泰勒公式與極值問題2PPT課件

1、00( , )f xh yk0001(,)!inihkf xyixy1001( , ).(1)!nhkf xh yknxy , ,lmmmm lmmlffffxxyxxy 其中,0ppprrp rprp rrfhkfC h kxyxy 00( , )(,)f x yx y在P點的泰勒公式 ( , ) x y000001( , )(,)!inif xyxxyyf xyixy10000001() , () .(1)!nxxyyf xxxyyynxy第1頁/共57頁:證明分析00( )(,), 0,1tf xth ytkt設(shè)由一元函數(shù)的泰勒定理,有:( )(1)(0)(0)(0)( )(1)(0)1

2、!2!(1)!nnnn 01,其中,由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則()0( ),mmmrrm rmrm rrftChkxy 00(,),mhkf xth ytkxy1,2,1mn代入上式,即得.第2頁/共57頁說明：(1)如削弱定理3條件，00( , )f xh yk0001(,)!inihkf xyixy1001( , ).(1)!nhkf xh yknxy00( , )f xh yk0001(,)!inihkf xyixy22(), nohk其中定理 4 n 則有第3頁/共57頁0000( , )( , )f xh ykf xy0000(,)(,)xyhfxykfxy0022( , )122xxxy

3、yyxhykh fhkfk f(01)0000( , )( , )f xh ykf xy0000( , )( , )xyhfxh ykkfxh yk(01)微分中值定理 第4頁/共57頁例例 9 9求函數(shù)求函數(shù))1ln(),(yxyxf 的三階麥的三階麥克勞林公式克勞林公式. .解解,11),(),(yxyxfyxfyx ,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p第5頁/共57頁,)0 , 0()0 , 0()0 , 0

4、(yxyfxffyyxxyx ,)()0 , 0()0 , 0(2)0 , 0()0 , 0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx ,)(2)0 , 0()0 , 0(3)0 , 0(3)0 , 0()0 , 0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx 第6頁/共57頁又又0)0 , 0( f, ,故故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR第7頁/共57頁( , ),(1,4)1,yf x yxf 1( , ),(1,4)4,yxxfx yyxf ( , )

5、ln ,(1,4)0,yyyfx yxxf222( , )(1),(1,4)12,yxxfx yy yxf 11( , )ln ,(1,4)1,yyxyxyfx yxyxxf222( , )(ln ) ,(1,4)0.yyyfx yxxf第8頁/共57頁將它們代入泰勒公式 (15)，即有 2214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo 3. 9621.0814 0.086 0.080.08 0.041.3552 .與1 例7 的結(jié)果 (1. 32) 相比較，這是更接近于真 微分近似相當(dāng)于現(xiàn)在的一階泰勒公式第9頁/共57頁17.4.4 極值問題(以二元為例)的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二

6、元函數(shù)22yxexyz 播放播放第10頁/共57頁1. 極值的定義 小小極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. 第11頁/共57頁(1)(2)例例11112234(0,0)zxy函函數(shù)數(shù)在在處處有有極極小小值值例例121222( , )(0,0)g x yxy 函數(shù)在處有極大值(0,0)0,f事實上同理第12頁/共57頁(3)例例1313( , )(0,0)h x yxy函數(shù)在處無極值:事實上(0,0)0,h(0,0)(0,0),U且在的任何鄰域內(nèi)(1)., x yI III當(dāng)是第 ,象限的點時,( , )0,h x yxy(2)., x yII IV當(dāng)是第 ,象限的點時,

7、( , )0h x yxy(0,0),h點既不是 的極大值點.h也不是 的極小值點第13頁/共57頁2 2、多元函數(shù)取得極值的、多元函數(shù)取得極值的必要必要條件條件00( , )(,)x yU xy第14頁/共57頁綜上所述,有第15頁/共57頁但但不不是是極極值值點點. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的穩(wěn)定穩(wěn)定點點(駐點駐點).穩(wěn)定點極值點注意：偏導(dǎo)存在22 ,zxy又:函數(shù)如(0,0),在不可微,不是穩(wěn)定點(0,0).但是它的極值點問題問題：如何判定一個穩(wěn)定點是否為極值點？：如何判定一個穩(wěn)定點是否為極值點？第16頁/共57頁3. 極值的充分條件 代數(shù)準(zhǔn)備: 二元( 實

8、 )二次型. 22( , )2g x yaxbxycy其矩陣為: abbc第17頁/共57頁充分條件的討論 0000( , )(,)f xh ykf xy22001()()()2!hkf Phkf Pxyxy00()()xyfP hfP k2220001()2()()()2!xxxyyyfP hfP hkfP k第18頁/共57頁0000( , )(,)f xh ykf xy22212()2AhBhkCk于是由上述代數(shù)準(zhǔn)備, 有第19頁/共57頁綜上 , 有以下定理 .第20頁/共57頁第21頁/共57頁P.138例6:解:由方程組26010100 xyfxfy0(3, 1),fP得 的穩(wěn)定點

9、 20, 0,10,xxxyyyfff0 xxxyxyyyPffff200102000(3, 1)8.fPf 在 取得極小值,f又處處存在偏導(dǎo)數(shù)(3, 1).f 為 的唯一極值點第22頁/共57頁P.138例720: 0 xyfxyfx由方程組解(0,0),f得 的穩(wěn)定點為原點 2, 1, 0,xxxyyyfff(0,0)211010 xxxyxyyyffff (0,0).f不是 的極值點,f又處處存在偏導(dǎo)數(shù).f 沒有極值點第23頁/共57頁求函數(shù)求函數(shù)),(yxfz 極值的一般步驟：極值的一般步驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二

10、階偏導(dǎo)數(shù)的值 A、B、C.第24頁/共57頁P.138例8:分析32680(0,0)230 xyfxyxfyx 原點為方程組的根.(0,0),f為 的穩(wěn)定點2624,6 ,2,xxxyyyfyxfx f (0,0)00002xxxyxyyyffff6(0,0).f定理 無法判定,原點是否為 的極值點改用初等方法來判定!第25頁/共57頁:解oyx2yx22yx222xyx當(dāng)時,22( , )20;f x yyxyx22,2yxyx而當(dāng)或時,22( , )20;f x yyxyx(0,0)f 在原點不可能取得極值.(0,0)0,f第26頁/共57頁17.4.5 多元函數(shù)的最值求最值的一般方法求最

11、值的一般方法： 將函數(shù)在D D內(nèi)的所有穩(wěn)定點處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.第27頁/共57頁( 1 , 2 )1f 2(0, )24fyyy 第28頁/共57頁2( , 4)51816f xxxx max( , )Df x ymax(1,2) , (0,1) , (1.8, 2.2) , (0,0) , (0,4) , (4,0)ffffffmax 1 , 2 , 0.2 , 0 , 16 , 24 2min( , )Df x ymin1, 2, 0.2, 0

12、, 16, 2424 第29頁/共57頁ABC證明： 2tantantan222Sa2tantantan222a,0, 其中 ,0,0, 即,a第30頁/共57頁令2222221secsec0,2221secsec0;222SaSa解之，得(定義域內(nèi)的唯一解)： 22,33 2.322,33SSSS22224 32 32 34 3aaaa436a0,22,330,S 22 ,0,0,33S是 在定義域內(nèi)的極小點,第31頁/共57頁.S由問題的實際意義, 在定義域內(nèi)存在最小值 0,0,S而 在定義域內(nèi)處處存在偏導(dǎo)數(shù)22,33是唯一極小點,必是最小點.2,3ABC故時的面積最小.外切三角形中以正三

13、角形的面積為最小.第32頁/共57頁( ,)iix yyaxbiiaxby:解 yaxb設(shè)所求直線方程為( ,),iinx y所測得的 個點為(1,2, ).in, ,a b問題即確定使得:221( , ), ( , )niiif a baxbya bR為最小.oxy第33頁/共57頁( ,)iix yyaxbiiaxbyoxy令1120,20;naiiiinbiiifxaxbyfaxby211111, ;nnniiiiiiinniiiiaxbxx yaxbny即,:解之 得a1112211,nnniiiiiiinniiiinx yxynxxb211112211nnnniiiiiiiiinni

14、iiixyx yxnxx第34頁/共57頁, aaababbba bffff21112222nniiiiniixxxn221144nniiiinxx0,0,aaa bf ,a bf是 在的極小點,.a bf由問題的實際意義,是 的最小值點第35頁/共57頁最值的求法：(1).有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù)， 一定存在最值求“可疑點” 的 函數(shù)值穩(wěn)定點 不可導(dǎo)點 求邊界上的最值 比較大小求最值 (2).有時可由問題的實際意義判定 第36頁/共57頁練習(xí)題解答 第37頁/共57頁5.判斷正確與錯誤，對的證明，錯的舉出反例： 第38頁/共57頁練習(xí)題解答 00解： 所以，存在最大值與最小值。 第39頁/共

15、57頁解： 22( 6 )( 6 )(3 )94xxxyxyyyzzxyaxyazz 第40頁/共57頁解： 唯一穩(wěn)定點 00022, , ,333xxxyyyCPCPPC 0,33C CP其中第41頁/共57頁5.判斷正確與錯誤，對的證明，錯的舉出反例： （） （） （） 第42頁/共57頁, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點得駐點)21,21(和和)21,21( ,解解由第43頁/共57頁即邊界上的值為零即邊界上的值為零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小

16、值為21 .因為因為01lim22 yxyxyx第44頁/共57頁解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖,第45頁/共57頁解方程組解方程組222( , )2(4)0( , )(4)0 xyfx yxyxyx yfx yxxyx y且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在邊界在邊界0 x和和0 y上上0),( yxf,第46頁/共57頁在邊界在邊界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比較后可知比較后可知4)1 , 2( f為

17、最大值為最大值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD第47頁/共57頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 17.4.4 極值問題極值問題(以二元為例以二元為例)第48頁/共57頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 17.4.4 極值問題極值問題(以二元為例以二元為例)第49頁/共57頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 17.4.4 極值問題極值問題(以二元為例以二元為例)第50頁/共57頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 17.4.4 極值問題極值問題(以二元為例以二元為例)第51頁/共57頁的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22yxexyz 17.4.4 極值問題極值問題(以二元為例以二元為例)第52頁/共57頁的圖形的圖形觀察二