初三（數(shù)學(xué)）專題26分而治之專項(xiàng)講練-附歷年中考真題訓(xùn)練解析

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理專題26 分而治之 分類討論閱讀與思考 在解決某些數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，需要將問題所涉及的所有對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)，分成若干類，然后逐類討論，才能得出正確的解答，這種解題方法稱為分類討論法 運(yùn)用分類討論法解題的關(guān)鍵是如何正確進(jìn)行分類正確分類的標(biāo)準(zhǔn)是：對(duì)所討論的全體分類要“既不重復(fù)，又不遺漏”；在同一次討論中只能按所確定的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；對(duì)于多級(jí)討論，應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行 初中數(shù)學(xué)分類討論問題的常見形式有： 1一些定義、定理、公式和法則有范圍或條件的限制，在使用過程中必須討論；2題設(shè)條件中含有變量或參數(shù)時(shí)，必須根據(jù)變量或參數(shù)的不同取值進(jìn)行討論；3一些問題的圖形位置或形狀不確定時(shí)，只有通過討論，才能保

2、證結(jié)論的完整性；4一些問題的條件沒有明確給出或結(jié)論不唯一時(shí)，只有通過討論，才能保證解答的嚴(yán)密性； 5對(duì)于自然數(shù)問題，有時(shí)須按剩余類分類討論例題與求解【例1】如圖，在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則R的取值范圍是 （北京市宣武區(qū)中考試題） 解題思路：圓與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓與斜邊相切或圓與斜邊相交 【例2】 解方程：2+3=+10 解題思路：解絕對(duì)值方程的關(guān)鍵是去方程左邊的絕對(duì)值符號(hào)，這就要對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論需分下列三種情況：3；32；2 【例3】若關(guān)于的方程(6k)(9k)x2(11715k)+54=0的

3、解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)的值有_ （全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題） 解題思路：用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定的值才能全面而準(zhǔn)確 【例4】如圖，已知ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQAB，P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn)A，C不重合），Q在BC上 (1)當(dāng)PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長； (2)當(dāng)PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時(shí)，求CP的長； (3)試問：在AB上是否存在點(diǎn)M，使得PQM為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若存在，請(qǐng)求出PQ的長 （福州市中考試題）解題思路：對(duì)于(3)，使PQM為等

4、腰直角三角形有兩種情況：一是以PQ為直角邊，二是以PQ為斜邊 【例5】證明：每個(gè)大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個(gè)大于1且互質(zhì)的自然數(shù)之和（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 解題思路：由于自然數(shù)可分為奇數(shù)、偶數(shù)兩大類，因此，很容易考慮到按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論 【例6】設(shè)a和b是相異實(shí)數(shù)，證明：存在整數(shù)m和n，使得， （加拿大中學(xué)生競(jìng)賽試題） 解題思路：a，b為相異實(shí)數(shù)，則必有ab>0或ab<0兩種情況能力訓(xùn)練1已知a+b=8，ab=8，化簡(jiǎn)= （內(nèi)江市中考試題） 2已知實(shí)數(shù)a，b滿足以a27a+2=0，a27b+2=0，則的值為 （淮陰市中考試題） 3在ABC中過A作ABC的高，垂足為D若BAD=

5、55°，CAD=25°，則BAC= 4在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B（2，3），點(diǎn)P在y軸上，且APB為直角三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 （河南省競(jìng)賽誠題） 5平面上A，B兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2與2+，則線段中點(diǎn)C到直線l的距離是 6以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓圓周上的一點(diǎn)，且OC2=AC·BC，則CAB= （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）7如圖，在兩直角三角形中，ACB=ADC=90°，AC=，AD=2當(dāng)AB= 時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似 第7題圖 第10題圖 第11題圖 8已知方程m22(2m3)+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是S，則

6、S的取值范圍是 （天津市中考試題） 9關(guān)于的方程x2+4mx+ 4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)+m2=0中，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是( ) Am Bm或m Cm Dm或m （四川省選拔賽試題） 10如圖，由25個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的5×5的正方形點(diǎn)陣中，橫縱方向相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都是1個(gè)單位定義：由點(diǎn)陣中4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形叫陣點(diǎn)平行四邊形，圖中以A，B為頂點(diǎn)，面積為2的陣點(diǎn)平行四邊形的個(gè)數(shù)為( ) A3個(gè) B6個(gè) C7個(gè) D9個(gè) （武漢市四月調(diào)考試題） 11如圖，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的點(diǎn)，使以F，A，D為頂點(diǎn)的三角形和

7、以F，B，E為頂點(diǎn)的三角形相似，則這樣的點(diǎn)F有( ) （紹興市競(jìng)賽試題） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)12下面是某同學(xué)在一次測(cè)驗(yàn)中解答的填空題：若x2=a2，則x=a方程2x(x1)=x1的解為x=0若直角三角形有兩邊長分別為3和4，則第三邊長為 5 其中答題完全正確的題目個(gè)數(shù)為( ) A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè) （重慶市中考試題） 13在半徑為5cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦，則此弦所對(duì)的圓周角為( ) A60°或120° B30°或120° C60° D120° 14如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3如果

8、邊AB上的點(diǎn)P使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形和以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有 ( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 第14題圖 第15題圖 15如圖，菱形ABCD的邊長是5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且AO，BO的長分別是關(guān)于的方程x2+(2m1)+m2+3=0的根，則m的值為 ( ) A3 B5或3 C5 D5或3（吉林省中考試題） 16已知：關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸總有交點(diǎn)，求的取值范圍（十堰市中考試題） 17如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方形OABC的邊OA，OC分別在軸，y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，2)，反比例函數(shù)（x>0，k0）的圖象經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)D (

9、1) 求k的值； (2) 若點(diǎn)P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），過點(diǎn)P作PRy軸于點(diǎn)R，作PQBC所在直線于點(diǎn)Q，記四邊形COPR的面積為S，求S關(guān)于x的解析式并寫出x的取值范圍 18已知ABC中，BC=6 cm，CA=8 cm，C=90°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿CA，AB運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn) (1)設(shè)P從C開始運(yùn)動(dòng)的距離為x cm，BCP的面積為y cm2，把y表示成的函數(shù)；(2)從C出發(fā)幾秒時(shí)，SBCP=SABC? （荊州市中考試題） 19如圖，已知O1與O2外切于點(diǎn)O，以直線O1O2為x軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，直線AB切O1于點(diǎn)B，切O2

10、于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C(0，2)，交x軸于點(diǎn)M；BO的延長線交O2于點(diǎn)D，且OB：OD=1：3(1) 求O2的半徑長；(2) 求直線AB的解析式；(3) 在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使MO2P與MOB相似？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由 （吉林省中考試題） 20已知拋物線l1：y=ax22amx+am2+2m+1(a>0，m>0)的頂點(diǎn)為A，拋物線l2的頂點(diǎn)B在y軸上，且拋物線l1和拋物線l2關(guān)于點(diǎn)P(1，3)成中心對(duì)稱 (1) 當(dāng)a=1時(shí)，求l2的解析式和m的值； (2) 設(shè)l2與軸正半軸的交點(diǎn)是C，當(dāng)ABC為等腰三角形時(shí)，求a的值 （浙江省競(jìng)賽試題）21已知定理：“若三個(gè)

11、大于3的質(zhì)數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式2a+5b=c，則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)，”試問：上述定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少？并證明你的結(jié)論 （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）22如果對(duì)一切x的整數(shù)值，x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方），證明： (1) 2a，2b都是整數(shù)； (2) a，b，c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù) 反過來，如果(2)成立，是否對(duì)一切x的整數(shù)值，ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？ （全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）232 007個(gè)質(zhì)點(diǎn)均勻分布在半徑為R的圓周上，依次記為P1，P2，P3，P2007小明用紅色按如下規(guī)則去涂這些點(diǎn)：設(shè)某次涂第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則下次就涂第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)后面的第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)按此規(guī)則，小明能否將所有的質(zhì)點(diǎn)均涂