高中數(shù)學(xué)第一章解三角形知識總結(jié)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高一數(shù)學(xué)必修 5 解三角形一、知識點總結(jié)1正弦定理 :abc2R 或變形： a : b : c sin A :sin B :sin C .sin Asin B sin Ccos Ab2c2a2a2b2c22bc cos A2bca2c2b22余弦定理：b2a2c22ac cos B 或cosB.c2b2a22ba cosC2ac2a2c2cosCb2ab3（ 1）兩類正弦定理解三角形的問題：1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問題：1、已知三邊求三角 .2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.4

2、判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.5解題中利用ABC中 ABC，以及由此推得的一些基本關(guān)系式進(jìn)行三角變換的運算，如：sin( A B) sin C , cos(AB)cosC, tan( AB)tan C ,sin ABcos C ,cos ABsin C , tan A Bcot C . 、222222已知條件定理應(yīng)用一般解法一邊和兩角正弦定理由 A+B+C=180 ，求角A ，由正弦定理求出b 與c，在有解時（如a、 B、 C）有一解。兩邊和夾角(如 a、 b、 c)余弦定理由余弦定理求第三邊c，由正弦定理求出小邊所對的角，再由 A+B+C=180

3、求出另一角，在有解時有一解。三邊余弦定理由余弦定理求出角A、 B，再利用A+ B+C=180 ，求出角C(如 a、 b、 c)在有解時只有一解。（二）、知識必備：1直角三角形中各元素間的關(guān)系：在 ABC中， C 90°， ABc， AC b，BC a。（ 1）三邊之間的關(guān)系： a2 b2c2。（勾股定理）（ 2）銳角之間的關(guān)系： A B90°；（ 3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sin A cos B a ， cos A sin B b ， tan A a 。ccb2斜三角形中各元素間的關(guān)系：在中，、C為其內(nèi)角，a、c分別表示、 、C的對邊。ABCABbA B學(xué)習(xí)必

4、備歡迎下載（ 1）三角形內(nèi)角和： A BC 。（ 2）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等abc2R （ R為外接圓半徑）sin Asin Bsin C（ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2b2c22bccos ；2c22 2 cos ；c2a2b2 2cos 。Aba ca Bab C3 三角形的面積公式：（ 1） S 1 aha 1 bhb 1 chc（ ha、hb、 hc 分別表示 a、 b、c 上的高）；222（ 2） S 1 absin C 1 bcsin A 1 acsin B；222（三）鞏固練習(xí)一 選

5、擇題：（本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1. 已知 ABC中， A30 ，C105， b8 ，則等于（）A4B4 2C43D4 52. ABC中， B 45，C 60， c1 ，則最短邊的邊長等于（）6613A3B2C2D23.長為 5、7、8 的三角形的最大角與最小角之和為( )A 90°B120°C 135°D 150°abc4.ABC中， cos Acos BcosC ，則 ABC一定是（）A 直角三角形B鈍角三角形 C等腰三角形D等邊三角形5.ABC中， B 60， b2ac ，則

6、ABC一定是（）A銳角三角形B鈍角三角形 C等腰三角形D等邊三角形6. ABC中， A=60°, a=6 , b=4,那么滿足條件的 ABC( )A有 一個解B有兩個解C無解D不能確定7.ABC中， b8 ， c 83，SABC163 ，則A 等于（）A 30B60C30 或 150D60 或 120a b c8. ABC中，若 A 60 ， a3 ，則 sin Asin Bsin C 等于（）學(xué)習(xí)必備歡迎下載13A 2B2C3D29. ABC中， A : B 1: 2， C 的平分線 CD 把三角形面積分成 3: 2 兩部分，則 cosA（）A 1B1C3D032410. 如果把直

7、角三角形的三邊都增加同樣的長度，則這個新的三角形的形狀為（）A 銳角三角形 B 直角三角形 C鈍角三角形 D由增加的長度決定11 在 200 米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°、 60°，則塔高為（）A.400 米B.400 3米C. 2003 米D. 200米3312 海上有 A、B 兩個小島相距 10 海里，從 A 島望 C 島和 B 島成 60°的視角，從 B 島望 C島和 A島成 75°的視角，則 B、 C間的距離是 ()A.10海里B.5 海里C.56海里D.53海里二、填空題：（本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分）

8、13.在 ABC中，如果 sin A :sin B :sin C 2:3:4 ，那么 cosC 等于。14.在 ABC中，已知 b 503 ， c150， B30 ，則邊長 a。15.在鈍角 ABC中，已知 a1 ， b2 ，則最大邊 c 的取值范圍是。16. 三角形的一邊長為 14，這條邊所對的角為 60 ，另兩邊之比為 8：5，則這個三角形的面積為。三、解答題：本大題共6 小題， 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。cos Ab417（本題 10 分）在 ABC中，已知邊 c=10,又知 cos Ba3 ，求邊 a、b 的長。18 （本題 12 分）在 ABC中，已知 2ab

9、c ， sin 2 A sin B sin C ，試判斷 ABC的形狀。學(xué)習(xí)必備歡迎下載19（本題 12 分）在銳角三角形中，邊a、b 是方程 x2 23 x+2=0 的兩根，角 A、B 滿足：2sin(A+B) 3 =0 ，求角 C的度數(shù)，邊 c 的長度及 ABC的面積。20（本題 12 分）在奧運會壘球比賽前，C 國教練布置戰(zhàn)術(shù)時，要求擊球手以與連結(jié)本壘及游擊手的直線成 15°的方向把球擊出， 根據(jù)經(jīng)驗及測速儀的顯示， 通常情況下球速為游擊手最大跑速的4 倍，問按這樣的布置，游擊手能不能接著球？（如圖所示）參考答案一、選擇題（ 5 10 ）學(xué)習(xí)必備歡迎下載123456789111

10、201BABDDCCACAC二、填空題（ 44 ）13 114、 1003或50 315、 5c 3 16 、 40 34三、解答題15、（本題 8 分）解：由 cos AbsinBbcos Asin B，變形為 sinAcosA=sinBcosB，sinAcos Baa , 可得cosBsin Asin2A=sin2B,又 a b, 2A=2B,A+B= . ABC為直角三角形 .2由 a2+b2=102 和 b 4 ，解得 a=6, b=8 。 a 316、（本題 8 分）解：由正弦定理abcsin Asin Bsin Cc 。sin C2R所以由 sin 2 Asin Bsin C 可得

11、： ( a2R2R 得： sin Aa ， sin Bb ，2R2R)2 b c ，即： a2bc 。2R 2R又已知 2a bc ，所以 4a2(b c)2，所以 4bc(b c) 2 ，即 (bc)20 ，因而 b c 。故由 2ab c 得： 2ab b 2b ， ab 。所以 ab c ， ABC為等邊三角形。17、（本題 9 分）3解：由 2sin(A+B) 3 =0 ，得 sin(A+B)=2, ABC為銳角三角形A+B=120°, C=60 °, 又 a、b 是方程 x2 23 x+2=0 的兩根， a+b=2 3 ,1133c= 6 , S ABC2ab sin C =2×2× 2=2。a·b=2, c2 =a2+b22a·bcosC=(a+b) 2 3ab=126=6,學(xué)習(xí)必備歡迎下載1133c= 6 ,S ABC2ab sin C =2×2×2=2。18、（本題 9 分）解： 設(shè)游擊手能接著球，接球點為B，而游擊手從點 A 跑出，本壘為 O