高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)與習(xí)題精選以及學(xué)習(xí)方法

1、試題精選1.若集合 Ax | 2x1|3 , Bx 2x10,則 AB 是3xA. x 1 x1 或2 x 3B.x 2 x 3C.x1x 1 x1x 2 D.2222. 設(shè) a,bR ，集合 1,ab, a0, b , b ，則 b a（）aA 1B 1C 2D 24.定義集合運(yùn)算 : ABz z xy , xA, yB.設(shè)A1,2, B0,2,則集合 AB 的所有元素之和為（）A 0B 2C 3D 65.集合 A=( x, y) | 4xy6, B( x, y) | 3x27 ，則滿足 C( AB) 的集合 C 的個數(shù)是（）A0 B 1 C 2D36. 若集合 M a,b,c 中元素是 A

2、BC的三邊長，則 ABC一定不是（）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形7. 定義集合 A*B x|xA, 且 x B, 若 A 1，3，5，7， B 2，3，5，則 A*B 的子集個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.48. 設(shè)集合 M1,2 ，則滿足條件 MN1,2,3,4 的集合 N 的個數(shù)是（）A1 B 3 C4D 810.設(shè)集合 A1,2 ，則滿足 A B1,2,3 的集合 B 的個數(shù)是（）。A 1B 3C4D 814.已知集合 P （ x， y） |y m，Q （ x， y） |y ax1 ， a 0， a 1 ，如果 P Q 有且只有一個元素，那么實數(shù) m的取值范圍是.15

3、.設(shè)含有集合A=1,2,4,8,16 中三個元素的集合 A的所有子集記為B1 ,B 2,B 3, ,B n( 其中 n N* ),又將B (k=1,2, ,n) 的元素之和記為a , 則 a1 a2an =kk16.滿足0,1,2A 0,1,2,3,4,5的集合 A 的個數(shù)是個。17. 對任意兩個集合 M、 N，定義：MNx xM且 xN，M NMNNM，My yx2 , xR，Ny3y3，則 MN.18 已知集合，若，則a 的取值范圍是A.B.C.D.19. 設(shè) f ( x) 是定義在R 上的奇函數(shù)，當(dāng) x時， f (x)x x ，則 f ( )（ A）(B)（）（）5）若點 (a,b) 在

4、 ylg x圖像上， a, 則下列點也在此圖像上的是（ A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1)(D)(a2,2b)aa（ 13）函數(shù) y1的定義域是.6xx213. 已知函數(shù) f ( x)2 ,x2k 有兩個不同的實根，則實數(shù)k 的取值范圍x，若關(guān)于 x 的方程 f (x)( x1)3, x2是 _.（ 8）已知點 A 0,2,B2,0, 若點 C 在函數(shù) y x2 的圖象上，則使得ABC 的面積為2 的點C的個數(shù)為AA. 4B. 3C. 2D. 16若關(guān)于 x 的方程 x2 mx 10 有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是A（ 1，1） B（ 2， 2） C（，

5、2）（ 2，） D（，1）（ 1，）Cxx 02 ，8已知函數(shù) f ( x) x 1， x 0 ，若 f ( a) f (1) 0，則實數(shù) a 的值等于A3 B 1 C 1 D 34 函數(shù)1lg( x1)的定義域是（）Cf ( x)1xA (,1) B (1,)C (1,1)(1,)D (,)高中數(shù)學(xué)知識點總結(jié)1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。如：集合 Ax|ylg x ，By|ylg x ， C(x ,y)|ylg x ，A 、 B、C中元素各表示什么？2. 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況。注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合

6、問題。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合 Ax|x22x30 ， Bx|ax1若BA，則實數(shù) a的值構(gòu)成的集合為1（答：1，0，）33. 注意下列性質(zhì)：（ 1）集合 a1 ， a2， an 的所有子集的個數(shù)是 2n ；（2）若ABABA，ABB；（ 3）德摩根定律：CU ABCUACUB ，CU ABCUACUB4. 你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）ax5如：已知關(guān)于 x的不等式 x 2a0的解集為 M ，若 3M 且 5M ，求實數(shù) a的取值范圍。（ 3·350M ， a32a， 5，）a 19 25 5·5503M ， a52a5. 可以

7、判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”( ) ，“且” ( ) 和“非” ( ).若pq為真，當(dāng)且僅當(dāng) p、q均為真若pq為真，當(dāng)且僅當(dāng) p、q至少有一個為真若p為真，當(dāng)且僅當(dāng) p為假6. 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。7. 對映射的概念了解嗎？映射 f ：A B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一，多對一，允許B 中有元素?zé)o原象。）8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？（定義域、對應(yīng)法則、值域）9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型

8、？例：函數(shù) yx 4x2 的定義域是lg x 3（答：0，22， 33，4 ）10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？如：函數(shù) f (x) 的定義域是a， b ， ba0，則函數(shù) F(x )f ( x)f (x)的定義域是 _ 。（答：a，a ）11. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？如： fx1exx，求 f (x).令tx 1，則 t 0x t 21f ( t)t 21t21ef ( x)x21x21 x 0e12. 反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對應(yīng)函數(shù)）求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？（反解x；互換x、y；注明定義域）1xx0如：求函數(shù) f (x )2x的反函數(shù)x0（答：

9、 f 1x 1x1(x)x）x013. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx 對稱；保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；設(shè) yf(x) 的定義域為 A ，值域為 C， aA ，bC，則 f(a) = bf 1 (b)af 1 f (a)f 1 (b)a， f f 1( b)f (a)b14. 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？（yf (u)，u(x) ，則 yf( x)（外層）（內(nèi)層）當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時 f (x) 為增函數(shù)，否則 f(x) 為減函數(shù)。）如 ： 求ylog 1x 22x 的 單 調(diào) 區(qū) 間2（設(shè) ux22x，由 u0則

10、 0 x 2且 log 1 u， ux121，如圖：2uO12x當(dāng)x(0，1時， u，又 log 1u， y2當(dāng)x1， 2)時， u，又 log 1u， y2）15. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？在區(qū)間 a，b 內(nèi)，若總有 f '( x)0則f (x )為增函數(shù)。（在個別點上導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性），反之也對，若 f '( x )0呢？如：已知 a 0，函數(shù) f (x)x3ax在 1，上是單調(diào)增函數(shù)，則 a的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3（令 f '( x ) 3x 2a 3 xaxa033則xa 或xa33由已知 f (x)在 1，) 上為增函

11、數(shù)，則a1，即 a 33 a 的最大值為 3）16. 函數(shù) f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（ f(x) 定義域關(guān)于原點對稱）若f ( x)f ( x)總成立f (x)為奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱若f ( x)f (x)總成立f (x ) 為偶函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于 y軸對稱注意如下結(jié)論：（ 1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。（ 2）若 f(x) 是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)0。如：若 f (x)a· 2xa2 為奇函數(shù)，則實數(shù)a2 x1（ f ( x )為奇函數(shù)， xR，又 0 R， f (

12、0)0即 a· 2 200a2， a1）10又如： f (x )為定義在 ( 1， 1) 上的奇函數(shù)，當(dāng) x2 x，( 0， 1) 時， f (x)4 x1求f (x)在1，1 上的解析式。（令 x1， 0 ，則 x0， 1 ， f ( x)2 x4 x1又 f ( x) 為奇函數(shù)， f ( x)2 x2 x4x114 x2xx，0)( 1又f ( 0)4 x1x0）0， f (x)2xx，14 x1017. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？（若存在實數(shù) T（T0），在定義域內(nèi)總有 f xTf ( x) ，則 f (x ) 為周期函數(shù)， T 是一個周期。）如：若 f xaf (x )，則（答

13、： f (x) 是周期函數(shù)， T2a為f (x)的一個周期）又如：若 f (x ) 圖象有兩條對稱軸 xa，xb即f ( ax)f (ax )，f ( bx)f (bx)則f ( x) 是周期函數(shù)， 2 ab 為一個周期如：18. 你掌握常用的圖象變換了嗎？f (x) 與f ( x) 的圖象關(guān)于 y軸 對稱f (x )與f (x )的圖象關(guān)于 x軸 對稱f (x )與f ( x)的圖象關(guān)于 原點 對稱f (x) 與f1 ( x)的圖象關(guān)于 直線 yx 對稱f (x )與 f (2ax) 的圖象關(guān)于 直線 xa 對稱f (x )與f (2ax) 的圖象關(guān)于 點 (a， 0) 對稱將y f ( x

14、) 圖象左移 a( a 0)個單位yf (xa)右移 a( a 0)個單位yf (xa)上移 b(b0)個單位yf ( xa)b下移 b(b0)個單位yf ( xa)b注意如下“翻折”變換：f (x)f ( x)f (x)f (| x|)如： f ( x )log 2x1作出 y21 及y21 的圖象yy=log 2xO1x19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？(k<0)y(k>0)y=bO (a,b)Oxx=a（1）一次函數(shù)： ykxbk0（ 2）反比例函數(shù)： yk k0 推廣為 ybkk 0 是中心 O '( a， b)xxa的雙曲線。b24acb2（ 3）二次函

15、數(shù) yax2bxc a 0a x4a圖象為拋物線2a頂點坐標(biāo)為b ， 4acb 2，對稱軸 xb2a4a2a開口方向： a4acb 20，向上，函數(shù) y min4aa4acb20，向下， y max4a應(yīng)用：“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程ax2bx c 0，0時，兩根 x1 、x 2 為二次函數(shù) yax2bxc的圖象與 x軸的兩個交點，也是二次不等式 ax2bx c0 (0)解集的端點值。求閉區(qū)間m， n上的最值。求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。一元二次方程根的分布問題。0如：二次方程ax2bxc0的兩根都大于kbk2af ( k )0y(a>0)

16、Okx1x2x一根大于 k，一根小于 kf (k )0（ 4）指數(shù)函數(shù)： y a x a 0，a 1（5）對數(shù)函數(shù) ylog a x a0，a1由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定?。﹜y=ax(a>1)(0<a<1)y=log ax(a>1)1O1x(0<a<1)（ 6）“對勾函數(shù)” y xkk 0x利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？ykOkx20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯誤嗎？指數(shù)運(yùn)算： a01 (a 0)， ap1ap (a 0)mm1a nn a m (a 0) ，a n(a 0)n am對數(shù)運(yùn)算： log a M ·Nlo

17、g aMlog a N M0，N0l o gaMl o ga M l o ga N ， l o gan M1 l o ga MNn對數(shù)恒等式： alog a xx對數(shù)換底公式： log a blog c blog am bnnblog c alog am21. 如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）如：（ 1）xR，f (x)滿足 f (xy )f ( x ) f (y) ，證明 f ( x) 為奇函數(shù)。（先令 xy0f ( 0)0再令 yx，）（ 2） xR， f ( x)滿足 f ( xy )f (x)f ( y) ，證明 f ( x)是偶函數(shù)。（先令 xyt f (t)( t)f (

18、 t·t )f ( t )f ( t )f ( t)f (t ) f ( t ) f ( t) ）（ 3）證明單調(diào)性： f (x 2 )fx 2x1x222. 掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）如求下列函數(shù)的最值：（1）y2x3134x（ 2） y2x4x3（ 3） x3， y2x2x 3（ 4） yx49x 2 設(shè) x3cos ，0，（ 5） y4x9 ， x(0，1x23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為 ，半徑為R 的弧長公式和扇形面積公式嗎？（ l·R，S扇1 l 

19、3; R1·R2）22R1 弧度OR24. 熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義sinMP， cosOM ， tanATyTBSPOMAx如：若0，則sin， cos， tan的大小順序是8又如：求函數(shù)y12 cosx 的定義域和值域。2（ 12 cosx ）12 sin x022 sin x，如圖：25 2kx2kkZ ， 0y124425. 你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎？s i nx 1， c o sx1yyt g xxO22對稱點為 k ， 0， kZ2y s i nx的增區(qū)間為2k， 2kkZ22減區(qū)間為2k， 2k

20、3Zk22圖象的對稱點為 k， 0 ，對稱軸為 xkk Z2y c o sx的增區(qū)間為2k， 2kkZ減區(qū)間為2k， 2k2kZ圖象的對稱點為k， 0 ，對稱軸為 xkkZ2yt a nx的增區(qū)間為k， kkZ2226. 正弦型函數(shù) y = Asinx +的圖象和性質(zhì)要熟記?；?yA cosx2（1）振幅 |A |，周期 T|若fx0A ，則 xx0 為對稱軸。若fx00，則 x 0 ， 0為對稱點，反之也對。（ 2）五點作圖：令x依次為0， ， 3， 2，求出 x與 y，依點22（ x， y）作圖象。（ 3）根據(jù)圖象求解析式。（求 A 、 、 值）( x1 )0如圖列出( x 2 )2解條件

21、組求、 值正切型函數(shù)yA tanx， T|27. 在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍。如： cos x62 ， x， 3，求 x值。22（x3， 7x65， x5 ， x13 ）263641228. 在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運(yùn)用函數(shù)的有界性了嗎？如：函數(shù) ysinxsin|x|的值域是（x0時， y2 sin x2， 2 ，x0時， y0， y2， 2 ）29. 熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？（平移變換、伸縮變換）平移公式：，k)x'xh（1）點 P（ x， y）a ( hP' （x' ，y' ），則yk

22、平移至y'（ 2）曲線 f (x， y)0沿向量 a(h， k ) 平移后的方程為f ( xh， yk)0如：函數(shù)y2 sin 2x1 的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)sin x 的4圖象？（y2sin 2x1橫坐標(biāo)伸長到原來的2 倍y 2 sin 211x424左平移4個單位上平移 1個單位2 sin x1y 2 sin x1y2 sinx4縱坐標(biāo)縮短到原來的1倍2 y sin x）30. 熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？如： 1sin2cos2sec2tan2tan· cotcos·sectan4sincos0稱為1的代換。2“ k·”化為的三角

23、函數(shù)“奇變，偶不變，符號看象限”，2“奇”、“偶”指k 取奇、偶數(shù)。如： cos 9tan7sin 2146又如：函數(shù) ysintan，則 y的值為coscotA. 正值或負(fù)值B. 負(fù)值C. 非負(fù)值D. 正值sinsinsin2cos1cos（y），coscos2sin00cos1sin31. 熟練掌握兩角和、差、倍、 降冪公式 及其逆向應(yīng)用了嗎？理解公式之間的聯(lián)系：s i ns i n coscos sin令2 sin cossin 2c o sc o s c o s s i n s i n令c o s222c o ss i nt a nt a nt a n221t a n · t

24、 a n2 c o s1 1 2 s i n21c o s22 t a nc o s2t a n221c o s21 t a n2s i n2a s i nb cosa2b2 sin， tanbas i nc o s2 s i n4s i n3 cos2 sin3應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。（化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。）具體方法：（ 1）角的變換：如，222（ 2）名的變換：化弦或化切（ 3）次數(shù)的變換：升、降冪公式（ 4）形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。如：已知 sincos1， tan2 ，求 tan2的值。1cos23（由已知得

25、：sincoscos1， tan12 sin 22 sin2又 tan23t a nt a n211 ） t a n 2t a n3 21 t a n· t a n12·812332. 正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？余弦定理： a2b2c 22bc cosAcosAb2c2a22bc（應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）abca2R sin A正弦定理：b2R sin Bsin B2Rsin AsinCc2R sinCS 1 a· b s i nC2A BC， ABC s i nABABCs i nC， s i

26、n2cos2如 ABC 中， 2sin 2 A2Bcos2C1（1）求角 C；（ 2）若 a2b2 c2，求 cos2Acos2B的值。2（ 1）由已知式得： 1cos AB2 cos2 C 1 1又A BC， 2cos2 CcosC1 0 cosC1 或 cosC1（舍）2又 0 C， C31（ 2）由正弦定理及 a2b 2c2 得：2222232 s i n A 2s i n B s i n C s i n341 c o s2A1c o s2B34 cos2Acos2B3 ）433. 用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。反正弦： arcsin x2， x1，12反余弦： arccosx0，

27、x1，1反正切：arctan x， xR2234. 不等式的性質(zhì)有哪些？（1）ac0acbcb，0acbcc（ 2） ab， c d a c b d（ 3） ab0， cd0acbd（ 4） a b 01 1 ， a b 01 1abab（5）a b 0anbn ， n an b（ 6） |x| a a0a x a， |x| axa或x a如：若110，則下列結(jié)論不正確的是（）abA . a2b2B. abb 2C. |a| |b| |a b|D . ab2ba答案： C35. 利用均值不等式：222，；a b；a b求最值時，你是否注ab2ab a b R2 ab ab2意到“ a， bR

28、”且“等號成立”時的條件，積(ab 或和(ab 其中之一為定)值？（一正、二定、三相等）注意如下結(jié)論：a2b2a b2ab，2aba ba b R2當(dāng)且僅當(dāng) ab時等號成立。a2b2c2abbcca a， bR當(dāng)且僅當(dāng) abc時取等號。ab0，m0， n0，則bbmanaaam1nbb如：若 x0， 23x4的最大值為x（設(shè) y23x42212 24 3x當(dāng)且僅當(dāng) 3x423243），又 x0， x時， y maxx3又如： x2y1，則 2 x4y的最小值為（ 2 x22 y22 x2y221 ，最小值為 22）36. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）

29、并注意簡單放縮法的應(yīng)用。如：證明 111122232n2（111111112232n21223n 1 n111111123n1 n221）2n37. 解分式不等式f (x)aa 0 的一般步驟是什么？g(x)（移項通分，分子分母因式分解，x 的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。）38. 用“穿軸法”解高次不等式“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始23如： x 1 x 1 x 2039. 解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論如：對數(shù)或指數(shù)的底分 a1或 0a1討論40. 對含有兩個絕對值的不等式如何去解？（找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |x3| x111（解

30、集為x|x）241. 會用不等式 |a| |b| |ab| |a| |b|證明較簡單的不等問題如：設(shè)f (x)x 2x13，實數(shù) a滿足|xa|1求證：f (x )f (a)2(|a| 1)證明：|f (x)f ( a)|( x2x13)(a2a13)|( xa)( x|xa|xaa1|1)| ( |x|xaa|1|1)|x| |a| 1又|x| |a| |xa|1，|x|a| 1f ( x )f (a)2|a| 22 |a| 1（按不等號方向放縮）42. 不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？（可轉(zhuǎn)化為最值問題，或“”問題）如： af ( x )恒成立af (x )的最小值af (x) 恒成立af (x ) 的最大值af (x) 能成立af (x ) 的最小值例如：對于一切實數(shù) x，若 x3 x 2a恒成立，則 a的取值范圍是（設(shè) ux 3 x 2 ，它表示數(shù)軸