高三文科數(shù)學知識點梳理文檔

1、高三文科數(shù)學知識點梳理文檔第一章 集合與常用邏輯用語一. 集合的概念與運算常用數(shù)集 : 自然數(shù)集 N; 正整數(shù)集 N*或 N+;整數(shù)集 Z; 有理數(shù)集 Q;實數(shù)集 R.2. 集合間的基本關(guān)系 :1A 是 B 的子集 : 集合 A 中的任意元素 , 都在集合 B, 記為 A?B或 B?A.2A 是 B 的真子集 : 若 A?B,且 AB, 則說 A 是 B 的真子集 .特殊的集合 : 空集 , 規(guī)定空集是任意一個集合的子集, 是任何非空集合的真子集若 A 含有 n 個元素 , 則 A 的子集有 2n 個,A 的非空子集有 2n-1 個,A 的非空真子集合有 2n-2 。3. 集合的運算有三種 :

2、 交集、并集、補集 .1 并集 :A B=集合 A 與 B 的所有元素構(gòu)成 , 重復的只寫一次 .2 交集 :A B=集合 A 與 B 的相同元素構(gòu)成 .3 補集 :?UA=集合 U中除掉集合 A 中的元素構(gòu)成二 . 命題及其關(guān)系、 充分條件與必要條件四種命題 :原命題 : 若 P 則 q;否命題 : 若非 P 則非 q, 條件和結(jié)論都要否定 ;逆命題 : 若 q 則 p, 條件和結(jié)論交換位置 ;逆否命題 : 若非 q 則非 p, 對原命題先逆再否 .2. 充分條件、必要條件與充要條件1“若 p, 則 q”形式的命題為真時 , 記作 p?q, 稱 p 是 q 的充分條件 ,q 是 p 的必要條

3、件 . 即 : 集合 A 是集合 B 的真子集 , 那么集合 A 就是集合 B 的充分不必要條件 , 集合 B 就是集合 A 的必要不充分條件 .2 如果既有 p?q, 又有 q?p, 記作 p?q, 則 p 是 q 的充要條件 ,q 也是 p 的充要條件. 即: 集合 A 與集合 B 的相同 ,A 就是集合 B的充要條件 .三 . 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞1. 邏輯聯(lián)結(jié)詞是 : “或”、“且”、“非”1“或”、“且”、“非”的含義 :“或” : 只要滿足一個就可以 , 等同于集合中的“交”運算.“且” : 兩個都要滿足 , 等同于集合中的“并”運算.“非”: 它的反面 . 成立的

4、非是不出來 , 不成立的非是成立 , 等同于“補”運算 .pqpqp q非 p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真規(guī)律 :p q 為真命題 , 只需 p,q 有一個為真即可 ,p q 為真命題 , 必須 p,q 同時為真, 若 P為真, 則非 P就假, 若 P為假, 則非 P就為真.2. 全稱量詞與存在量詞、全稱命題與特稱命題1 短語“所有的”“任意一個”這樣的詞語, 一般在指定的范圍內(nèi)都表示事物的全體 , 這樣的詞叫做全稱量詞 , 用符號“ ?”表示 , 含有全稱量詞的命題 , 叫做全稱命題 . 全稱命題“對 M中任意一個 x, 有 px 成立”2 短語“存在一個”“至少有一個”這樣的詞

5、語, 都是表示事物的個體或部分的詞叫做存在量詞 . 并用符號“ ?”表示 . 含有存在量詞的命題叫做特稱命題. 特稱命題“存在 M中的一個 x0, 使 px0 成立” .3. 含有一個量詞的命題的否定命題 命題的否定對 M中任意一個 x, 有 px 成立存在 M中的一個 x0, 使 px0 不成立存在 M中的一個 x0, 使 px0 成立對 M中任意一個 x, 有 px 不成立否命題、命題的否定的區(qū)別 : 否命題是條件和結(jié)論都要否定, 命題的否定只否定結(jié)論 , 但是全稱命題和特稱命題的否定按特殊的模式: 量詞“存在和任意” 要否定和結(jié)論要否定 .p 或 q 的否定為 : 非 p 且非 q;p

6、且 q 的否定為非 p 或非 q 第二章函數(shù)和導數(shù)函數(shù)的性質(zhì) :單調(diào)性 : 如果對于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間 D 上的任意兩個自變量 x1,x2, 當 x1<x2 時, 若 fx1<fx2, 則 fx 在區(qū)間 D上是增函數(shù) ; 若 fx1>fx2, 則 fx 在區(qū)間 D上是減函數(shù) .增函數(shù)減函數(shù)2. 奇、偶函數(shù)1 如果對 D 內(nèi)的任意一個x,f-x=-fx,則這個函數(shù)叫做奇函數(shù) . 圖象關(guān)于原點對稱2 如果對 D內(nèi)的任意一個 x,f-x=fx,則這個函數(shù)叫做偶函數(shù) . 圖象關(guān)于 y 軸對稱奇函數(shù)圖象偶函數(shù)圖象3. 周期性 : 于函數(shù) y=fx, 如果存在一個非零常數(shù) T, 都有

7、 fx+T=fx. 那么就稱函數(shù) y=fx 為周期函數(shù) , 稱 T 為這個函數(shù)的周期 . 如正弦函數(shù) .二 . 常見函數(shù)的圖像和性質(zhì) : 1、特殊冪函數(shù)(1.) 一次函數(shù) :ykx+b解析式 ykx+b(k0)ykx+bk0圖象單調(diào)性 增函數(shù)減函數(shù)定義域RR值域RR(2.) 二次函數(shù) :解析式圖象定義域RR值域?qū)ΨQ軸 直線頂點單調(diào)性 對稱軸左邊為減 , 右邊為增對稱軸左邊為增 , 右邊為減(3.) 反比例函數(shù) :解析式圖象定義域值域?qū)ΨQ性 關(guān)于原點對稱單調(diào)性 為減為增2. 冪函數(shù)1 冪函數(shù)的定義 : 形如 y=xR的函數(shù)稱為冪函數(shù) , 其中 x 是自變量 , 為常數(shù) .2 冪函數(shù)的圖象2. 指

8、數(shù)函數(shù)(1) 運算公式 n=a.; 當 n 為奇數(shù)時 ,=a. 當 n 為偶數(shù)時 ,= |a|=(2). 有理數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪 :an=a?a? ? n N*. 零指數(shù)冪 :a0=1a 0.負整數(shù)指數(shù)冪:a-p=a 0,p N*. 正分數(shù)指數(shù)冪:a=a>0,m、 n N*, 且n>1. 負分數(shù)指數(shù)冪 :a-=a>0,m 、nN*, 且 n>1.0 的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3 有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) aras=ar+sa>0,r 、 s Q.ars=arsa>0,r 、 sQ. abr=arbra>0,b>0,r Q.(3

9、) 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>1 0<a<1圖象定義域 R值域0,+ 性質(zhì)過定點 0,1底數(shù)、真數(shù)同范圍對數(shù)值為正, 底數(shù)、真數(shù)異范圍對數(shù)值為負增函數(shù) 減函數(shù)3. 對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)1 對數(shù)的性質(zhì) ax=N?x=logaNa>0,a 1.; loga1=0a>0,a 1; logaa=1a>0,a 1; alogaN=Na>0,a1; logaam=ma>0,a1. 2 對數(shù)的運算性質(zhì)如果 a>0 且 a 1,M>0,N>0, 那么logaM?N=logaM+logaN; loga=logaM-logaN; logaMn

10、=nlogaMn R.將以 10 為底的對數(shù)叫常用對數(shù) , 記為 lg N, 次 e=2.718 28為底的對數(shù)叫自然對數(shù) , 記作 ln N.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域 :0,+ 值域 :R過點 1,0, 即 x=1 時 ,y=0 在 0,+ 上是增函數(shù)在 0,+ 上是減函數(shù)函數(shù)圖像變換 :平移變換水平平移 :y=fx ±aa>0 的圖象 , 可由 y=fx 的圖象向左 +或向右 - 平移 a 個單位而得到 .豎直平移 :y=fx ±bb>0 的圖象 , 可由 y=fx 的圖象向上 +或向下 - 平移 b 個單位而得到

11、 .伸縮變換y=afxa>0 的圖象 , 可將 y=fx 圖象上每點的縱坐標伸a>1 時縮 a<1 時到原來的 a 倍 .y=faxa>0 的圖象 , 可將 y=fx 的圖象上每點的橫坐標伸a<1 時縮 a>1 時到原來的 .導數(shù)幾何意義 : 函數(shù) fx 在點 x0 處的導數(shù) f x0 的幾何意義是曲線 y=fx 上在點 x0,fx0 處的切線的斜率 . 相應(yīng)地 , 切線方程為 y-y0=f x0x-x0.2. 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式若 fx=c, 則 f x=0;若 fx=xnn Q,則 f x=nxn-1;若 fx=sin x,則 f x=cos_x;

12、若 fx=cos x,則 f x=-sin_x;若 fx=ax, 則 f x=axln_aa>0 且 a1;若 fx=ex, 則 f x=ex; 若 fx=logax, 則 f x=a>0 且 a1; 若 fx=ln x, 則 f x=.3. 導數(shù)的運算法則若 f x、gx 存在 , 則有1fx ±gx =f x± g x;2fx?gx =f xgx+fxg x;3=gx0.4. 導數(shù)的應(yīng)用(1)f x0?fx 在 a,b 為增函數(shù) ;f x 0?fx 在 a,b 為減函數(shù) .(2) 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟 :確定函數(shù) fx 的定義域 ;求導數(shù) f x;由 f x

13、>0f x<0 解出相應(yīng)的 x 的范圍 .當 f x>0 時,fx 在相應(yīng)的區(qū)間上是增函數(shù) ; 當 f x<0 時,fx 在相應(yīng)的區(qū)間上是減函數(shù) , 還可以列表 , 寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .(3) 導函數(shù)與原函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系 : 導函數(shù)看符號 , 原函數(shù)對應(yīng)的是單調(diào) .4 函數(shù)的極值判斷 fx0 是極值的方法如果在 x0 附近的左側(cè) f x>0, 右側(cè) f x<0, 那么 fx0 是極大值 ; 如果在 x0 附近的左側(cè) f x<0, 右側(cè) f x>0, 那么 fx0 是極小值 .5 求可導函數(shù)極值的步驟求 f x;求方程 f x=0 的根 ;檢查

14、f x 在方程 f x=0 的根左右值的符號 . 如果左正右負 , 那么 fx 在這個根處取得極大值 ; 如果左負右正 , 那么 fx 在這個根處取得極小值 , 如果左右兩側(cè)符號一樣 , 那么這個根不是極值點 .極值的性質(zhì) : 極值點處的導數(shù)值等于0 第三章三角函數(shù)一- 任意角三角函數(shù) :是一個任意角 , 角的終邊上任意一點 Px,y, 它與原點的距離為 rr>0, 那么角 的正弦 sin = 余弦 :cos =,正切 :tan=2. 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1 平方關(guān)系 :sin2 +cos2=1;2 商數(shù)關(guān)系 :=tan .3. 象限角符號 : 三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為 :

15、一全正、二正弦、三正切、四余弦 .4. 弧長公式 :l=| |r, 扇形面積公式 :S 扇形 =lr=| |r2.5. 特殊角的三角函數(shù)值 :0sin01 0cos100tan01 不存在0 不存在cot不存在 10不存在 0二- 三角公式1. 誘導公式 : 與有關(guān)的函數(shù)名不變 , 符合看象限 , 與有關(guān)的函數(shù)名要變 , 符號看象限 ;2. 誘導公式的運用 :sin ±cos 2=1± 2sin cos ;三角形中的誘導公式 :sinA+B=sin C,cosA+B=-cos C,sin=sin=cos,cos=cos=sin.3. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1cos

16、- =cos_cos_+sin_ sin_ ;2cos + =cos_cos_-sin_ sin_ ;3sin +=sin_ cos_+cos_sin_ ;4sin - =sin_ cos_-cos_ sin_ ;5 tan + =;6 tan - =.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式1 sin 2 =2sin cos;2 cos 2 =cos2-sin2 =2cos2-1=1-2sin2 ;3 tan 2 =.3. 有關(guān)公式的逆用、變形等1cos2 =,sin2 =;21+sin 2 =sin+cos 2,1-sin 2=sin-cos2,sin±cos =sin.4. 函 a,

17、b, 為常數(shù) , 可以化為或 , 如:的最大值為 , 最小值為 , 周期為三. 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1. 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=sin xy=cos xy=tan x定義域R Rx|x k+,k Z圖象值域-1,1 -1,1 R對稱性 對稱軸 :x=k +k Z 對稱軸 :x=k k Z 無對稱軸對稱中心 :k ,0k Z對稱中心 :k Z對稱中心 :k Z周期2 2 單調(diào)性 單調(diào)增區(qū)間 ,2k +k Z; 單調(diào)減區(qū)間 ,2k +kZ 單調(diào)增區(qū)間 2k - ,2k k Z 單調(diào)減區(qū)間 2k ,2k +k Z;單調(diào)增區(qū)間 ,k +kZ奇偶性奇偶奇正弦型函數(shù) y=Asin x+ 的圖象及

18、應(yīng)用(1) 用五點法畫 y=Asin x+ 一個周期內(nèi)的簡圖時 , 要找五個特征點如下表所示x x+ 02y=Asin x+0A0-A0(2) 函數(shù) y=sin x 的圖象變換得到 y=Asin x+的圖象的步驟法一 :法二 :重點 : 把平移得到 , 要平移個單位 , 當向左平移 , 當向左平移 ; 函數(shù)名是 cos 時也一樣的道理 ;若平移前后的函數(shù)名不同, 則用下列公式先把名變相同:;(3) 應(yīng)用 y=Asin x+要為偶函數(shù) , 則 ,y=Acos x+要為奇函數(shù) , 則 對于 y=Asin x+ 與 y=Acos x+的函數(shù)周期為 ; 最大值為 , 最小值為 -;兩相鄰對稱軸或相鄰高

19、點與低點之間是個周期; 函數(shù)在對稱軸處取得最值, 對稱中心處的函數(shù)值是0.四. 正弦定理和余弦定理1. 正弦定理 :=2R, 其中 R 是三角形外接圓的半徑 . 由正弦定理可以變形為 :1a b c=sin A sin B sin C;2a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;sin A=,sin B=,sin C=等形式 , 以解決不同的三角形問題 .如:2. 余弦定理 :a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以變形為 :cos A=,cos B=,cos C=.3.S ABC=absin C

20、=bcsin A=acsin B, 具體要選擇哪個公式由已知的角確定.4. 解三角形的方法 :若已知條件為兩角一邊或若已知條件為兩邊和一對角: 用正弦定理 ;若已知條件為兩邊和夾角或已知三邊: 用余弦定理 .具體步驟你會嗎 ?5. 兩條規(guī)律 :(1) 在三角形中 , 大角對大邊 , 大邊對大角 ; 大角的正弦值也較大 , 正弦值較大的角也較大 , 即在 ABC中,A>B?a>b?sin A>sin B. 注意用正弦定理解出的三角形要滿足此條件 ;(2) 在解三角形問題時 , 若已知條件中邊角都有 , 那么要根據(jù)所求 , 用正弦定理或余弦定理統(tǒng)一畫出邊和角 .第四章平面向量一.

21、 平面向量的概念 : 既有大小又有方向的量叫向量1. 相等向量 : 坐標分別相等 ;2. 相反向量 : 坐標分別相反 ;3. 平行向量 ( 共線向量 ):4. 垂直向量 : 兩向量夾角等于5. 向量的夾角 :(1) 定義 : 已知兩個非零向量 a 和 b 如圖 , 作=a,=b, 則 AOB= 0° 180°叫做向量 a 與 b 的夾角 , 當=0°時 ,a 與 b 同向 ; 當 =180°時 ,a 與 b 反向 ; 如果 a 與 b 的夾角是 90°, 我們說 a 與 b 垂直 , 記作 a b.(2) 夾角公式 :cos =為 a 與 b

22、的夾角 .(3) 應(yīng)用 : 在中 , 與的夾角為 , 與的夾角為 ;的夾角為 , 的夾角為 .6. 向量的模長 :(1) 表示的有向線段的長度 , 叫的模 , 記為 :|.(2) 模長公式 :=(3) 應(yīng)用 :二 . 平面向量的運算 :1. 數(shù)乘向量 :(1) 定義 : 實數(shù) 與向量 a 的積是一個向量 , 這種運算叫向量的數(shù)乘 , 記作 a,它的長度與方向規(guī)定如下: | a|=| |a|;當 >0 時, a 與 a 的方向相同 ; 當 <0 時 , a 與 a 的方向相反 ; 當=0時 , a=0.(2) 計算公式 : 若則 ;| a|=| |a|2. 平面向量的數(shù)量積 :(1)

23、 定義 : 已知兩個非零向量a 與 b, 它們的夾角為 , 則數(shù)量 |a|b|cos叫做 a 與 b 的數(shù)量積或內(nèi)積 , 記作量的數(shù)量積為 0, 即 0?a=0.3. 向量的和差 :(1) 定義 :a?b, 即a?b=|a|b|cos, 規(guī)定零向量與任一向向量運算定 義法則或幾何意義坐標運算加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則若a=x1,y1,b=x2,y2則:a+b=x1+x2,y1+y2減法求 a 與 b 的相反向量 -b 的和的運算叫做 a 與 b 的差三角形法則若 a=x1,y1,b=x2,y2則:a-b=x1-x2,y1-y2(2) 性質(zhì) :(2) 計算公式 :a?b=|a

24、|b|cos( 其中 :a=x1,y1,b=x2,y2)第五章數(shù)列一. 數(shù)列的基本概念1. 通項公式(1) 若, 則數(shù)列是一個以 A 為公差的等差數(shù)列 ;(2) 若, 則數(shù)列是一個以 q 為公比的等比數(shù)列 ;(3) 若是關(guān)于 n 的二次函數(shù) , 在數(shù)列的最大項或最小項在頂點附近取得 , 保證n 為正整數(shù) .2.Sn 與 an 的關(guān)系已知 Sn, 則 an=二. 等差數(shù)列和等比數(shù)列1. 定義與性質(zhì)等差數(shù)列 等比數(shù)列一、定義二、公式 1.2. 1.2.三、性質(zhì)1.,稱為與的等差中項2. 若( 、),則 1.,稱為與的等比中項2. 若( 、), 則2. 判斷或證明方法(1) 等差數(shù)列的判斷方法定義法

25、 : 對于 n2 的任意自然數(shù) , 證明 an-an-1 常數(shù) ;(2) 等比數(shù)列的判斷方法定義法 : 若=為非零常數(shù)或 =為非零常數(shù)且 n2, 則 an 是等比數(shù)列數(shù)列的求和1 公式法 : 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n 項和公式求和2 裂項相消法 : 把數(shù)列的通項拆成兩項之差, 在求和時中間的一些項可以相互抵消 , 從而求得其和 . 常用的裂項公式 :=-;=;=-3 分組轉(zhuǎn)化求和法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成 , 則求和時可用分組求和法 , 分別求和而后相加減 . 模式 : 通項等差數(shù)列 +等比數(shù)列 , 則用此法 . 如: 若數(shù)列 an 的通項公式為

26、 an=2n+2n-1.第六章不等式一. 基本不等式 :1. 公式 : , 即: 積為常數(shù) , 和取得最小值 ; 和為常數(shù) , 積取得最大值。滿足條件 :一正二定三相等 .2. 一個技巧 : 做比較大小的題用特殊值法 .二. 一元二次不等式1. 一元二次不等式的解法1 將不等式的右邊化為零, 左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2+bx+c>0a>0或 ax2+bx+c<0a>0.2 求出相應(yīng)的一元二次方程的根.3 利用二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點確定一元二次不等式的解集.2. 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表 :判別式=b2-4ac>0=

27、0<0二次函數(shù)y=ax2+bx+ca>0 的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0a>0 的根有兩相異實根 x1,x2x1<x2有兩相等實根x1=x2=-沒有實數(shù)根ax2+bx+c>0a>0 的解集 x|x>x2 或 x<x1Rax2+bx+c<0a>0 的解集 x|x1<x<x2?三 . 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題一元二次不等式表示的平面區(qū)域一條直線 :Ax+By+C=0 把平面直角坐標系分成三部分 : 直線上的點 (x,y) 滿足足 ax+by+c=0 , 若直 線一側(cè) 的點 (x,y)使 , 那么另 一側(cè) 的

28、點 (x,y)使同側(cè)ax+by+c<0., 異側(cè) 異號。取特殊點檢驗 ; “直線定界、特殊點定域”注意 : 對應(yīng)不等號畫實線或虛線。2. 求線性目標函數(shù) ( 即截距型 ) 最值的技巧 :解方程 : 有已知不等式組得到對應(yīng)的方程, 兩兩聯(lián)立解方程組 , 把方程組的解帶人目標函數(shù) , 比較大小得最值。四. 絕對值不等式1. 絕對值不等式的解法(1) 公式法 : 只有一個絕對值|fx|>aa>0?fx>a或fx<-a;|fx|<aa>0?-a<fx<a(2)分段討論法: 含有多個絕對值。是通法. 。解的過程中先交集后并集.3 幾何意義法: 形如

29、|x-a|+|x-b|c,|x-a|+|x-b|c的不等式步驟 :第一步 : 求; 第二步 : 判斷寫解集.若c,則 |x-a|+|x-b|c 的解集為 : 空集 ,|x-a|+|x-b| c解集為 :R;若c,則 |x-a|+|x-b|c( 其中ab) 的解集為 : |x-a|+|x-b|c的解集為:平方法 :|fx|幾個結(jié)論若fx|x-a|+|x-b|,則函數(shù)的最小值為, 函數(shù)沒有最大值, 函數(shù)圖象為“倒梯形” ;若 fx|x-a|-|x-b|,則函數(shù)的最大值為 , 函數(shù)的最小值為 -,函數(shù)圖象為“ Z”形 ;3 若 fx|x-a|,則函數(shù)圖象為“ V”形 .第七章解析幾何一. 直線方程1

30、. 直線的傾斜角與斜率 :直線的傾斜角范圍是 0, , 直線的斜率 :2. 直線方程的幾種形式 :點斜式 :;斜截式 :; 兩點式 :;截距式 :( 求截距的方法 : 令 x0 或 y0); 一般式 :特別地 : 直線垂直于 x 軸 ;直線垂直于 y 軸求直線方程的方法 : 待定系數(shù)法 .3. 兩條直線的位置關(guān)系(1) 平行 :若斜率存在 :l1:yk1x+b1;l2:yk2x+b2有 l1 l2k1k2 且 b1b2;若 l1:;l2: 有 l1 l2;與直線 Ax+By+C=0A2+B2 0 平行直線方程設(shè) : 為 Ax+By+m=0;(2) 垂直 : 若斜率存在 :l1:yk1x+b1;

31、l2:yk2x+b2有 l1 l2k1?k2-1特別的直線垂直 .與直線 Ax+By+C=0A2+B2 0 垂直直線方程的設(shè)法 : 設(shè)為 Bx-Ay+n=0.3 相交 : 解方程組方程組的解為交點坐標.4. 幾個公式(1) 線段的中點坐標公式若點 P1、P2 的坐標分別為 x1,y1 、x2,y2, 線段 P1P2的中點 M的坐標為 x,y,則(2) 平面上的兩點 P1x1,y1,P2x2,y2間的距離公式 |P1P2|=.特別地 , 原點 O0,0 與任一點 Px,y 的距離 |OP|=.3 點 P0x0,y0 到直線 l:Ax+By+C=0 的距離 d=.4 兩條平行線 Ax+By+C1=

32、0與 Ax+By+C2=0間的距離為 d=.二 . 圓1. 圓的定義及方程(1) 圓的定義 : 平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓 . 定點解是圓心 ,定長就是半徑2 圓的標準方程1方程 x-a2+y-b2=r2r>0 表示圓心為 a,b, 半徑為 r 的圓的標準方程 .2特別地 , 以原點為圓心 , 半徑為 rr>0 的圓的標準方程為 x2+y2=r2.3 圓的一般方程方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為 2+2=. 故有 :1 當 D2+E2-4F>0時 , 方程表示以為圓心 , 以為半徑的圓 ;確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法, 大致步驟為 :1根據(jù)題意

33、, 選擇標準方程或一般方程 ;2根據(jù)條件列出關(guān)于 a,b,r 或 D、E、F 的方程組 ;3解出 a、b、r 或 D、E、F 代入標準方程或一般方程 .2. 點 Px0,y0 與圓 x-a2+y-b2=r2r>0 的位置關(guān)系1若 x0-a2+y0-b2>r2,則點 P在圓外;2若 x0-a2+y0-b2=r2,則點 P在圓上;3若 x0-a2+y0-b2<r2,則點 P在圓內(nèi).3. 直線與圓的位置關(guān)系 : 位置關(guān)系有三種 : 相離、相切、相交(1) 幾何法 : 利用圓心到直線的距離 d 和圓半徑 r 的大小關(guān)系 :d<r? 相交 ,d=r?相切 ,d>r? 相離

34、.(2) 直線與圓相關(guān)的最值問題 : 最大值為圓心到直線的距離加圓半徑 , 最大值為圓心到直線的距離減圓半徑 .三. 橢圓1. 橢圓的概念在平面內(nèi)到兩定點F1、F2 的距離的和等于常數(shù)大于|F1F2| 的點的軌跡或集合叫橢圓 . 這兩定點叫做橢圓的焦點, 兩焦點間的距離叫做焦距.2. 橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)焦點的位置 焦點在軸上 焦點在軸上圖形定義標準方程范圍且且頂點 、 、軸長短軸的長長軸的長焦點、焦距對稱性 關(guān)于軸、軸、原點對稱離心率特點x,y 的系數(shù)都是正 , 那個的分母大焦點就在那條軸上3. 三個技巧 :1 用待定系數(shù)法求橢圓方程: 根據(jù)橢圓焦點是在x 軸還是 y 軸上 , 設(shè)出相應(yīng)

35、形式的標準方程 , 然后根據(jù)條件確定關(guān)于a、b、c 的方程組 , 解出 a2、b2, 從而寫出橢圓的標準方程 .2 橢圓上任意一點M到焦點 F 的所有距離中 , 長軸端點到焦點的距離分別為最大距離和最小距離 , 且最大距離為 a+c, 最小距離為 a-c.3 求橢圓離心率 e 時 , 只要求出 a,b,c的一個齊次方程 , 再結(jié)合 b2=a2-c2 就可求得 e0<e<1.四. 雙曲線1. 定義 : 平面內(nèi)與兩個定點 , 的距離之差的絕對值等于常數(shù) ( 小于 ) 的點的軌跡稱為雙曲線 . 。這兩個定點稱為雙曲線的焦點 , 兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距 .4、雙曲線的幾何性質(zhì) :焦點

36、的位置焦點在軸上 焦點在軸上圖形定義標準方程范圍或, 或,頂點、軸長虛軸的長實軸的長焦點、焦距對稱性 關(guān)于軸、軸對稱 , 關(guān)于原點中心對稱離心率漸近線方程特點x,y 的系數(shù)一正一負 , 那個的分母為正數(shù)焦點就在那條軸上2. 實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線 .雙曲線為等軸雙曲線 ?雙曲線的離心率e=五. 拋物線1. 定義 : 平面內(nèi)與一個定點 F 和一條定直線 ll 不過 F 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線 . 點 F 叫做拋物線的焦點 , 直線 l 叫做拋物線的準線 .其數(shù)學表達式 :|MF|=d 其中 d 為點 M到準線的距離7、拋物線的幾何性質(zhì) :標準方程 p 的幾何意義 : 焦點

37、F 到準線 l 的距離圖形頂點對稱軸軸軸焦點準線方程離心率范圍方程的記憶 : 一次項是誰焦點就在那一條軸上, 一次項系數(shù)為正開口正方向,為負開口負方向 .第八章立體幾何一. 空間幾何體及三視圖1. 兩個概念1 正棱柱 : 側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱, 底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱 . 反之 , 正棱柱的底面是正多邊形, 側(cè)棱垂直于底面 , 側(cè)面是矩形 .2 正棱錐 : 底面是正多邊形 , 頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐 . 特別地 , 各棱均相等的正三棱錐叫正四面體 . 反過來 , 正棱錐的底面是正多邊形 , 且頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心(2) 三視圖的

38、長度特征 :“長對正 , 寬相等 , 高平齊”, 即正視圖和側(cè)視圖一樣高 , 正視圖和俯視圖一樣長 , 側(cè)視圖和俯視圖一樣寬 . 若相鄰兩物體的表面相交 ,表面的交線是它們的分界線 , 在三視圖中 , 要注意能看到的輪廓線或邊界畫出實線、看不見的畫出虛線或不畫 .2. 柱體、椎體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計算公式圓柱側(cè)面積 , 表面積圓椎側(cè)面積 , 表面積( 是柱體的底面積、是柱體的高).( 是錐體的底面積、是錐體的高).球的半徑是 , 則其體積 , 其表面積二. 位置關(guān)系 :1. 空間兩條直線的位置關(guān)系 : 位置關(guān)系 : 平行、相交、異面2. 直線與平面 : 位置關(guān)系 : 在面內(nèi)、相交、平

39、行3. 平面與平面 : 位置關(guān)系 : 平行 , 相交三. 兩個角一個距離1. 異面直線所成的角 : 設(shè) a,b 是兩條異面直線 , 經(jīng)過空間任一點 O 作直線a a,b b, 把 a與 b所成的銳角或直角叫做異面直線a,b 所成的角或夾角 . 范圍 :. 求此角的方法 : 構(gòu)造三角形 , 從而解三角形 .2. 斜線和平面所成的角 : 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角 , 叫斜線和平面所成的角 . 求此角的方法 : 構(gòu)造直角三角形 , 解三角形3. 點到平面的距離 : 構(gòu)造三棱錐 , 用等積法 .四 . 兩類證明1. 證明直線與直線平行的方法(1) 三角形中位線 (2) 平行四邊形 ( 一組對邊

40、平行且相等 )2. 證明直線與平面平行的方法(1) 直線與平面平行的判定定理 ( 證平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行 )(2) 先證面面平行3. 證明平面與平面平行的方法平面與平面平行的判定定理( 一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行 )4. 證明直線與直線垂直的方法(1) 兩直線不相交 : 轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直(2) 兩直線相交 : 構(gòu)造三角形 , 用勾股定理證明此三角形是直角三角形 .5. 證明直線與平面垂直的方法(1) 直線與平面垂直的判定定理 ( 直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直 )(2) 平面與平面垂直的性質(zhì)定理 ( 兩個平面垂直 , 一個平面內(nèi)垂直交線的直線垂直另一個平面

41、 )6. 證明平面與平面垂直的方法平面與平面垂直的判定定理( 一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直)第九章概率統(tǒng)計一. 幾個重要概念1. 分層抽樣1 定義 : 在抽樣時 , 將總體分成互不交叉的層 , 然后按照一定的比例 , 從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體 , 將各層取出的個體合在一起作為樣本 , 這種抽樣方法叫做分層抽樣 .(2) 計算公式 : 各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比 , 即 ni Ni=nN.2. 頻率分布直方圖 : 在頻率分布直方圖中 , 縱軸表示 , 數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示 . 各小長方形的面積總和等于 1.3. 莖葉圖 : 要會看莖葉圖 , 莖表示高位 , 葉表示低位 .4. 線性相關(guān)1 從散點圖上看 , 如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附近, 則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系, 這條直線叫回歸直線 . 記為 :