數(shù)學(xué)分析中求極限的方法總結(jié)

1、數(shù)學(xué)分析中求極限的方法總結(jié)1 利用極限的四則運(yùn)算法則和簡單技巧極限的四則運(yùn)算法則敘述如下：定理1.1：如果（1）（2）（3）若B0 則：（4）（5）（n為自然數(shù)）上述性質(zhì)對于也同樣成立2 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在附近有定義，則 如果存在，則此極限值就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)記為。即 在這種方法的運(yùn)用過程中，首先要選好f(x)。然后把所求極限都表示成f(x)在定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。例4. 求的極限解： 3 利用兩個(gè)重要極限公式求極限 兩個(gè)極限公式：（1），（2） 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：（1） ，（2）求極限。 例5：解：為了利用極限故把原式括號內(nèi)式子拆成兩項(xiàng)，使得第一項(xiàng)為1，

2、第二項(xiàng)和括號外的指數(shù)互為倒數(shù)進(jìn)行配平。= =例6：解：將分母變形 后再化成“0/0”型 所以 = =例7: 求的極限解：原式=利用這兩個(gè)重要極限來求函數(shù)的極限時(shí)要仔細(xì)觀察所給的函數(shù)形式只有形式符合或經(jīng)過變化符合這兩個(gè)重要極限的形式時(shí)才能夠運(yùn)用此方法來求極限。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。4 利用函數(shù)的連續(xù)性因?yàn)橐磺谐醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的,所以如果是初等函數(shù),且是的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn), 則。例8： 解 :因?yàn)閺?fù)合函數(shù)是初等函數(shù),而是其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),所以極限值就等于該點(diǎn)處的函數(shù)值.因此 例8：求解： 復(fù)合函數(shù)在處是連續(xù)的，所以在這點(diǎn)的極限值就等于該點(diǎn)處的函數(shù)值即有 = =05 利用兩個(gè)

3、準(zhǔn)則求極限。（1） 函數(shù)極限的迫斂性：若一正整數(shù) N,當(dāng)n>N時(shí)，有且則有 。 利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從的表達(dá)式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列和 ，使得。 例9 ： 求的極限解：因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng) 則 又因?yàn)椋? ） 單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，而且極限唯一。例12：設(shè)。試證數(shù)列的極限存在, 并求此極限。解: 由及知。設(shè)對某個(gè)正整數(shù)k有， 則有從而由數(shù)學(xué)歸納法可知, 對一切自然數(shù), 都有，即數(shù)列單調(diào)下降, 由已知易見即有下界,根據(jù)“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這一定理可知存在。令對兩邊取極限，有所以有解得A=3,或。因?yàn)?，所以，舍?故6

4、 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限定義6.1：若當(dāng)（或）時(shí)，函數(shù)和都趨于零(或無窮大)，則極限可能存在、也可能不存在，通常稱為型和型未定式。 例如： , (型); , (型).定理6.2：設(shè) （1）當(dāng)時(shí), 函數(shù)和都趨于零; （2）在a點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi),和都存在且; （3） 存在(或無窮大),則定義6.3：這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.例10： 解： 在利用洛比達(dá)法則求極限時(shí)，為使計(jì)算更加快捷減少運(yùn)算中的諸多不便，可用適當(dāng)?shù)拇鷵Q，并注意觀察所求極限的類型如下例，例11：求解： =洛必達(dá)法則通常適用于以下類型：型：例12 求.解 原式.型：例13 求

5、 .解 ，故原式.型：例14 求.解 原式.型：例15 求.解 原式. 型：例16 求.解 原式，而，因此：原式=1.7. 用泰勒展式來求極限用此法必須熟記基本初等函數(shù)的展開式,它將原來函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化為求多項(xiàng)式或有理分式的極限問題。對于和或差中的項(xiàng)不能用其等價(jià)無窮小代替的情形, 有時(shí)可用項(xiàng)的泰勒展開式來代替該項(xiàng), 使運(yùn)算十分簡便。例17：解：因?yàn)樗?例18：解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以 從而于是注意：如果該題利用其他方法就不容易做了。8. 利用定積分求極限由于定積分是一個(gè)有特殊結(jié)構(gòu)和式的極限，這樣又可利用定積分的值求出某一和數(shù)的極限.若要利用定積分求極限，其關(guān)鍵在于將和數(shù)化成某一特殊結(jié)構(gòu)的和式。

6、凡每一項(xiàng)可提1/n,而余下的項(xiàng)可用通式寫成n項(xiàng)之和的形式的表達(dá)式,一般可用定積分的定義去求 。利用定積分可求如下二種形式的極限: 型定理8.1：設(shè)在0，1上可積，則有 例19：求極限 解：令，在0,1上可積。 型定理8.2：若在0,1上可積，則例20：求解： 令,則有： 例21：求解：把此極限式化為某個(gè)積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算計(jì)算定積分，為此作如下變形：不難看出，其中的和式是函數(shù)發(fā)在區(qū)間上的一個(gè)積分和。（這里所取的是等分分割， （）， 所以當(dāng)然，也可把J看作 在上的定積分，同樣有9. 利用無窮小的性質(zhì)求極限我們知道在某一過程中為無窮大量的倒數(shù)是無窮小量;有界函數(shù)與無窮小量的乘積, 仍是無窮

7、小量。利用這兩個(gè)定理可以求出某些函數(shù)的極限。 例22：解：當(dāng)時(shí)分母的極限為0，而分子的極限不為0，可先求出所給函數(shù)的倒數(shù)是無窮大量： = = 0利用無窮小量的倒數(shù)是無窮大量 故 = 例23：極限解： 因?yàn)?；當(dāng)時(shí)，為無窮小量，為有界量，故；所以原式=0。例24：求極限解：因?yàn)樗允怯薪绾瘮?shù)故在時(shí)是無窮小量。利用無窮小量與有界函數(shù)的乘積還是無窮小量。所以.10. 利用等價(jià)無窮小的代換求極限利用等價(jià)無窮小代換求函數(shù)的極限時(shí)，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時(shí)使用，若以和、差形式出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榻?jīng)此代換后，往往會改變無窮小之比的階數(shù)，故此慎用為好。常見等價(jià)無窮小量()等價(jià)無窮小有重要性質(zhì):設(shè)且存在，

8、則=,這個(gè)性質(zhì)表明,求兩個(gè)無窮小量之比的極限時(shí),分子,分母均可用等價(jià)無窮小量之比的極限時(shí),分子,分母均可用等價(jià)無窮小量代替,從而使計(jì)算大大簡化 。 例25：極限解：當(dāng)時(shí)，, 例26：求極限解： =錯(cuò)誤的解法是： (錯(cuò)在對加減中的某一項(xiàng)進(jìn)行了等價(jià)無窮小代換)11. 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限給出一數(shù)列 ,對應(yīng)一個(gè)級數(shù)若能判定此級數(shù)收斂, 則必有。由于判別級數(shù)收斂的方法較多, 因而用這種方法判定一些以零為極限的數(shù)列極限較多方便。例27：求極限解： 設(shè)級數(shù) 其中 由達(dá)朗貝爾判別法知級數(shù)收斂,再由級數(shù)收斂的必要條件可知： 例28：求極限解：設(shè)級數(shù)為項(xiàng)級數(shù)。由比值審斂法： = = =所以收斂，故 =0

9、 12 . 利用極限定義驗(yàn)證極限 用極限定義驗(yàn)證極限，是極限問題的一個(gè)難點(diǎn)。做這類題目的關(guān)鍵是對任意給定的正數(shù)，如何找出定義中所說的N或確實(shí)存在。這實(shí)際上是利用逆推的方法論證問題，可以培養(yǎng)逆向思維能力。例27 ：證：任給要找,使時(shí)，有即，顯然，當(dāng)較大時(shí)，如，有 = ,因此要使成立，當(dāng)n>=2時(shí)，只要即或。這樣一來，取,則當(dāng)n>N時(shí)，則有及 ,因此上述各式成立。證畢。13. 涉及單側(cè)極限與雙側(cè)極限的問題例28：求函數(shù)在處的左右極限，并說明在處是否有極限。解：， ，因?yàn)?，所以f(x)在x=-1處的極限不存在。利用該方法就極限時(shí)，只有當(dāng)左右極限存在且相等是才能說明極限是存在的注：本例是

10、的直接應(yīng)用。14. 利用微分中值定理和積分中值定理求極限例29：解：因?yàn)橛晌⒎种兄刀ɡ恚ń橛谂c之間）原式= =例30：求的極限 解： 由微分中值定理得， （介于與之間）原式=15. 利用柯西準(zhǔn)則來求數(shù)列極限?？挛鳒?zhǔn)則：要使有極限的充要條件使任給,存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，對于 任意的自然數(shù)m有例31：沒有極限。證明：對任意的n，取m=n,我們有 =因此，對于，對任意的N，當(dāng)n>N時(shí)，取m=n就有 即變量沒有極限。16.換元法求極限當(dāng)一個(gè)函數(shù)的解析式比較復(fù)雜或不便于觀察時(shí)，可采用換元的方法加以變形，使之簡化易求。例32 .解 令 ，則原式=例33:求 解：令 則16. 數(shù)列極限轉(zhuǎn)為函數(shù)極限求解例34 求.解 令,則原式，所以在時(shí)，與等價(jià)，因此，原式.在實(shí)際學(xué)習(xí)中很多題是多種方法綜合運(yùn)用求解的。所以求極限時(shí)，首先觀察數(shù)列或函數(shù)的形式選擇適當(dāng)方法，只有方法