直線平面簡單幾何體球ppt課件

1、第九章第九章 直線、平面、簡單幾何體直線、平面、簡單幾何體第 講考點考點搜索搜索球面、球體的概念，球的截面性質(zhì)球面、球體的概念，球的截面性質(zhì)地球的經(jīng)緯度，球面間隔地球的經(jīng)緯度，球面間隔 球的外表積和體積高考球的外表積和體積高考高考高考猜測猜測1. 考察有關(guān)球的外表積、體積和球面考察有關(guān)球的外表積、體積和球面間隔間隔 等的計算等的計算.2. 考察球的截面問題的分析與計算考察球的截面問題的分析與計算. 1. 與定點的間隔與定點的間隔 _的點的的點的集合集合,叫做球體叫做球體,簡稱球簡稱球,定點叫做球心定點叫做球心,定長叫做球定長叫做球的半徑的半徑,與定點間隔與定點間隔 _的點的集合叫做的點的集合叫

2、做球面球面. 2. 用一個平面截一個球用一個平面截一個球,所得的截面是所得的截面是_,且球心與截面圓心的連線且球心與截面圓心的連線_截面截面. 3. 設(shè)球心到截面的間隔設(shè)球心到截面的間隔 為為d,球半徑為球半徑為R,截截面圓半徑為面圓半徑為r,那么三者的關(guān)系是那么三者的關(guān)系是_. 等于或小于定長等于或小于定長等于定長等于定長一個圓一個圓垂直于垂直于R2=r2+d24. 球面被球面被_的平面截得的圓叫的平面截得的圓叫做大圓，被做大圓，被_的平面截得的圓叫的平面截得的圓叫做小圓做小圓.5. 經(jīng)過球面上兩點的大圓在這兩點間的經(jīng)過球面上兩點的大圓在這兩點間的_的長度的長度,叫做這兩個點的球面間隔叫做這

3、兩個點的球面間隔 .6. 過球面上一點從北極到南極的半個大過球面上一點從北極到南極的半個大圓圓,與子午面所成的與子午面所成的_的度數(shù)就是這個的度數(shù)就是這個點的經(jīng)度點的經(jīng)度;過球面上一點的球半徑與過球面上一點的球半徑與_所所成的角的度數(shù)就是這個點的緯度成的角的度數(shù)就是這個點的緯度. 7. 半徑為半徑為R的球的體積是的球的體積是V=_，外表，外表積是積是S= _.經(jīng)過球心經(jīng)過球心不經(jīng)過球心不經(jīng)過球心一段劣弧一段劣弧二面角二面角赤道面赤道面34 3R24R1.長方體的一個頂點上三條棱長為長方體的一個頂點上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點都在一個球面上，這個球的外且它的八個頂點都在一個球面上，這個

4、球的外表積是表積是 A. B. C. D. 解：設(shè)球的半徑為解：設(shè)球的半徑為R，那么那么2R2=32+42+52=50，所以，所以R= .所以所以S球球=4R2=50.20 2C25 2502005 222.過球面上過球面上A、B、C三點的截面和球心的間三點的截面和球心的間隔隔 等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，那么，那么球面面積是球面面積是 A. B. C. D. 解：由于解：由于AB=BC=CA=2，所以所以ABC的外接圓半徑為的外接圓半徑為r= .設(shè)球的設(shè)球的半半徑為徑為R，那么，那么 所以所以 ，所以所以 1694D2 33836492214()23RR21

5、69R 2448SR球球3.球面上有球面上有3個點，其中恣意兩點的球面間個點，其中恣意兩點的球面間隔隔 都等于大圓周長的都等于大圓周長的16，經(jīng)過這，經(jīng)過這3個點的小圓個點的小圓的周長為的周長為4，那么這個球的半徑為，那么這個球的半徑為 A. B. C. 2 D. 解法解法1：設(shè)球面上的：設(shè)球面上的3個點分別為個點分別為A，B，C，球心為球心為O.過過O作作OO平面平面ABC，O是垂足，是垂足，那么那么O是是ABC的中心，那么的中心，那么OA=r=2.又由于又由于AOC= ，OA=OC知知OA = AC OA,所以所以O(shè)AOA2OA. 由于由于OA=R，所以，所以2R4.因此，因此，排除排除A

6、、C、D，應(yīng)選，應(yīng)選B. 解法解法2：設(shè)球面上的：設(shè)球面上的3個點分別為個點分別為A，B，C，球心為球心為O. 在正三角形在正三角形ABC中，中，ABC的外接圓半徑的外接圓半徑r=2.運用正弦定理，得運用正弦定理，得AB=2rsin60= . 由于由于AOB= ，所以側(cè)面，所以側(cè)面AOB是是正三角形，得球半徑正三角形，得球半徑R=OA=AB= .2 332 3解法解法3：設(shè)球面上的：設(shè)球面上的3個點分別為個點分別為A，B，C，球心為球心為O. 由于正三角形由于正三角形ABC的外接圓半徑的外接圓半徑r=2，故高，故高AD= r=3，D是是BC的中點的中點.在在OBC中，中，BO=CO=R，BOC

7、= ，所以所以BC=BO=R，BD= BC= R.在在RtABD中，中，AB=BC=R，所以由所以由AB2=BD2+AD2，得得 ，解得，解得R= .332121222194RR2 31. 球面上有三點球面上有三點A、B、C，其中恣意兩，其中恣意兩點間的球面間隔點間的球面間隔 都等于大圓周長的都等于大圓周長的 ，經(jīng)過這三個點的小圓經(jīng)過這三個點的小圓的周長為的周長為4，求這個球的外表積求這個球的外表積.解：設(shè)解：設(shè)O為球心，球半徑為球心，球半徑為為R，經(jīng)過，經(jīng)過A、B、C三點的小圓半徑為三點的小圓半徑為r.61題型題型1 球的外表積的計算球的外表積的計算由，由，2r=4，所以，所以r=2.又由于

8、又由于A、B、C中恣意兩點的球面間中恣意兩點的球面間隔隔 都是大圓周長的都是大圓周長的 ，即，即 ，所以所以AOB=AOC=BOC= .又又OA=OB=OC=R，所以，所以AB=BC=AC=R.在在ABC中，由正弦定理，中，由正弦定理，得得AB=2rsin60= ，所以所以R= ，所以，所以S球球=4R2=48.3162 33R2 3點評：求球的外表積的關(guān)鍵是求球點評：求球的外表積的關(guān)鍵是求球的半徑的半徑.求半徑時，普通是根據(jù)截面圓的求半徑時，普通是根據(jù)截面圓的圓心與球的圓心的連線段、截面圓的弦圓心與球的圓心的連線段、截面圓的弦長、球的半徑三者之間的關(guān)系，經(jīng)過解長、球的半徑三者之間的關(guān)系，經(jīng)過

9、解三角形來求得三角形來求得. 如圖，如圖，A、B、C是外表積為是外表積為48的球面上三點，的球面上三點，AB=2，BC=4，ABC =60，O為為球心球心.求直線求直線OA與截面與截面ABC所成的角的大小所成的角的大小.解：連結(jié)解：連結(jié)AC，設(shè)，設(shè)O在在截面截面ABC上的射影是上的射影是O，那么那么O為截面三角為截面三角形形ABC外接圓的圓心，外接圓的圓心，連結(jié)連結(jié)AO，那么，那么OAO為直線為直線OA與截面與截面ABC所成的角所成的角.設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，小圓的半，小圓的半徑為徑為r.由于球的外表積為由于球的外表積為48，所以，所以R= .在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，

10、得AC2 = AB2 + BC2-2ABBCcosABC=4+16-16cos60=12由正弦定理，得由正弦定理，得 ，即即 ，所以，所以r=2.所以所以 .故所求角的大小為故所求角的大小為arccos .2 32sinACrABC02 32sin60r23cos32 3O ArOAOOAR332. 設(shè)設(shè)A、B、C為球面上三點，為球面上三點，AC=BC =6，AB=4，球心，球心O到平面到平面ABC的間隔的間隔 等于球半徑的等于球半徑的一半，求這個球的體積一半，求這個球的體積.解：過球心解：過球心O作作OO1平面平面ABC，那么點，那么點O1為過為過點點A、B、C的截面圓的圓的截面圓的圓心，即

11、心，即O1是是ABC的外心的外心.連結(jié)連結(jié)CO1，延伸交，延伸交AB于于M點點.題型題型2 球的體積的計算球的體積的計算由于由于AC=BC，所以，所以M是是AB的中點，的中點，且且CMAB.設(shè)設(shè)O1M=x.由于由于O1A=O1C，而而 ，O1C=CM-O1M=所以所以 ，解得，解得x= .所以所以O(shè)1A= 設(shè)球設(shè)球O的半徑為的半徑為R.由由OO1=R2，OA=R.在在RtAO1O中，由于中，由于AO2=OO21+AO21，所以所以 解得解得R= .222114O AAMO Mx22221624 2BC - BM-O Mxx244 2x- x7 2429 244x2229 2()()24RR 3

12、 62所以所以 點評：球的體積是關(guān)于半徑的函點評：球的體積是關(guān)于半徑的函數(shù)，故求體積必需先求半徑數(shù)，故求體積必需先求半徑.涉及到涉及到截面問題時，普通是化球為圓，再截面問題時，普通是化球為圓，再解直角三角形可求得半徑解直角三角形可求得半徑.3427 63VR球球 球面上有三點球面上有三點A、B、C，A和和B及及A和和C之間的球面間隔之間的球面間隔 是大圓周長的是大圓周長的 ，B和和C之間的球面間隔之間的球面間隔 是大圓周長的是大圓周長的 ，且球心到，且球心到截面截面ABC的間隔的間隔 是是 ，求球的體積，求球的體積.解：設(shè)球心為解：設(shè)球心為O，由，由，易得易得AOB = AOC= ，BOC=

13、.過過O作作ODBC于于D，連結(jié)，連結(jié)AD，再過再過O作作OE AD于于E，那么那么OE平面平面ABC于于E，所以，所以O(shè)E= .141621723217由于由于OAOB，OAOC，所以所以O(shè)A平面平面BOC，所以，所以O(shè)AOD.設(shè)設(shè)OA=R,那么那么AB=AC=2R,BC=R，AD= R, OD= R.在在RtAOD中，由中，由ADOE=OAOD,得得OA=R=1.所以所以 .723234433VR球球3. 在地球北緯在地球北緯30圈上有圈上有A、B兩點，兩點，點點A在西經(jīng)在西經(jīng)10，點，點B在東經(jīng)在東經(jīng)110，設(shè)地球，設(shè)地球半徑為半徑為R，求，求A、B兩點的球面間隔兩點的球面間隔 .解：如

14、圖，設(shè)解：如圖，設(shè)O為球心，為球心，C為北緯為北緯30圈所在小圓的圓心圈所在小圓的圓心.由，由，ACB=120，AOC=BOC=60，OA=OB=R，OC平面平面ABC，所以所以AC=BC=Rsin60= .題型題型3 球面間隔球面間隔 的分析與計算的分析與計算32R在在ACB中，中，所以所以AB= R.在在AOB中，中，所以所以AOB=arccos .故故A、B兩點的球面間隔兩點的球面間隔 是是Rarccos .322221cos28AOBO - ABAOBAOBO 222029-2cos1204ABACBCACBCR1818點評：普通地，求球面上兩點點評：普通地，求球面上兩點A、B間間的球

15、面間隔的球面間隔 的詳細(xì)步驟是：的詳細(xì)步驟是：計算線段計算線段AB公共弦的長；公共弦的長；計算計算A、B到球心到球心O的張角；的張角；計算球的大圓上計算球的大圓上A、B間的劣弧長間的劣弧長. 正三棱錐正三棱錐P-ABC內(nèi)接于半徑為內(nèi)接于半徑為R的球，其底面三頂點在同一個大圓上的球，其底面三頂點在同一個大圓上.某質(zhì)點某質(zhì)點從點從點P動身沿球面運動，經(jīng)過動身沿球面運動，經(jīng)過A、B、C三點后三點后前往前往P點，求所經(jīng)路程的最小值點，求所經(jīng)路程的最小值. 解：設(shè)球心為解：設(shè)球心為O，據(jù)題意，據(jù)題意，O為正三角形為正三角形ABC的中心，的中心，且且PO平面平面ABC，所以，所以POA=POC= ，AOB

16、=BOC= .由于球面上恣意兩點的球面間隔由于球面上恣意兩點的球面間隔 是經(jīng)過這兩是經(jīng)過這兩點的最短路程，其中點的最短路程，其中P與與A、P與與C的球面間隔的球面間隔 是是 ，A與與B、B與與C的球面間隔的球面間隔 是是 ，所以所求路程的最小值是所以所求路程的最小值是2323R22R2722233RRR. 1. 正三棱錐正三棱錐P-ABC的外接球半徑為的外接球半徑為R，兩側(cè)棱的夾角為兩側(cè)棱的夾角為，求這個正三棱錐的側(cè)棱，求這個正三棱錐的側(cè)棱長長. 解：如圖，過點解：如圖，過點P作作PD平面平面ABC，垂足為，垂足為D，那么，那么D為為ABC的中心的中心.延伸延伸PD交球面于交球面于E，那么，那

17、么PE為球的直為球的直徑徑.連結(jié)連結(jié)AD、AE，那么，那么PAAE，ADPE.設(shè)設(shè)PAD=，那么，那么AED=.設(shè)正三棱錐設(shè)正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為的側(cè)棱長為a，由，由， 從而從而 又又AD=PAcos=acos，所以，所以所以所以在在RtPAE中，中，PA=PEsin= .故這個正三棱錐的側(cè)棱長為故這個正三棱錐的側(cè)棱長為 .2 sin2aABa232 3sin3232aADABa2 3cossin32a 2224sin1 cos1sin32a-2421sin32aR-2421sin32aR-2. 如圖，如圖，AC是四面體是四面體ABCD的外接的外接球直徑，球直徑，BC是經(jīng)過是經(jīng)過B、C、

18、D三點的截三點的截面圓直徑，球心面圓直徑，球心O到截面到截面BCD的間隔的間隔 等等于球半徑的于球半徑的 . 1假設(shè)假設(shè)CBD=60，求異面直線求異面直線AC和和BD的夾角的夾角; 2假設(shè)假設(shè)BD DC= 2，求二面角求二面角B-AC-D的大小的大小.123解：解：1過點過點C作作CEDB交球面于交球面于E，連連結(jié)結(jié)AE，那么，那么ACE為所求的角為所求的角.由于由于CBD=60，所以所以BCE=60. 取取BC的中點的中點O，那么那么O為截面圓圓心為截面圓圓心.設(shè)球設(shè)球O的半徑為的半徑為R，由，由OO= .在在RtCOO中中所以所以BC= R.由于由于BECE，所以所以CE=BCcos60=

19、 .2R2232COCO -OOR.332R由于由于AC是球的直徑，所以是球的直徑，所以AEEC.在在RtAEC中，中， .故異面直線故異面直線AC和和BD的夾角為的夾角為arccos . 2過點過點D作作DFBC，垂足為，垂足為F. 由于由于OODF，所以，所以DF平面平面ABC.過點過點F作作FHAC，垂足為，垂足為H，連結(jié)，連結(jié)DH. 根據(jù)三垂線定理，有根據(jù)三垂線定理，有DHAC.所以所以DHF為二面角為二面角B-AC-D的平面角的平面角.3cos4CEACEAC34由于由于BD DC= 2，BC= R，BD2+DC2=BC2，所以，所以那么那么DC= R，所以，所以BD= DC= R.由于由于DFBC=BDCD,所以所以由于由于ADCD，DHAC，所以所以DHAC=ADCD.332223()( 3 )2DCDCR127323731 267773RRD FRR而而所以所以在在RtDFH中中,sinDHF= ，所以所以DHF=60.故二面角故二面角B-AC-D的大小為的大小為60.2222124477ADAC -CDR -RR412437727RRDHRR32DFDH3. 一個球與底面邊長為一個球與底面邊長為a的正四棱錐的底面的正四棱錐的底面和側(cè)面都相切和側(cè)面都相切.假設(shè)平行于棱錐假設(shè)平行于棱錐 底面且與球相切的平面截棱錐，底面且與球相切的平面截棱錐，