八個無敵模型——全搞定空間幾何的外接球和內(nèi)切球問題

1、八個有趣模型搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球類型一、墻角模型（三條線兩個垂直，不找球心的位置即可求出球半徑） 方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出例1 （1）已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為，體積為，則這個球的表面積是（ C ）A B C D（2）若三棱錐的三個側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 解：（1），選C； （2），（3）在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 。解：引理：正三棱錐的對棱互垂直。證明如下：如圖（3）-1，取的中點，連接，交于，連接，則是底面正三角形的中心，平面，平面，同理：，即正三棱錐的對棱互垂直，本題圖如圖（

2、3）-2， ，平面，平面，故三棱錐的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，即，正三棱錐外接球的表面積是（4）在四面體中，則該四面體的外接球的表面積為（ D ） （5）如果三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為、，那么它的外接球的表面積是 （6）已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為的等腰直角三角形和邊長為的正方形，則該幾何體外接球的體積為 解析：（4）在中，的外接球直徑為，選D（5）三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長分別為（），則，（6），類型二、垂面模型（一條直線垂直于一個平面）1題設(shè)：如圖5，平面解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直 徑，連接，則必過球心；第二步：為的

3、外心，所以平面，算出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：；2題設(shè)：如圖6，7，8，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點 解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出方法二：小圓直徑參與構(gòu)造大圓。例2 一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為( )CA B C D以上都不對解：選C，, ,類型三、切瓜模型（兩個平面互相垂直） 1題設(shè)：如圖9-1，平面平面，且（即為小圓的直徑）第一步

4、：易知球心必是的外心，即的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑；第二步：在中，可根據(jù)正弦定理，求出2如圖9-2，平面平面，且（即為小圓的直徑） 3如圖9-3，平面平面，且（即為小圓的直徑），且的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出4如圖9-3，平面平面，且（即為小圓的直徑），且，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：；例3 （1）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為1，底面邊長為，則該球的表面積為 。（2）正四棱錐的底

5、面邊長和各側(cè)棱長都為，各頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 解：（1）由正弦定理或找球心都可得，（2）方法一：找球心的位置，易知，故球心在正方形的中心處，方法二：大圓是軸截面所的外接圓，即大圓是的外接圓，此處特殊，的斜邊是球半徑，（3）在三棱錐中，,側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4 D.解：選D，圓錐在以的圓上，（4）已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且，則此棱錐的體積為（）AA B C D解：，類型四、漢堡模型（直棱柱的外接球、圓柱的外接球） 題設(shè)：如圖10-1，圖10-2，圖10-3,直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也

6、內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出例4 （1）一個正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，則這個球的體積為 解：設(shè)正六邊形邊長為，正六棱柱的高為，底面外接圓的關(guān)徑為，則，底面積為，球的體積為（2）直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。解：，（3）已知所在的平面與矩形所在的平面互相垂直，則多面體的外接球的表面積為 。解析：折疊型，法一：的外接圓半徑為，；法二：，（4）在直三棱柱中，則直三

7、棱柱的外接球的表面積為 。解析：，類型五、折疊模型題設(shè)：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊(如圖11)第一步：先畫出如圖所示的圖形，將畫在小圓上，找出和的外心和；第二步：過和分別作平面和平面的垂線，兩垂線的交點即為球心，連接；第三步：解，算出，在中，勾股定理：例5三棱錐中，平面平面，和均為邊長為的正三角形，則三棱錐外接球的半徑為 .解析：，；法二：，類型六、對棱相等模型（補形為長方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對棱分別相等，求外接球半徑（，）第一步：畫出一個長方體，標出三組互為異面直線的對棱；第二步：設(shè)出長方體的長寬高分別為，列方程組，補充：第三步：根據(jù)墻角模型，求出，例

8、如，正四面體的外接球半徑可用此法。例6（1）棱長為的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是 . （2）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ ）A B C D 解：（1）截面為，面積是；（2）高，底面外接圓的半徑為，直徑為，設(shè)底面邊長為，則，三棱錐的體積為 （3）在三棱錐中，則三棱錐外接球的表面積為 。解析：如圖12，設(shè)補形為長方體，三個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為，則，（4）如圖所示三棱錐，其中則該三棱錐外接球的表面積為 . 解析：同上，設(shè)補形為長方體，三

9、個長度為三對面的對角線長，設(shè)長寬高分別為，【55；對稱幾何體；放到長方體中】（5）正四面體的各條棱長都為，則該正面體外接球的體積為 解析：這是特殊情況，但也是對棱相等的模式，放入長方體中，類型七、兩直角三角形拼接在一起(斜邊相同,也可看作矩形沿對角線折起所得三棱錐)模型題設(shè)：，求三棱錐外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點，連接，則，為三棱錐外接球球心，然后在中求出半徑），當(dāng)看作矩形沿對角線折起所得三棱錐時與折起成的二面角大小無關(guān)，只要不是平角球半徑都為定值。例7（1）在矩形中，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）A B C D解：（1），選C（2）在矩形中，沿將矩形折疊，連

10、接，所得三棱錐的外接球的表面積為 解析：（2）的中點是球心，；類型八、錐體的內(nèi)切球問題1題設(shè)：如圖14，三棱錐上正三棱錐，求其外接球的半徑。第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，分別是兩個三角形的外心；第二步：求，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出2題設(shè)：如圖15，四棱錐上正四棱錐，求其外接球的半徑第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，三點共線；第二步：求，是側(cè)面的高；第三步：由相似于，建立等式：，解出3題設(shè)：三棱錐是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個面構(gòu)成的四個三棱錐的體積之和相等第一步：先畫出四個表面的面積和整個錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，建立等式：第三步：解出習(xí)題：1若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，則該三棱錐的外接球半徑為（ ）A. B. C. D.解：【A】，【三棱錐有一側(cè)棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共兩種】2 三棱錐中，側(cè)棱平面，底面是邊長為的正三角形，則該三棱錐的外接球體積等于 . 解析：，外接球體積【外心法（加中垂線）找球心；正弦定理求球小圓半徑】3正三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則該