=b2,即a=b,所以所求雙曲線的漸近線方程是y=±x.答案:y=±x三、解答題11.如圖,等邊三角形oab的邊長為83,且其三個頂點(diǎn)均在拋物線e:x2=2py(p>0)上.(1)求拋物線e的方程;(2)設(shè)動直線l與拋物線e相切于點(diǎn)p,與直線y=-1相交于點(diǎn)q,證明以pq為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).(1)解:依題意,|ob|=83,boy=30°.設(shè)b(x,y),則x=|ob|sin 30°=43,y=|ob|cos 30°=12.因?yàn)辄c(diǎn)b(43,12)在x2=2py上,所以(43)2=2p&#

11、215;12,解得p=2.故拋物線e的方程為x2=4y.(2)證明:由(1)知y=14x2,y=12x.設(shè)p(x0,y0),則x00,y0=14x02,且l的方程為y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=-1,得x=x02-42x0,y=-1.所以q為x02-42x0,-1.設(shè)m(0,y1),令mp·mq=0對滿足y0=14x02(x00)的x0,y0恒成立.由于mp=(x0,y0-y1),mq=x02-42x0,-1-y1,由mp·mq=0,得x02-42-y0-y0y1+y1+y12=0,即(y12+y1-2)+(

12、1-y1)y0=0.(*)由于(*)式對滿足y0=14x02(x00)的y0恒成立,所以1-y1=0,y12+y1-2=0,解得y1=1.故以pq為直徑的圓恒過y軸上的定點(diǎn)m(0,1).12.(20xx長葛三模)已知圓c1的圓心的坐標(biāo)原點(diǎn)o,且恰好與直線l1:x-2y+35=0相切,點(diǎn)a為圓上一動點(diǎn),amx軸于點(diǎn)m,且動點(diǎn)n滿足on=33oa+(1-33)om,設(shè)動點(diǎn)n的軌跡為曲線c.(1)求曲線c的方程;(2)直線l與直線l1垂直且與曲線c交于b、d兩點(diǎn),求obd面積的最大值.解:(1)設(shè)動點(diǎn)n(x,y),a(x0,y0),因?yàn)閍mx軸于m,所以m(x0,0),設(shè)圓c1的方程為x2+y2=r

13、2,由題意得r=|35|1+4=3,所以圓c1的方程為x2+y2=9.由題意,on=33oa+(1-33)om,所以(x,y)=33(x0,y0)+(1-33)(x0,0),所以x=x0,y=33y0,即x0=x,y0=3y.將a(x,3y)代入x2+y2=9,得動點(diǎn)n的軌跡方程為x29+y23=1.(2)由題意可設(shè)直線l:2x+y+m=0,設(shè)直線l與橢圓x29+y23=1交于b(x1,y1),d(x2,y2),聯(lián)立方程y=-2x-m,x2+3y2=9得13x2+12mx+3m2-9=0,=144m2-13×4(3m2-9)>0,解得m2<39.又點(diǎn)o到直線l的距離d=|

14、m|5,bd=5·|x1-x2|=5·2117-3m213,sobd=12·|m|5·5·2117-3m213=m2(117-3m2)13=3m2(39-m2)13332(當(dāng)且僅當(dāng)m2=39-m2,即m2=392時取到最大值).obd面積的最大值為332.能力提升13.(20xx高考遼寧卷)已知點(diǎn)a(-2,3)在拋物線c:y2=2px的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)a的直線與c在第一象限相切于點(diǎn)b,記c的焦點(diǎn)為f,則直線bf的斜率為(d)(a)12(b)23(c)34(d)43解析:a(-2,3)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上,-p2=-2,p=4,y2=8x,設(shè)

15、直線ab的方程為x=k(y-3)-2,將與y2=8x聯(lián)立,即x=k(y-3)-2,y2=8x,得y2-8ky+24k+16=0,則=(-8k)2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-12(舍去),將k=2代入解得x=8,y=8即b(8,8),又f(2,0),kbf=8-08-2=43.故選d.14.過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)f引圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為t,延長ft交雙曲線右支于點(diǎn)p,若t為線段fp的中點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程為. 解析:如圖所示,設(shè)雙曲線的另一個焦點(diǎn)為f,連接ot、pf.ft為圓的切線,

16、ftot,且|ot|=a,又t、o分別為fp、ff的中點(diǎn),otpf且|ot|=12|pf|,|pf|=2a,且pfpf.又|pf|-|pf|=2a,|pf|=4a.在rtpff中,|pf|2+|pf|2=|ff|2,即16a2+4a2=4c2,c2a2=5.b2a2=c2a2-1=4,ba=2,即漸近線方程為y=±2x,即2x±y=0.答案:2x±y=015.(20xx保定二模)設(shè)橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e=22,且過點(diǎn)(-1,-62).(1)求橢圓e的方程;(2)設(shè)橢圓e的左頂點(diǎn)是a,若直線l:x-my-t=0與橢圓e相

17、交于不同的兩點(diǎn)m、n(m、n與a均不重合),若以mn為直徑的圓過點(diǎn)a,試判定直線l是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解:(1)由e2=c2a2=a2-b2a2=12,可得a2=2b2,則橢圓e的方程為x22b2+y2b2=1(a>b>0),代入點(diǎn)(-1,-62)可得b2=2,a2=4,故橢圓e的方程為x24+y22=1.(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入e的方程得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2),y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-4m2+2,x1+x2=m(y1+y2)+2t=4tm2+2,x1x2=(m

18、y1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=2t2-4m2m2+2.因?yàn)橐詍n為直徑的圓過點(diǎn)a,所以aman,所以am·an=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=2t2-4m2m2+2+2×4tm2+2+4+t2-4m2+2=3t2+8t+4m2+2=(t+2)(3t+2)m2+2=0.因?yàn)閙、n與a均不重合,所以t-2,所以t=-23,直線l的方程是x=my-23,直線l過定點(diǎn)t(-23,0),由于點(diǎn)t在橢圓內(nèi)部,故滿足直線l與橢圓有兩個交點(diǎn),所以直線l過定點(diǎn)t(-23,0).探究創(chuàng)新16.(20xx邯鄲二模)如圖所示點(diǎn)f是拋物線y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)a、b分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16的實(shí)線部分上運(yùn)動,且ab總是平行于x軸,則fab的周長的取值范圍是. 解析:由拋物線方程知準(zhǔn)線l:x=-2,焦點(diǎn)f(2,0),圓的圓心c(2,0),半徑r=4.作出拋物線的準(zhǔn)線l,過b作bml于m,由拋物線的定義得|af|=|am|,fab的周長為|af|+|fb|+|ab|=|ab|+|am|+|fb|=|bm|+|fb|.又b在圓弧上移動,且a、b、f三點(diǎn)不重合不共線,2<xb<6,4<|