剛性圓錐壓頭與彈塑性半空間相互作用

1、剛性圓錐壓頭與彈塑性半空間相互作用摘要：彈性接觸問題在實(shí)際工程應(yīng)用過程中比較顯著，特別是在鉆探石油工程中的巖石破碎理論。為了更好學(xué)習(xí)接觸理論，開展研究剛性圓錐體壓頭作用于彈性半空間體時(shí)所產(chǎn)生的內(nèi)部應(yīng)力和位移的變化，及時(shí)判斷材料本身的彈性到塑性的變化過程。利用彈塑性的相關(guān)理論，得出圓錐體壓頭在彈性半空間體上的壓入深度H、接觸半徑a和集中力F的相互關(guān)系，圓錐形剛性壓頭受豎向靜載荷作用于彈塑性半空間時(shí)，壓頭下各點(diǎn)的應(yīng)力隨壓入深度的增加而增大，在錐尖處應(yīng)力最大。關(guān)鍵詞：剛性圓錐壓頭，彈性半空間體，接觸理論，應(yīng)力分布第一章 研究背景剛性壓頭作用于彈塑性材料上時(shí)壓頭下的應(yīng)力分布問題與材料的性質(zhì)研究密切相關(guān)

2、，它可以將硬度、壓頭形狀、材料性質(zhì)等因素聯(lián)系起來，使我們更好地了解材料的各種性能。因此，對壓頭下應(yīng)力分布的深入研究有著重要的意義。當(dāng)無限彈性空間體上表面受一垂直集中力作用時(shí)，其體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分布和變形問題，是一個(gè)在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域（彈性接觸研究及巖石在鉆具作用下的破碎理論）常會(huì)遇到的問題，通常也稱之為Boussinesq問題。這是一個(gè)空間軸對稱問題，與所有的彈性力學(xué)問題一樣，可以用位移法與應(yīng)力解法。當(dāng)剛性圓錐體壓頭作用于彈性半空間體時(shí)，當(dāng)壓入深度較小時(shí)，材料處于完全彈性接觸狀態(tài)，隨著壓入深度的增加，材料內(nèi)部發(fā)生屈服，開始出現(xiàn)塑性變形，當(dāng)壓入深度達(dá)到一定值后，接觸區(qū)域呈現(xiàn)完全塑性變形。在真實(shí)的接

3、觸過程中，總是希望兩者之間的接觸處于彈性狀態(tài)，此時(shí)工件的變形較小，使用壽命也會(huì)很高。但是當(dāng)壓入深度超過某一值后，材料就發(fā)生屈服，出現(xiàn)塑性變形，如果工件長期在塑性狀態(tài)下工作，將會(huì)對其使用壽命產(chǎn)生很大的影響。故有必要開展研究有關(guān)接觸理論，推導(dǎo)剛性圓錐體壓入一個(gè)彈性半空間體時(shí)的壓入深度、接觸半徑和壓力之間的關(guān)系，更好的為工程材料特別是鉆探過程中提供一定的參考性指標(biāo)。第二章 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀壓頭下的應(yīng)力分布問題對于研究材料的彈性、塑性、硬度、強(qiáng)度等一系列不同的物理、力學(xué)性能有著重要的意義，很多學(xué)者對應(yīng)力分布與硬度及其它材料性質(zhì)之間的關(guān)系作了卓有成效的研究，并取得了很大的進(jìn)展。1944 年，伊斯林斯基（前

4、蘇聯(lián)科學(xué)院院士）研究了剛性壓頭在彈塑性材料上的軸對稱壓入問題，在理論上建立了布氏硬度與材料強(qiáng)度之間的關(guān)系，1951 年，D.Tabor深入地研究了壓入硬度與金屬材料性質(zhì)之間的關(guān)系，建立了表征壓入力與壓痕之間的廣義梅葉爾（Meyer）定律，1960年，黑木剛司郎（日本東京大學(xué)）深入地研究了壓入硬度值的解析問題，但壓頭下的壓分布是按平面壓頭壓入時(shí)的結(jié)果設(shè)定的，盡管給出了硬度值的解析表達(dá)式，卻存在很大的局限性，1994 年，Murakani 等人建立了維氏硬度值的有限元分析模式與方法，1998 年，Gai Bingzheng在推廣赫茲接觸理論的基礎(chǔ)上，全面地解決了各類壓入硬度值的修正問題，2001

5、年，Per-Lennart Larsson深入地研究了尖型壓頭在剛塑性材料上的壓入問題，得出其數(shù)值結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)了 Knoop，Vickers，Berkovich 等壓頭壓入的某些特征；Boussinesq和Hertz建立了壓痕法重要的理論基礎(chǔ)彈性接觸理論；英國Johnson對接觸力學(xué)進(jìn)行了研究，將接觸力學(xué)的研究引入非線性領(lǐng)域Komvopoulos等對多粗糙峰剛性表面與彈性半無限體的接觸模型進(jìn)行了分析，楊楠等在Komvopoulos的基礎(chǔ)上，研究了具有一定數(shù)目圓形粗糙峰的剛性表面與彈塑性半無限體接觸的模型，Liu等人結(jié)合增量初剛度法、線性規(guī)劃法和有限元技術(shù)提出了求解真實(shí)粗糙表面彈塑性接觸問題的計(jì)

6、算模型。Boussinesq 發(fā)展了一個(gè)通過計(jì)算剛性壓頭施加在彈性體上所產(chǎn)生的應(yīng)力和位移而得到的位勢理論。他的方法隨后被應(yīng)用在推導(dǎo)一系列重要幾何形狀（如圓柱，圓錐）的壓頭。Hertz 分析了兩個(gè)不同半徑的球面的彈性接觸問題。他在接觸力學(xué)方面做了大量的實(shí)驗(yàn)和理論上的研究從而得到了經(jīng)典的 Hertz 接觸理論，并且對非剛性壓頭進(jìn)行了分析和研究。Tabor 在 50 年代對壓痕和顯微壓痕實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了詳細(xì)的總結(jié)，他研究了在剛性球壓頭的作用下一些金屬的變形。隨后 Stillwell 和 Tabor 用圓錐形壓頭做了相似的研究。通過這些研究他們發(fā)現(xiàn)：壓頭卸載初期，材料彈性恢復(fù)時(shí)的壓痕形狀起著重要的作用。至少

7、對于金屬材料，由球形壓頭加載而產(chǎn)生的壓痕仍然是球形，只是壓痕的半徑比壓頭的半徑稍大，由圓錐壓頭產(chǎn)生的壓痕也仍然是圓錐形，只是頂角稍大。這些試驗(yàn)（球形壓頭壓出的孔仍是球形，圓錐形壓頭壓出的孔仍是圓錐）的重要性在于他們說明了對于一個(gè)任意形狀的壓頭，彈性接觸解是存在的，塑性的影響可以通過考慮彈性卸載的表面形狀來處理。第三章 半空間體在邊界上受法向集中力作用首先利用拉普位移勢函數(shù)求出豎向集中載荷作用于彈性半空間時(shí)的應(yīng)力分布，然后利用此解進(jìn)行積分求出剛性圓錐體壓頭靜載荷作用在彈性半空間時(shí)的位移分布。為求解錐形剛性壓頭作用于彈性半空間時(shí)壓頭下的應(yīng)力分布，將錐形壓頭近似均分為 m 個(gè)小方塊，把每個(gè)小方塊用面

8、積相等的圓形代替，并假設(shè)其上的應(yīng)力是均布的，再利用圓形均布載荷的結(jié)果分別求出每一小塊在各自中心及其它小塊中心產(chǎn)生的位移，最后利用疊加原理求出個(gè)小塊的實(shí)際位移。由于壓頭是錐形的，故個(gè)小塊的位移是不相等的；又因?yàn)閭€(gè)小塊上的載荷應(yīng)為總的外加載荷，故可列出 m+1 個(gè)方程來求解各小塊上的應(yīng)力及位移共 m+1 個(gè)未知數(shù)，若位移已知，則可求出總的外載荷及應(yīng)力分布。3.1 空間軸對稱問題的Lame方程由空間軸對稱問題的平衡微分方程： （3-1）由本構(gòu)方程，按Hooke定律得到： （3-2）當(dāng)體力時(shí)，將式（3-2）代入到（3-1）中，并采用記號，便可以得到以位移表達(dá)的平衡方程，即解空間軸稱問題的位移法的基本方

9、程為： （3-3）3.2 位移法求解應(yīng)力如計(jì)及，則式（3-3）也可寫為 （3-4）這里的ur為r方向的位移，w為z方向的位移。其中： （3-5）若引進(jìn)位移勢函數(shù)，設(shè)： （3-6）得到 （3-7）我們就可以取c=0，即對于一個(gè)軸對稱問題，如果能找到一個(gè)調(diào)和函數(shù) ，使得其給出的位移和應(yīng)力能滿足邊界條件，就能得到問題的正確解答。然而實(shí)際上并不是所有的問題的位移都是有勢的；再則如果位移勢函數(shù)存在，則，表示體積應(yīng)變在整個(gè)彈性體中是常量，這也是很特殊的，故位移勢函數(shù)所能解決的問題是很少的。若引進(jìn)拉甫位移勢函數(shù)，設(shè)： （3-8）將其代入到（3-4）、（3-6）得： （3-9）對于一個(gè)軸對稱問題，如果能找到一

10、個(gè)重調(diào)和函數(shù) ( r , z)，使得由其給出的位移和應(yīng)力能滿足邊界條件，就可得到問題的正確解答。 下面回到我們要解決的問題，設(shè)有半空間體，體力不計(jì)，在其平面邊界上受有法向集中力F ，如圖1所示： 圖1 半無限體表面受法向集中力作用F這是一個(gè)軸對稱問題，對稱軸就是力F 的作用線。應(yīng)力邊界條件： （a） （b）另外，在O點(diǎn)附近的一小部分邊界上，有一組面力作用，其分布不明確，但已知它等效于集中力F 。因此，在半空間體的任何一個(gè)水平截面上的應(yīng)力，必須和這一組面力合成平衡力系，于是得出： （c）引進(jìn)拉甫位移勢函數(shù) 和位移勢函數(shù)： （d） （e）其中A1、A2為任意常數(shù)。利用（d）、（e）兩式可得到相應(yīng)的

11、應(yīng)力和位移（f）（g）將（f）、（g）兩式疊加代入邊界條件（a）、（b）、（c），最后可得：即有： （3-10） （3-11）將A1、A2代回式中可得應(yīng)力分量的計(jì)算式為 （3-12）3.3 彈性范圍內(nèi)壓頭的侵深與載荷的關(guān)系在某些工程問題中,需要知道作用于壓頭上的壓入力F與壓頭侵入彈性體深度H的關(guān)系。它在巖石破碎學(xué)中也有重要的理論意義。經(jīng)查閱相關(guān)資料，令接觸半徑為a，剛性圓錐半頂角為，對于圓錐形壓頭，壓入深度與接觸半徑的關(guān)系： （3-13）壓入力F與接觸半徑a的關(guān)系： （3-14）彈性范圍內(nèi)壓入力F與壓深H的為系： （3-15）第四章 結(jié)論分析（1）隨著R的增大，位移和應(yīng)力分量迅速減小。當(dāng)時(shí)，位

12、移和應(yīng)力分量皆趨近于零。說明此物體受力狀態(tài)下的應(yīng)力與位移均帶有局部性質(zhì)。（2）當(dāng)時(shí)，各應(yīng)力分量都趨于無限大。所以在集中力P作用點(diǎn)材料早已經(jīng)進(jìn)入塑性，由于實(shí)際荷載不可能加在一個(gè)幾何點(diǎn)上，而實(shí)際上是分布在一個(gè)小面積上，由圣維南原理說明，只在要稍偏離接觸區(qū)的地方，其計(jì)算公式依舊是正確的。（3）由應(yīng)力計(jì)算公式（3-11），當(dāng)z=0時(shí)半無限體邊界處任一點(diǎn)的法向位移沉陷量為（4）由應(yīng)力計(jì)算公式（3-12），z=0時(shí)半無限體邊界上的各點(diǎn)應(yīng)力為這說明，邊界上各點(diǎn)受到純剪切作用。（5）當(dāng)r=0，R=z時(shí)，即在外力作用下z線上的各點(diǎn)，由式（3-12）其應(yīng)力為說明在z軸上各點(diǎn)受到兩向拉伸，一向壓縮，它的主應(yīng)力分別為

13、以絕對值比較，比徑向及周向應(yīng)力大得多。（6）壓入深度與接觸半徑的關(guān)系：壓入力F與接觸半徑a的關(guān)系：彈性范圍內(nèi)壓入力F與壓深H的為系：參考文獻(xiàn)1金宏平,陳建國.剛性球與平面彈性接觸的臨界參數(shù)計(jì)算J.機(jī)械傳動(dòng),2013,03:49-51+82.2王曉惠.剛性壓頭與彈塑性半空間相互作用的數(shù)值分析D.哈爾濱工業(yè)大學(xué),2007.3陳聰,陳偉球.剛性球壓頭與壓電半空間的接觸問題再探J.力學(xué)季刊,2011,03:307-314.4陳偉球.剛性壓頭與壓電材料的粘附接觸A.中國力學(xué)學(xué)會(huì).損傷、斷裂與微納米力學(xué)進(jìn)展：損傷、斷裂與微納米力學(xué)研討會(huì)論文集C.中國力學(xué)學(xué)會(huì):,2009:8.5蔡敏,蔡鍵.球與彈性板的接觸J.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1996,04:46-53.6張宗賢,馮銘瀚,寇紹全.軸對稱壓頭侵入巖石的力學(xué)分析J.鑿巖機(jī)械與風(fēng)動(dòng)工具,1988,03:43-51+67.7李田軍,鄢泰寧,勃其斯基.復(fù)合片