高三文科數(shù)學(xué)通用版二輪復(fù)習(xí)：第1部分 專題5 突破點13　圓錐曲線中的綜合問題酌情自選 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5突破點突破點 13圓錐曲線中的綜合問題圓錐曲線中的綜合問題(酌情自選酌情自選)提煉 1 解答圓錐曲線的定值、定點問題，從三個方面把握(1)從特殊開始，求出定值，再證明該值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，在整個過程中消去變量，得定值(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面，把參數(shù)從含有參數(shù)的項里面分離出來，并令其系數(shù)為零，可以解出定點坐標.提煉 2 用代數(shù)法求最值與范圍問題時從下面幾個方面入手(1)若直線和圓錐曲線有兩個不同的交點，則可以利用判別式求范圍(2)若已知曲線上任意一點、一定點或與定點構(gòu)成的圖形，則利用圓錐曲線的性質(zhì)(性質(zhì)中的范圍)求解(3)利用隱含或已知的不等關(guān)

2、系式直接求范圍(4)利用基本不等式求最值與范圍(5)利用函數(shù)值域的方法求最值與范圍提煉 3與圓錐曲線有關(guān)的探索性問題(1)給出問題的一些特殊關(guān)系，要求探索出一些規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關(guān)系進行觀察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律(2)對于只給出條件，探求“是否存在”類型問題，一般要先對結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進行推理，若推出相符的結(jié)論，則存在性得到論證；若推出矛盾，則假設(shè)不存在回訪 1圓錐曲線的定值、定點問題1(20 xx全國卷)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為22，點(2， 2)在 c 上(1)求 c 的方程；(2)直線 l

3、不過原點 o 且不平行于坐標軸，l 與 c 有兩個交點 a，b，線段 ab 的中點為 m.證明：直線 om 的斜率與直線 l 的斜率的乘積為定值解(1)由題意有a2b2a22，4a22b21，2 分解得 a28，b24.3 分所以 c 的方程為x28y241.4 分(2)證明：設(shè)直線 l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)將 ykxb 代入x28y241，得(2k21)x24kbx2b280.6 分故 xmx1x222kb2k21，ymkxmbb2k21.8 分于是直線 om 的斜率 komymxm12k，即 komk12.11 分所以直線 om 的斜

4、率與直線 l 的斜率的乘積為定值.12 分回訪 2圓錐曲線中的最值與范圍問題2(20 xx北京高考)已知橢圓 c：x22y24.(1)求橢圓 c 的離心率；(2)設(shè) o 為原點，若點 a 在直線 y2 上，點 b 在橢圓 c 上，且 oaob，求線段 ab 長度的最小值解(1)由題意，橢圓 c 的標準方程為x24y221，2 分所以 a24，b22，從而 c2a2b22.因此 a2，c 2.故橢圓 c 的離心率 eca22.5 分(2)設(shè)點 a，b 的坐標分別為(t,2)，(x0，y0)，其中 x00.因為 oaob，所以oaob0，即 tx02y00，解得 t2y0 x0.7 分又 x202

5、y204， 所以|ab|2(x0t)2(y02)2x02y0 x02(y02)2x20y204y20 x204x204x20224x20 x204x2028x204(0 x204).12 分因為x2028x204(0b0)的離心率是22， 點 p(0,1)在短軸 cd 上，且pcpd1.圖 151(1)求橢圓 e 的方程；(2)設(shè) o 為坐標原點，過點 p 的動直線與橢圓交于 a，b 兩點是否存在常數(shù)，使得oaobpapb為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點 c，d 的坐標分別為(0，b)，(0，b)又點 p 的坐標為(0,1)，且pcpd1，于是1b21，ca22，

6、a2b2c2.解得 a2，b 2.所以橢圓 e 的方程為x24y221.4 分(2)當直線 ab 的斜率存在時，設(shè)直線 ab 的方程為 ykx1，a，b 的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立x24y221，ykx1，得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)0，所以 x1x24k2k21，x1x222k21.6 分從而，oaobpapbx1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)124k2212k2112k212.9 分所以，當1 時，12k2123.此時，oaobpapb3 為定值.10 分當直線 ab 斜率不存在時，直線

7、ab 即為直線 cd.此時，oaobpapbocodpcpd213.12 分故存在常數(shù)1，使得oaobpapb為定值3.13 分熱點題型 1圓錐曲線中的定值問題題型分析：圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點內(nèi)容，解決這類問題的關(guān)鍵是引入變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式恒成立，數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量(20 xx重慶二模)已知橢圓 c：x2a2y2b21(ab0)上一點 p1，32 與橢圓右焦點的連線垂直于 x 軸，直線 l：ykxm 與橢圓 c 相交于 a，b 兩點(均不在坐標軸上)(1)求橢圓 c 的標準方程；(2)設(shè) o 為坐標原點， 若aob 的面積為 3，

8、試判斷直線 oa 與 ob 的斜率之積是否為定值？【導(dǎo)學(xué)號：85952055】解(1)由題意知1a294b21，a2b21，解得a24，b23，3 分橢圓 c 的標準方程為x24y231.4 分(2)設(shè)點 a(x1，y1)，b(x2，y2)，由x24y231，ykxm，得(4k23)x28kmx4m2120，5 分由(8km)216(4k23)(m23)0，得 m24k23.6 分x1x28km4k23，x1x24m2124k23，soab12|m|x1x2|12|m|4 3 4k23m24k23 3，8 分化簡得 4k232m20，滿足0，從而有 4k2m2m23(*)，9 分koakoby

9、1y2x1x2kx1mkx2mx1x2k2x1x2kmx1x2m2x1x212k23m24m212344k2m2m23，由(*)式，得4k2m2m231，koakob34，即直線 oa 與 ob 的斜率之積為定值34.12 分求解定值問題的兩大途徑1由特例得出一個值(此值一般就是定值)證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)2先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值變式訓(xùn)練 1(20 xx北京高考)已知橢圓 c：x2a2y2b21 過 a(2,0)，b(0,1)兩點(1)求橢圓 c 的方程及離心率；(2)設(shè) p

10、為第三象限內(nèi)一點且在橢圓 c 上，直線 pa 與 y 軸交于點 m，直線 pb與 x 軸交于點 n，求證：四邊形 abnm 的面積為定值解(1)由題意得 a2，b1，橢圓 c 的方程為x24y21.3 分又 c a2b2 3，離心率 eca32.5 分(2)證明：設(shè) p(x0，y0)(x00，y00)，則 x204y204.6 分又 a(2,0)，b(0,1)，直線 pa 的方程為 yy0 x02(x2)令 x0，得 ym2y0 x02，從而|bm|1ym12y0 x02.9 分直線 pb 的方程為 yy01x0 x1.令 y0，得 xnx0y01，從而|an|2xn2x0y01.12 分四邊

11、形 abnm 的面積 s12|an|bm|122x0y0112y0 x02x204y204x0y04x08y042x0y0 x02y022x0y02x04y04x0y0 x02y022.從而四邊形 abnm 的面積為定值.14 分熱點題型 2圓錐曲線中的最值、范圍問題題型分析：圓錐曲線中的最值、范圍問題是高考重點考查的內(nèi)容，解決此類問題常用的方法是幾何法和代數(shù)法(20 xx全國乙卷)設(shè)圓 x2y22x150 的圓心為 a， 直線 l 過點 b(1,0)且與 x 軸不重合，l 交圓 a 于 c，d 兩點，過 b 作 ac 的平行線交 ad 于點 e.(1)證明|ea|eb|為定值，并寫出點 e

12、的軌跡方程；(2)設(shè)點 e 的軌跡為曲線 c1，直線 l 交 c1于 m，n 兩點，過 b 且與 l 垂直的直線與圓 a 交于 p，q 兩點，求四邊形 mpnq 面積的取值范圍解(1)因為|ad|ac|，ebac，所以ebdacdadc，所以|eb|ed|，故|ea|eb|ea|ed|ad|.又圓 a 的標準方程為(x1)2y216，從而|ad|4，所以|ea|eb|4.2 分由題設(shè)得 a(1,0)，b(1,0)，|ab|2，由橢圓定義可得點 e 的軌跡方程為x24y231(y0).4 分(2)當 l 與 x 軸不垂直時，設(shè) l 的方程為 yk(x1)(k0)，m(x1，y1)，n(x2，y2

13、)由ykx1，x24y231，得(4k23)x28k2x4k2120，則 x1x28k24k23，x1x24k2124k23.所以|mn| 1k2|x1x2|12k214k23.過點 b(1,0)且與 l 垂直的直線 m： y1k(x1)， 點 a 到直線 m 的距離為2k21，6 分所以|pq|2422k21244k23k21.故四邊形 mpnq 的面積s12|mn| pq|12114k23.8 分可得當 l 與 x 軸不垂直時，四邊形 mpnq 面積的取值范圍為(12,8 3).10 分當 l 與 x 軸垂直時，其方程為 x1，|mn|3，|pq|8，故四邊形 mpnq 的面積為 12.綜

14、上，四邊形 mpnq 面積的取值范圍為 12,8 3).12 分與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法1數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解2構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解3構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域變式訓(xùn)練 2(名師押題)已知拋物線 c：x22py(p0)，過其焦點作斜率為 1的直線 l 交拋物線 c 于 m，n 兩點，且|mn|16.(1)求拋物線 c 的方程；(2)已知動圓 p 的圓心在拋物線 c 上， 且過定點 d(0,4)， 若動圓 p 與 x 軸交于 a，b 兩點，求|da|db|db

15、|da|的最大值解(1)設(shè)拋物線的焦點為 f0，p2 ，則直線 l：yxp2.由yxp2，x22py，得 x22pxp20，x1x22p，y1y23p，|mn|y1y2p4p16，p4，拋物線 c 的方程為 x28y.4 分(2)設(shè)動圓圓心 p(x0，y0)，a(x1,0)，b(x2,0)，則 x208y0，且圓 p：(xx0)2(yy0)2x20(y04)2，令 y0，整理得 x22x0 xx20160，解得 x1x04，x2x04，6 分設(shè) t|da|db|x04216x04216x208x032x208x032116x0 x208x032，當 x00 時，t1，7 分當 x00 時，t1

16、16x0832x0.x00，x032x08 2，t11688 2 32 2 21，且 t1，綜上知 21t1.9 分f(t)t1t在 21,1上單調(diào)遞減，|da|db|db|da|t1t 211212 2，當且僅當 t 21，即 x042時等號成立|da|db|db|da|的最大值為 2 2.12 分熱點題型 3圓錐曲線中的探索性問題題型分析：探索性問題一般分為探究條件和探究結(jié)論兩種類型，若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在若探究結(jié)論，則應(yīng)先寫出結(jié)論的表達式，再針對表達式進行討論，往往涉及對參數(shù)的討論(20 xx長沙二模)如圖 152，在平面直角坐標系 x

17、oy 中，已知 f1，f2分別是橢圓 e：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦點，a，b 分別是橢圓 e 的左、右頂點，d(1,0)為線段 of2的中點，且af25bf20.圖 152(1)求橢圓 e 的方程；(2)若 m 為橢圓 e 上的動點(異于點 a，b)，連接 mf1并延長交橢圓 e 于點 n，連接 md，nd 并分別延長交橢圓 e 于點 p，q，連接 pq，設(shè)直線 mn，pq 的斜率存在且分別為 k1，k2.試問是否存在常數(shù)，使得 k1k20 恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由解題指導(dǎo)(1)d 為 of2的中點求 caf25bf20a 與 c 的關(guān)系橢圓方程(2)假設(shè)存在

18、常數(shù)設(shè)點 m，n，p，q 的坐標直線 md 的方程與橢圓方程聯(lián)立用點 m 的坐標表示點 p，q 的坐標點 m，f1，n 共線得到點 m，n 坐標的關(guān)系求 k2得到 k1與 k2的關(guān)系解(1)af25bf20，af25f2b，ac5(ac)，化簡得 2a3c，又點 d(1,0)為線段 of2的中點，c2，從而 a3，b 5，左焦點 f1(2,0)，故橢圓 e 的方程為x29y251.4 分(2)假設(shè)存在滿足條件的常數(shù)，使得 k1k20 恒成立，設(shè) m(x1，y1)，n(x2，y2)，p(x3，y3)，q(x4，y4)，則直線 md 的方程為 xx11y1y1，代入橢圓方程x29y251，整理得，

19、5x1y21y2x11y1y40，6 分y1y3y1x11x15， y34y1x15， 從而 x35x19x15， 故點 p5x19x15，4y1x15 ，同理，點 q5x29x25，4y2x25 .8 分三點 m，f1，n 共線，y1x12y2x22，從而 x1y2x2y12(y1y2)，從而 k2y3y4x3x44y1x154y2x255x19x155x29x25x1y2x2y15y1y24x1x27y1y24x1x27k14，故 k14k270，從而存在滿足條件的常數(shù)，47.12 分探索性問題求解的思路及策略1思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在2策略：(1)當條件和結(jié)論不唯