第二章第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例

1、1函數(shù)函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)解析：解析：函數(shù)函數(shù)f(x)(x3)ex的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為f(x)(x3)ex1ex(x3)ex(x2)ex，由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得：當(dāng)?shù)年P(guān)系得：當(dāng)f(x)0時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，此時由不單調(diào)遞增，此時由不等式等式f(x)(x2)ex0解得：解得：x2.答案：答案：D2函數(shù)函數(shù)f(x)x3ax2在區(qū)間在區(qū)間(1，)上是增函數(shù)，則實上是增函數(shù)，則實數(shù)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是 ()A3，) B3，)C(3，) D(，3)解析：解析：f(x

2、)3x2a，3a0, 即即a3.答案：答案：B3已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間在區(qū)間3,3上的最大值與上的最大值與最小值分別為最小值分別為M，m，則，則Mm_.解析：解析：由題意得由題意得f(x)3x212，令，令f(x)0得得x2，且且f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所，所以以M24，m8，Mm32.答案：答案：325函數(shù)函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小既有極大值又有極小值，則值，則a的取值范圍是的取值范圍是_解析：解析：f(x)x33ax23(a2)x1f(x)3x26ax3(a2)f(x)既有極大值又有極小值既有極大值又有極小值f(

3、x)0有兩個不相等的實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根36a236(a2)0，即，即a2a20a2或或a2或或a0，x2(a2)xa0對對xR都成立都成立令令g(x)x2(a2)xa，圖象開口向上，圖象開口向上，不可能對不可能對xR都成立都成立若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在R上單調(diào)遞增，則上單調(diào)遞增，則f(x)0，對，對xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0對對xR都成立，都成立，ex0，x2(a2)xa0對對xR都成立都成立(a2)24aa240故函數(shù)故函數(shù)f(x)不可能在不可能在R上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增綜上可知，函數(shù)綜上可知，函數(shù)f(x)不可能是不可能是R上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù) (2010重慶高

4、考重慶高考)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)ax3x2bx(其中常數(shù)其中常數(shù)a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)(1)求求f(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)討論討論g(x)的單調(diào)性，并求的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上的最大值上的最大值與最小值與最小值考點二考點二函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值保持例題條件不變，求保持例題條件不變，求g(x)的極大值和的極大值和極小值極小值.考點三考點三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題考點四考點四導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用試問：試問：p控制在什么范圍內(nèi)，該企業(yè)開始進(jìn)行污染治理的控制在什么范圍內(nèi)，該企業(yè)開始進(jìn)行污染

5、治理的第一個季度，在最大生產(chǎn)能力的范圍內(nèi)始終不會出現(xiàn)虧損？第一個季度，在最大生產(chǎn)能力的范圍內(nèi)始終不會出現(xiàn)虧損？(1)寫出年利潤寫出年利潤y(萬元萬元)關(guān)于年產(chǎn)量關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件萬件)的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，服裝廠在這一品牌的生產(chǎn)中年產(chǎn)量為多少萬件時，服裝廠在這一品牌的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？所獲年利潤最大？(注：年利潤年銷售收入年總成本注：年利潤年銷售收入年總成本) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題是高考利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問題是高考的必考內(nèi)容，既有小題也有解答題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的的必考內(nèi)容，既有小題也有解答題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題

6、是高考的一種重要考向，多以解答題考查綜合問題是高考的一種重要考向，多以解答題考查1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)f(x)在在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟：內(nèi)的單調(diào)性的步驟：求求f(x)確認(rèn)確認(rèn)f(x)在在(a，b)內(nèi)的符號內(nèi)的符號作出結(jié)論：作出結(jié)論：f(x)0時為增函數(shù)；時為增函數(shù)；f(x)0時為減函數(shù)時為減函數(shù)(2)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件 f(x)0(或或f(x)0)，x(a，b)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成，轉(zhuǎn)化為不等式恒成 立求解立求解2可導(dǎo)函數(shù)的極值可導(dǎo)函數(shù)的極值(1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)

7、數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為的點，但導(dǎo)數(shù)為0的的點不一定是極值點，即點不一定是極值點，即f(x0)0是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在在xx0處取得極值的必要不充分條件例如函數(shù)處取得極值的必要不充分條件例如函數(shù)yx3在在x0處有處有y|x00，但，但x0不是極值點此外，函數(shù)不可不是極值點此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點(2)極值是一個局部概念，極值的大小關(guān)系是不確定的，極值是一個局部概念，極值的大小關(guān)系是不確定的，即極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大即極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小值小(3)由定義可知，若函數(shù)由定義可

8、知，若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么內(nèi)有極值，那么f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值的函數(shù)沒有極值3函數(shù)的最值函數(shù)的最值函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出來出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值的，函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必

9、有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點取得必定是極值最值只要不在端點取得必定是極值4利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式學(xué)模型，寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)的區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值和極值，確定最值；比較函數(shù)的區(qū)間端點對應(yīng)的函數(shù)值和極值，確定最值；(4)回到實際問題，作出解答回到實際問題，作出解答1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如右圖，則的圖象如右圖，則 導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象可能為選項中的的圖象可能為選項中的 ()解析：解析：由函數(shù)由函數(shù)f(x)的圖象可知，在的圖象可知，在y軸的左側(cè)函數(shù)軸的左側(cè)函數(shù)f(x)是單調(diào)是單調(diào)遞增的，所以導(dǎo)函數(shù)遞增的，所以導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象在的圖象在y軸的左側(cè)應(yīng)該恒為正