一元二次方程(知識點+考點+題型總結)

1、名師總結優(yōu)秀知識點一元二次方程專題復習考點一、概念(1) 定義： 只含有一個未知數(shù)，并且 未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的 整式方程 就是一元二次方程。(2) 一般表達式： ax 2 bx c 0( a 0)難點 ：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項系數(shù)不為“0”；未知數(shù)指數(shù)為“2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例 1、下列方程中是關于x 的一元二次方程的是（）A3 x 1 22 x 1B1 12 0x2xCax 2bx c 0Dx 22x x 21變式：當 k時，關于 x的方程 kx 22xx 23 是一元二次方程。例 2、方程m2 x

2、m3mx 10是關于 x 的一元二次方程，則m 的值為。針對練習：1、方程 8x27 的一次項系數(shù)是，常數(shù)項是。2、若方程 m2x m10 是關于 x 的一元一次方程，求 m 的值；寫出關于x的一元一次方程。 3、若方程m1 x 2mx1是關于 x 的一元二次方程，則m 的取值范圍是。 4、若方程nxm+x n-2x 2 =0 是一元二次方程，則下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考點二、方程的解概念： 使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應用 ：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例 1、已知2y2y3的值為 2，則 4 y 22 y1的值

3、為。例 2、關于 x 的一元二次方程a2 x2xa 240的一個根為0，則 a 的值為。例 3、已知關于x 的一元二次方程ax2bxc0 a0的系數(shù)滿足 acb ，則此方程必有一根為。例 4、已知 a, b 是方程 x 24xm0 的兩個根， b,c 是方程 y28y5m0的兩個根，則 m 的值為。針對練習：1、已知方程 x2kx100的一根是2，則 k 為，另一根是。2、已知關于 x 的方程 x2kx20 的一個解與方程x13 的解相同。求 k 的值；方程的另一個解。x13、已知 m 是方程 x 2x1 0 的一個根，則代數(shù)式 m2m。 4、已知 a 是 x23x10 的根，則2a 26a。

4、 5、方程 a b x2bc x c a0 的一個根為（）A1B 1Cb c 6、若 2x5 y 30, 則 4x32 yD。a考點三、解法方法： 直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關鍵點： 降次類型一、直接開方法：x2m m 0 ,xm對于 xa 2m ， ax m 2bx n 2等形式均適用直接開方法典型例題：例 1、解方程：1 2x 280;2 2516x2=0;3 1 x 29 0;名師總結優(yōu)秀知識點例 2、若 9 x1 216 x2 2，則 x 的值為。針對練習： 下列方程無解的是（）A. x23 2x 21B. x 2 20C. 2x 3 1 xD. x 29 0類型二、因式分

5、解法: xx1 xx20x x1 ,或 xx2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如axm 2bxn 2， xa xbx ax c， x 22ax a 20典型例題：例 1、 2x x35 x 3的根為（）A x5Bx 3C x15 , x23D x2225例 2、若4xy 23 4xy40 ，則 4x+y 的值為。變式 1： a 2b2 2a 2b 26 0, 則a2b2。變式2：若 xy 2xy30 ，則 x+y的值為。變式3：若 x2xyy14 ， y 2xyx28 ，則 x+y 的值為。例 3、方程 x 2x60 的解為（）A. x13，x22B. x13

6、，x22 C. x13，x23 D. x12，x22例 4、解方程：x2231x2 340例 5、已知 2x23xy2 y 20,則 xy 的值為。xy變式：已知 2 x23xy2 y 20 ,且 x0, y0 ,則 xy 的值為。xy針對練習：1、下列說法中：方程 x2pxq0 的二根為 x1 ， x2 ，則 x2pxq( xx1 )( xx2 )x26x 8 (x2)( x4) . a25ab6b2(a2)( a 3) x2y 2( x y)(xy)(xy )方程 (3x1)270可變形為 (3x 17 )(3x17)0正確的有（）A.1 個B.2 個C.3 個D.4 個2、以 17 與

7、17 為根的一元二次方程是（）A x22x 6 0B x 22x 6 0C y22 y 6 0D y22 y 6 0 3、寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)：寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)： 4、若實數(shù)x、 y 滿足xy3xy20 ，則 x+y 的值為（）A、-1 或 -2B、-1 或 2C、1 或-2D、1或25、方程： x212 的解是。x2 6、已知6x2xy6 y20 ，且 x0 ， y0，求2x6 y 的值。3xy 7、方程1999x 219982000x10 的較大根為r，方程2007 x22008x 1 0 的較小根為s，則

8、s-r 的值為。22類型三、配方法ax 2bxc0 a0xbb4ac2a4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：名師總結優(yōu)秀知識點例 1、試用配方法說明 x 22x3 的值恒大于 0。例 2、已知 x、 y 為實數(shù)，求代數(shù)式x2y 22x 4 y7 的最小值。例 3、已知 x2y 24x 6y13 0，x、y為實數(shù)，求x y 的值。例 4、分解因式： 4x212x3針對練習： 1、試用配方法說明10 x27x4 的值恒小于 0。 2、已知2110，則1.xx2x4xxx 3、若 t 23x 212 x 9 ，則 t的最大值為，最小值為。 4、如

9、果 abc1 14a 22 b 14 ,那么 a2b 3c 的值為。類型四、公式法條件：公式：a0,且 b 24ac 0xbb24ac , a 0, 且 b24ac 02a典型例題：例 1、選擇適當方法解下列方程： 3 1x 26. x 3 x 68. x24x 1 0 3 24x10 3 x 1 3x 1x 1 2x 5x例 2、在實數(shù)范圍內分解因式：（1） x22 2x3；（ 2） 4x28x 1. 2x24xy 5y2說明：對于二次三項式ax 2bxc 的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax 2bxc =0，求出兩根，再寫成ax 2bx c =

10、a(x x1 )( x x2 ) .分解結果是否把二次項系數(shù)乘進括號內，取決于能否把括號內的分母化去.類型五、“降次思想”的應用求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：例 1、已知 x23x2 0，求代數(shù)式x1 3x21 的值。x1例 2、如果 x 2x10 ，那么代數(shù)式x32x27 的值。例 3、已知 a 是一元二次方程x23x 1 0 的一根，求a32a 25a 1 的值。a 21例 4、用兩種不同的方法解方程組2xy6,(1)x25xy6y20.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想化歸思想，即把新問題轉化歸結為我

11、們已知的問題 .名師總結優(yōu)秀知識點考點四、根的判別式 b24ac根的判別式的作用：定根的個數(shù)；求待定系數(shù)的值；應用于其它 。典型例題：例 1、若關于 x 的方程 x 22k x10 有兩個不相等的實數(shù)根，則k 的取值范圍是。例 2、關于 x 的方程 m1 x22mxm0 有實數(shù)根，則m 的取值范圍是 ()且m1B.m0C.m 1D.m1A. m 0例 3、已知關于x 的方程 x 2k2 x2k0(1) 求證：無論 k 取何值時，方程總有實數(shù)根；(2) 若等腰ABC 的一邊長為1，另兩邊長恰好是方程的兩個根，求ABC 的周長。例 4、已知二次三項式9x2( m6)xm2是一個完全平方式，試求m

12、的值 .x22 y26,例 5、 m 為何值時，方程組y有兩個不同的實數(shù)解？有兩個相同的實數(shù)解？mx3.針對練習：1、當 k時，關于 x 的二次三項式 x 2kx 9是完全平方式。2、當 k 取何值時，多項式3x24x 2k 是一個完全平方式？這個完全平方式是什么？3、已知方程 mx2mx2 0 有兩個不相等的實數(shù)根，則m 的值是.ykx2, 4、 k 為何值時，方程組y 24x2 y10.（ 1）有兩組相等的實數(shù)解，并求此解；（ 2）有兩組不相等的實數(shù)解；（ 3）沒有實數(shù)解 . 5、當 k 取何值時，方程x24mx4x3m22m4k0 的根與 m 均為有理數(shù)？考點五、方程類問題中的“分類討論

13、”典型例題：例 1、關于 x 的方程 m 1 x2 2mx 3 0有兩個實數(shù)根，則m 為,只有一個根，則m 為。例 2、 不解方程，判斷關于x 的方程 x 22 x kk 23 根的情況。例 3、如果關于 x 的方程 x 2kx 2 0及方程 x2x 2k0 均有實數(shù)根，問這兩方程是否有相同的根？若有，請求出這相同的根及k 的值；若沒有，請說明理由?？键c六、應用解答題“握手”問題；“利率”問題；“幾何”問題；“最值”型問題；“圖表”類問題典型例題：1、五羊足球隊的慶祝晚宴，出席者兩兩碰杯一次，共碰杯990 次，問晚宴共有多少人出席？2、某小組每人送他人一張照片，全組共送了90 張，那么這個小組

14、共多少人？名師總結優(yōu)秀知識點3、北京申奧成功，促進了一批產業(yè)的迅速發(fā)展，某通訊公司開發(fā)了一種新型通訊產品投放市場，根據(jù)計劃，第一年投入資金600 萬元，第二年比第一年減少1 ，第三年比第二年減少1，該產品第一年收入資金約400 萬元，公司計劃三年內32不僅要將投入的總資金全部收回，還要盈利1 ，要實現(xiàn)這一目標，該產品收入的年平均增長率約為多少？（結果精確到30.1，133.61 ）4、某商店經銷一種銷售成本為每千克40 元的水產品，據(jù)市場分析，若按每千克50 元銷售，一個月能售出500 千克，銷售單價每漲 1 元，月銷售量就減少10 千克，針對此回答：（1）當銷售價定為每千克55 元時，計算月

15、銷售量和月銷售利潤。（2）商店想在月銷售成本不超過10000 元的情況下，使得月銷售利潤達到8000 元，銷售單價應定為多少？5、將一條長20cm 的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長作成一個正方形。（ 1）要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2 ，那么這兩段鐵絲的長度分別為多少？（ 2）兩個正方形的面積之和可能等于 12cm2 嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由。（ 3）兩個正方形的面積之和最小為多少？6、 A、B 兩地間的路程為乙再走 1 小時 36 分到達36 千米 .甲從 A 地，乙從A 地，求兩人的速度.B 地同時出發(fā)相向而行，兩人相遇后，甲再走2 小時30 分

16、到達B 地，考點七、根與系數(shù)的關系前提：對于 ax 2bxc0 而言，當滿足a 0 、0 時，才能用韋達定理。x1x2bc主要內容：, x1 x2a應用：整體代入求值。a典型例題：例 1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x28x 70 的兩根，則這個直角三角形的斜邊是（）A. 3B.3C.6D.6例 2、已知關于x 的方程 k 2 x22k1 x10 有兩個不相等的實數(shù)根x1 , x2 ，（1）求 k 的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k 的值；若不存在，請說明理由。例 3、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項系數(shù)為1）時，小明因看錯常數(shù)項，而得到解為8和 2，小紅因看錯了一次項系數(shù)，