生活中經(jīng)常遇到求利潤最大用料最效率最高等問題

1、生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。導(dǎo)數(shù)在實際生活中的優(yōu)化問題主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問題； 2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問題； 3、與經(jīng)濟中利潤及其成本有關(guān)的最值問題； 4、效率最值問題。如：例1海報版面尺寸的設(shè)計 學(xué)?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最??？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為 求導(dǎo)數(shù)，

2、得： .令 ，解得 舍去）.于是寬為 .當(dāng) 時， <0；當(dāng) 時， >0.因此， 是函數(shù) 的極小值，也是最小值點.所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小.答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。例2飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？解：由于瓶子的半徑為 ，所以每瓶飲料的利潤是 令 解得 （ 舍去）當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 當(dāng)半徑 時， 它表示 單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑 時， 它表示 單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低（1）半徑為 c

3、m 時，利潤最小，這時 ，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值（2）半徑為 cm時，利潤最大例3磁盤的最大存儲量問題問題：現(xiàn)有一張半徑為 的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于 與 之間的環(huán)形區(qū)域（1）       是不是 越小，磁盤的存儲量越大？（2）       為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量=磁道數(shù)×每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于 與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于 ，且最外面的磁道不存儲任何信

4、息，故磁道數(shù)最多可達 。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達 。所以，磁盤總存儲量× （1）它是一個關(guān)于 的二次函數(shù),從函數(shù)解析式上可以判斷,不是 越小,磁盤的存儲量越大（2）為求 的最大值，計算 令 ，解得 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 因此 時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為 例4汽油的使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量 （單位：L）與汽車的速度 （單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量 是汽車速度 的函數(shù)根據(jù)你的生活經(jīng)驗，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”

5、的含義是什么？解：因為 這樣，問題就轉(zhuǎn)化為求 的最小值從圖象上看， 表示經(jīng)過原點與曲線上點的直線的斜率進一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時，其斜率最小在此切點處速度約為90 因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時的車速約為90 從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即 ，約為 L例5在邊長為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高 cm，得箱子容積 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由題意可知，當(dāng)x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值 答：當(dāng)x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3例6圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2R2由V=R2h，得 ，則S(R)= 2R + 2R2= +2R2令+4R=0解得，R= ，從而h= = = =2 即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時，所用材料最省 從以上例子可