函數(shù)、導數(shù)“任意、存在”型問題歸納

1、導學語函數(shù)導數(shù)任意性和存在性問題探究函數(shù)導數(shù)問題是高考試題中占比重最大的題型，前期所學利用導數(shù)解決函數(shù)圖像切線、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)極值最值等問題的方法，僅可稱之為解決這類問題的“戰(zhàn)術(shù)”,若要更有效地徹底解決此類問題還必須研究“戰(zhàn)略”，因為此類問題是函數(shù)導數(shù)結(jié)合全稱命題和特稱命題形成的綜合性題目.常用戰(zhàn)略思想如下:題型分類解析.單一函數(shù)單一 “任意”戰(zhàn)略思想一：“ xA, a()f(x)恒成立”等價于“當x A時，a)f(x)max”f(x)上限A, a()f(x)恒成立”等價于“當x A時，a)f (x)minf(x)下限例1 :已知二次函數(shù)f(x)2 axx,若0,1時，恒有 | f (x)|

2、1,求實數(shù)a的取值范圍.解：Q | f (x)| 1 ,2 ax2 ax當x 0時，不等式顯然成立，aC R.當0 x 1時，由1 x ax21 x得:石 11c而(二 一)min 0 , a 0.x x1x1一) xmax綜上得a的范圍是a 2,0.二.單一函數(shù)單一 “存在”型戰(zhàn)略思想二:)f(x)成立”等價于)f(x)成立”等價于例2.已知函數(shù)f (x) aln x x2 (a R),若存在取值范圍.解析：f (x)(a 2)x a(x In x) x2 2xx 1,e,1 x且等號不能同時取，所以2因而a 2xx In x1,e,a 2,“當x A時，a“當x A時，ax 1,e,使得

3、f(x)In x x,即 x In x()f(x)min”()f(x)max”f(x)上限af(x)下限(a 2)x成立，求實數(shù)a的0,人 x2 2x"g(x) f(x 1)(x 21,e,又 g(x)-2ln x)21(x In x)當 x 1,e時，x0,ln x 1 , x 2 2lnx 0,從而g (x) 0 (僅當x=1時取等號)，所以g(x)在1,e上為增函數(shù),故g(x)的最小值為g(1)1 ,所以a的取值范圍是1,).單一函數(shù)雙“任意”型13戰(zhàn)略思想三：x R,都有"f(xi)f(x)f(X2)"f(Xi), f (X2)分別是f (X)的最小值和最

4、大值，| Xi X2I min是同時出現(xiàn)最大值和最小值的最短區(qū)間.f(x)f(X2)"成立，則 |Xi X2 |X例3.已知函數(shù)f (x) 2sin( )若對 x R,都有"f (x1) 25的最小值為解二.對任意xC R,不等式f(x1)f (x) f(X2)恒成立, f(x), f(X2)分別是f(x)的最小值和最大值.對于函數(shù)ysin x ,取得最大值和最小值的兩點之間最小距離是即半個周期.又函數(shù)f(x)2sin( y -)的周期為4,. | X1X2 |的最小值為2.戰(zhàn)略思想四:A x1 x2X1,X2 A, " f (-2)2f(X1) f(X2)&qu

5、ot;成立f (x)在A上是上凸函數(shù) f''(x) 0X2 1時，使例4.在y2、一 一 ，,2x, y log2 2x, y x , y cosx這四個函數(shù)中，當Xi”一A.0f(Xi) f(X2)2B.1恒成立的函數(shù)的個數(shù)是()C.2D.3解：本題實質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿足條件"f ('六)f(X1)f (x2)一 j”的函數(shù)，應(yīng)是凸函2數(shù)的性質(zhì)，畫草圖即知 y log2 2x符合題意;戰(zhàn)略思想五:x1, x2A,""X) f(X2)0"成立f(x)在A上是增函數(shù)XiX2例5已知函數(shù)f (X)定義域為1,1,f (1)

6、1 ,若 m, n1,1,m n 0時，都有"f(m) f(n) 0",若 f(x) t2 2at1對所有x 1,1,1,1恒成立，求實數(shù)t取值范圍.解：任取1X1 X2 1,則 f (X1)f %)3fX1X1x2由已知上()一)(©X1 x20 ,又 x1x20,f(X1) f(X2) 0即f (x)在1,1上為增函數(shù).f(1) 1 , x 1,1,恒有 f (x) 1 ；要使 f (x) t2 2at 1 對所有 x 1,1, a 1,1恒成立,2.一 2.即要t 2at 1 1恒成立，故t 2at 0恒成立,令 g(a) 2at t2,只須 g( 1) 0

7、且 g(1) 0,解得t 2或t 0或t 2.戰(zhàn)略思想六：x1,x2 A,|f(x1) f(x2)| t (t為常數(shù))成立 t=f(x)max f(x)min431例6.已知函數(shù)f(x) x 2x ,則對任意Lt ,2 (t1 t2)都有| f(L) f(t2)| 恒2成立，當且僅當t1=, t2=時取等號.解：因為 |f(x1) f(x2)| |f(x)max f(x)min| 恒成立,由 f(x)x4 2x3,x 1,2,2易求得f(x)max f C|)烏，f(x)min f ()-)2162160至少有兩個實根1和1；. | f(x1) f(x2) 2.戰(zhàn)略思想七：x1，x2 A, |

8、f(x1) f(x2)| 11 x1 x2 |3_Jlx| t |f'(x)i t(t 0)例7.已知函數(shù)y f(x)滿足：(1)定義域為1,1； (2)方程f(x)(3)過f(x)圖像上任意兩點的直線的斜率絕對值不大于1.(1)證明：|f(0)| 1;(2)證明：為:寸任意 x，x2 1,1,都有 | f (x1) f(x2)| 1 .證明略；(2)由條件(2)知£( 1) f (1) 0,不妨設(shè)1x1x21,由(3)知 |f(x1)f(x2)|x1x2|x2x1,又 |f(x1) f(x2)| | f(x1)| | f(x2)| |f(x1) f( 1)| |f(x2)

9、f(1)|x1 1 1 x2 2 (x2 X) 2 | f(x1)f(x2)|； . | f(x1) f(x2)| 1例 8.已知函數(shù)f(x) x3 axb，對于 x1,x2(0，x1x2) 時總有 1f(x1)f(x2)|x1x21 成立，求實數(shù)a的范圍.f(x) x3axb,得f (x)3(0, 丁-)時,3f (x)I f ( xi) f (x2)| I xi x2 I ,f(xi) f(x2)一 1xi x2評注由導數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)y f (x)圖像上任意兩點P(xi, yi),Q(x2, y2)連線的斜率x2 xik y左(x x2)的取值范圍，就是曲線上任一點切線的斜率(如果

10、有的話)的范圍，利用這個結(jié)論，可以解決形如|f(x1) f(x2)| m|x1 x2|或|f(x1) f(x2)| m|x1 x2 |(m >0)型的不等式恒成立問題.四.雙函數(shù)“任意”+ “存在”型:戰(zhàn)略思想八:xiA,X2f (xi)g(x2)成立f (x)ming(x)min ；xiA,X2B,使得f (xi)g(x2)成立f(x)maxg (x)max .VtTi> 11 a例9.已知函數(shù)f (x)2x2 5ln x x，g(x)2x mxxi(0,1),對任意 x2i,2,總有f (xi) g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍.解析：題意等價于 f (x)在(0,i)上的最

11、大值大于或等于g(x)在i,2上的最大值.一、2x2 5x 2f (x)2x,_ i ,由 f '(x) 0 得，x 或 x 2, 2. i當 x (0,一)時，f2， i .，(x) 0,當 x (一,i)時 f (x) 0,2所以在(0, i)上,f (x)max f3 51n 2.又g(x)在又2上的最大值為maxg(i),g(2),所以有f(2)f(2)g(i)g(2)所以實數(shù)3 5ln 23 5ln 28 2m8 5lni一(ii25ln2)m的取值范圍是8 5ln2.g(x)上限戰(zhàn)略思想九:xix2B ，使得f (xi)g(x2)成立”f (x)上限f (x)的值域包含于.

12、g(x)的值域”.f (x)下限g(x)下限例10.設(shè)函數(shù)f(x)(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè) a)1 ,函數(shù) g(x)x3 3a2x 2a. 若對于任意x10,1,總存在xo 0,1,使得f(x1) g(xo)成立，求a的取值范圍.解析：(1) f'(x)225-'r 225x - x 一，令 f(x)0,即 x - x - < 0 ,解得:333355f(x)的單增區(qū)間為,1；單調(diào)減區(qū)間為(，和1,).33(2)由(1)可知當x 0,1時，f(x)單調(diào)遞增, .當 x 0,1時,f(x) f(0), f(1),即 f(x) 4, 3；又 g'(x)

13、3x2 3a2,且 a)1, .當 x 0,1時，g'(x)< 0, g(x)單調(diào)遞減,.當 x 0,1時,g(x) g(1),g(0),即 g(x) 3a2 2a 1, 2a,又對于任意x1 0,1,總存在x0 0,1,2使得 f(x1) g(x0)成立4, 3 3a 2a 1, 2a,2日口 3a 2a 1< 4 的/日 /3即，解得：1 & a & -3< 2a21 a例 11.已知函數(shù) f(x) ln x ax 1(a R)；x,1 (1)當a 時，討論f (x)的單調(diào)性；22 .1 .(2)設(shè) g(x) x2bx4,當 a 時，若對x(0,2

14、),x21,2,使 f(x1)g(xz),求實數(shù)4b的取值范圍；解：(1)(解答過程略去，只給出結(jié)論)當aW0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1 , +OO)上單調(diào)遞增；當a=1時，函數(shù)f(x)在(0, +00)上單調(diào)遞減；2.11.1當0<a< 一時，函數(shù)f (x)在(0,1)上單倜遞減，在(1- 1)上單調(diào)遞增，在(一 1,)上單調(diào)遞減；2aa(2)函數(shù)的定義域為(0, +8),1 a 1 ax x 1 a 1 »f (x) =a+ =- 2, a=一時，由 f (x) =0 可得 x=1,x2=3.x xx4因為 a=1 £ (0,1)，x2=

15、3(0,2)，結(jié)合(1)可知42函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增,所以f(x)在(0,2)上的最小值為f(1)=-. 2由于“對xiC (0,2),X2C 1,2,使 f(xi) >g(x2)” 等價于“g(x)在1,2上的最小值不大于 f(x)在(0,2)上的最小值f(1)= 1".()2又 g(x)=(x b)2+4 b2, x C 1,2,所以 當b<1時，因為g(x) min=g(1)=5 2b>0,此時與()矛盾； 當be 1,2時，因為g(x) min=4b2>0,同樣與(X)矛盾； 當 be (2, +8)時，因為g(x

16、) min=g(2)=8 4b.解不等式8-4b<- 1,可得b1728綜上，b的取值范圍是且盧國).8五.雙函數(shù)“任意” + “任意”型戰(zhàn)略思想十：x1 A, x2 B,使得f (x1)1 a o例12.已知函數(shù)f(x) -x3 x2 3x3A。.g(x2)成立f (x)min g(x)max*g(x)xr-c，若 對任意 Ln”32x1,x2 2,2,都有 f (x1)g(x2),求c的范圍.解：因為對任意的x1, x22,2,都有 f(x) g(x2)成立,',、2- f (x) max g(x)min , f (x) x 2x 3,令 f (x) 0得 x 3,x1x&g

17、t;3 或 xv-1； f (x) 0得 1 x 3;f (x)在2, 1為增函數(shù)，在1,2為減函數(shù).f( 1) 3, f (2)6, . f(x)max 3,.-. 3T， c 24.2例 13.已知兩個函數(shù) f(x) 8x2 16x k,g(x) 2x3 5x2 4x,x 3,3, k R; 若對 x 3,3,都有f(x) g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍；(2)若x 3,3,使得f(x) g(x)成立，求實數(shù)k的取值范圍； 若對 x1,x2 3,3,都有f(x1) g(x2)成立，求實數(shù)k的取值范圍;解：(1)設(shè) h(x)g(x)一一_ _ 3_2_f (x) 2x 3x 12x k,(

18、1)中的問題可轉(zhuǎn)化為:x 3,3時，h(x) 0恒成立，即h(x)m0.h'(x) 6x2 6x 12 6(x 2)( x 1)；當x變化時，h(x), h (x)的變化情況列表如下:x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h (x)+0一0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因為 h( 1) k 7,h(2) k 20,所以，由上表可知h(x)min k 45,故 k-45>0,得 k>45,即 kC 45,+ 8).小結(jié)：對于閉區(qū)間I,不等式f(x)<k對xC I時恒成立f(x) max<k, x £ I;不等式f(x)

19、>k對xC I時恒成立 f(x) min>k, x C I.此題常見的錯誤解法：由f(x) maxW g(x) min解出k的取值范圍.這種解法的錯誤在于條件«f(x) maxWg(x)min”只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價 (2)根據(jù)題意可知，(2)中的問題等價于 h(x)= g(x) f(x) >0在x C -3,3時有解，故h(x) max>0.由(1)可知h(x) max= k+7 ,因此 k+7 >0,即 kC 7,+oo).(3)根據(jù)題意可知，(3)中的問題等價于f(x)maxW g(x)min, x -3,3.由二次函數(shù)的

20、圖像和性質(zhì)可得 ，x £ -3,3時，f(x) max=120 k.仿照(1 ),利用導數(shù)的方法可求得x £ -3,3時，g(x) min= 21.由 120k一21 得 2 141，即 kC 141,+ 8).說明：這里的Xi,X2是兩個互不影響的獨立變量.從上面三個問題的解答過程可以看出，對于一個不等式一定要看清是對“X”恒成立，還是“ X”使之成立，同時還要看清不等式兩邊是同一個變量，還是兩個獨立的變量，然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價條件，千萬不要稀里糊涂的去猜.六.雙函數(shù)“存在”+ “存在”型弟江科戰(zhàn)略思想十X1A, X2B,使得 f(X1)g(X2)成立 f(x)min g(x)max；窗”Xi A, X2 B ,使得 f(x) g