吉林省東北師范大學附屬中學2015屆高考一輪復習 數(shù)列（三）等比數(shù)列教案 理

1、吉林省東北師范大學附屬中學2015屆高考一輪復習 數(shù)列（三）等比數(shù)列教案 理知識梳理：（閱讀教材必修5第36頁45頁）1、等比數(shù)列的定義: 。說明:等比數(shù)列an中，an0(nN*), q0 ；等比數(shù)列an中，若q>0，則各項符號相同，若q<0，則各項的符號正負交替出現(xiàn)。2、等比數(shù)列判斷方法：、定義法：an+1an=q，（nN*，q0）、等比中項法 ：an+12=anan+2（nN*，an0 ；、an=c qn (c、q均0)； sn=k（qn-1）q0，q1，k0。3、等比數(shù)列通項公式及前n項和:通項公式: ;前n項和公式: ; 說明：（1）、知道a1，q，n，an，sn，這五個量

2、中任意三個，就可求出其余兩個； （2）、an=a1qn-1=a1qqn=cqn，當q是不等于1的正數(shù)時，y=qn是一個指數(shù)函數(shù)，而y= cqn是指數(shù)型函數(shù)。4、等比中項: ；5、等比數(shù)列常用的性質(zhì)：（1）、an是等比數(shù)列，則pan（p0）；an2；1an；an+an+1；anan+1；仍是等比數(shù)列。（2）、an=amqn-m（m、nN*）；（3）、等和性：若m+n=p+q（m、n、p、qN*）則anam=apaq （4）、等比數(shù)列an中，等距離抽出的子數(shù)列依然是等比數(shù)列，即an，an+k，an+2k，為等比數(shù)列，公比為 ；（5）、片段和性質(zhì)：若sn是等比數(shù)列的前n項和，且sn0，則sn，s2n

3、-sn，1 / 10s3n-s2n，成等比數(shù)列，公比為 。（6）、三個數(shù)成等比，可以設aq，a，aq （q為公比）（7）、單調(diào)性：當a1<0，0<q<1時或a1>0，q>1時，an是增數(shù)列；當a1<0，q>1時或a1>0，0<q<1時，an是減數(shù)列；當q<0時，為擺動數(shù)列；當q=1時，為常數(shù)列。二、題型探究探究一：已知等比數(shù)列的某些項，求某項例1：已知an是等比數(shù)列，a2=2，a6=162，則a10= 13122 ；探究二：已知等比數(shù)列前n項和sn，求項數(shù)。例2：（1）、已知sn是等比數(shù)列前n項和，sn=93，an=48，公比q

4、=2，求n；（n=5）（2）、已知四個實數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，首末兩項之和為37，中間兩數(shù)之和為36，求這四個數(shù)。（12，16，20，25；24.75,20.25,15.75,12.25）探究三：求等比數(shù)列的前n項和例3：求等比數(shù)列1，2，4，8中，從第5項到第10項的和。例4：已知sn是等比數(shù)列前n項和，a1最小，且a1+an=66，a2+an-1=128，sn=126，求q,n.( q=2,n=6)探究四：等比數(shù)列的性質(zhì)例5：已知sn是等比數(shù)列前n項和，sn=54，s2n=60，求s3n(182/3)例6：已知sn是等比數(shù)列前n項和滿足sn=aa-1（an-1）（a為

5、常數(shù)，且a0，a1）（1）、求an的通項公式；(an=an)(2)、設bn=2snan+1，若bn是等比數(shù)列，求a。(a=1/3)三、方法提升1等比數(shù)列的知識要點（可類比等差數(shù)列學習）（1）掌握等比數(shù)列定義q（常數(shù)）（nN），同樣是證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由an·an2來判斷；（2）等比數(shù)列的通項公式為ana1·qn1；（3）對于G 是a、b 的等比中項，則G2ab，G±；（4）特別要注意等比數(shù)列前n 項和公式應分為q1與q1兩類，當q1時，Snna1，當q1時，Sn，Sn。2等比數(shù)列的判定方法定義法：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等比數(shù)列；等比中項：對于數(shù)列，

6、若，則數(shù)列是等比數(shù)列。3等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列任意兩項間的關系：如果是等比數(shù)列的第項，是等差數(shù)列的第項，且，公比為，則有；四、反思感悟 五、課時作業(yè)一、選擇題一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi))1在等比數(shù)列an中，a7·a116，a4a145，則()A. B. C.或 D或解析：在等比數(shù)列an中，a7·a11a4·a146 又a4a145由、組成方程組解得或或.答案：C2在等比數(shù)列an中a12，前n項和為Sn，若數(shù)列an1也是等比數(shù)列，則Sn等于()A2n12 B3n C2n D3n1解析：要an是等比數(shù)列，an1

7、也是等比數(shù)列，則只有an為常數(shù)列，故Snna12n.答案：C評析：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及對性質(zhì)的綜合應用，抓住只有常數(shù)列有此性質(zhì)是本題的關鍵，也是技巧；否則逐一驗證，問題運算量就較大 3設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6S312，則S9:S3等于()A1:2 B2:3 C3:4 D1:3解析：解法一：S6:S31:2，an的公比q1.由÷，得q3，.解法二：因為an是等比數(shù)列，所以S3，S6S3，S9S6也成等比數(shù)列，即(S6S3)2S3·(S9S6)，將S6S3代入得，故選C.答案：C4已知等比數(shù)列an中，an>0，a10a11e，則lna1lna2lna2

8、0的值為()A12 B10 C8 De解析：lna1lna2lna20ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)lne1010，故選B.答案：B5若數(shù)列an滿足a15，an1(nN*)，則其前10項和是()A200 B150 C100 D50解析：由已知得(an1an)20，an1an5，S1050.故選D.6.在等比數(shù)列an中，a1a2an2n1(nN*)，則aaa等于A(2n1)2 B.(2n1)2 C4n1 D.(4n1)解析：若a1a2an2n1，則an2n1，a11，q2，所以aaa(4n1)，故選D.7 “公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；

9、“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”； “a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”； “a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個命題中，正確的有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個解析：四個命題中只有最后一個是真命題。命題中未考慮各項都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題中可知an+1=an×，an+1<an未必成立，當首項a1<0時，an<0，則an>an，即an+1>an，此時該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題中，若a=b=0，cR，此時有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。

10、點評：該題通過一些選擇題的形式考察了有關等比數(shù)列的一些重要結論，為此我們要注意一些有關等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結論。8、 命題1：若數(shù)列an的前n項和Sn=an+b(a1)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列an的前n項和Sn=an2+bn+c(a0)，則數(shù)列an是等差數(shù)列；命題3：若數(shù)列an的前n項和Sn=nan，則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個命題中，真命題有（ ）A0個 B1個 C2個 D3個解析： 由命題1得，a1=a+b，當n2時，an=SnSn1=(a1)·an1。若an是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當b=1且a0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列。由命題2得，

11、a1=a+b+c，當n2時，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差數(shù)列，則a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有當c=0時，數(shù)列an才是等差數(shù)列。由命題3得，a1=a1，當n2時，an=SnSn1=a1，顯然an是一個常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當a10；即a1時數(shù)列an才又是等比數(shù)列。點評：等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個命題均涉及到Sn與an的關系，它們是an=，正確判斷數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關系式，尤其注意首項與其他各項的關系。上述三個命題都不是真命題，選擇A。二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫

12、線上)9數(shù)列an中，設數(shù)列an的前n項和為Sn，則S9_.解析：S9(122242628)(371115)377.10數(shù)列an的前n項之和為Sn，Sn1an，則an_.解析：n1時，a1S11a1，得a1，n2時，Sn1an，Sn11an1. 兩式相減得anan1an，即anan1，所以an是等比數(shù)列，首項為a1，公比為，所以an·n1.11an是等比數(shù)列，前n項和為Sn，S27，S691，則S4_.解析：設數(shù)列an的公比為q，S27，S691.q4q2120，q23.S4a1(1q)(1q2)(a1a1q)(1q2)28. 答案：2812設數(shù)列an的前n項和為Sn(nN)，關于數(shù)列

13、an有下列四個命題：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則anan1(nN)若Snan2bn(a，bR)，則an是等差數(shù)列若Sn1(1)n，則an是等比數(shù)列若an是等比數(shù)列，則Sm，S2mSm，S3mS2m(mN)也成等比數(shù)列其中正確的命題是_(填上正確命題的序號)解析：若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，an為非零常數(shù)列，故anan1(nN)；若an是等差數(shù)列，Snn2n為an2bn(a，bR)的形式；若Sn1(1)n，則n2時，anSnSn11(1)n1(1)n1(1)n1(1)n，而a12，適合上述通項公式，所以an(1)n1(1)n是等比數(shù)列；若an是等比數(shù)列，當公比q1且m為偶數(shù)時，Sm，S

14、2mSm，S3mS2m不成等比數(shù)列答案：三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟)13已知數(shù)列an中，a11，前n項和為Sn，對任意的自然數(shù)n2，an是3Sn4與2Sn1的等差中項(1)求an的通項公式；(2)求Sn.解：(1)由已知，當n2時，2an(3Sn4)(2Sn1)，又anSnSn1，由得an3Sn4(n2)an13Sn14兩式相減得an1an3an1.a2，a3，an，成等比數(shù)列，其中a23S243(1a2)4，即a2，q，當n2時，ana2qn2n2n1.即 (2)解法一：當n2時Sna1a2ana1(a2an)11n1，當n1時S110也符合上述公式Snn1.解法二：由(1)知n2時，an3Sn4，即Sn(an4)，n2時，Sn(an4)n1.又n1時，S1a11亦適合上式Snn1.14設數(shù)列an的前n項和為Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m為常數(shù)，且m3.(1)求證：an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的公比qf(m)，數(shù)列bn滿足b1a1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求證：為等差數(shù)列，并求bn.n2時，bnf(bn1)·，bnbn13bn3bn1，推出.是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，1，又1符合上式，bn.15已知an是首項為a1，公比q(q