高中數(shù)學《必修⑤正余弦定理的應用》教學設計

1、課題：必修正、余弦定理的應用三維目標：1、知識與技能（1）通過解決各種關于三角形的基本問題，進一步理解正、余弦定理的內容和基本用法；（2）能夠運用正、余弦定理及相關的三角知識解決關于三角形的較為綜合的問題。2、過程與方法引導學生運用運用正、 余弦定理、面積公式及相關的三角知識， 通過合作探究、爭辯、交流，解決各類關于三角形的問題，不但進一步認清剛學的兩個定理的本質，還能復習鞏固前面所學習的三角知識和基本方法；（ 2）在體驗知識的運用過程和合作探究過程的同時， 不斷認識三角知識的工具性作用及所帶來的轉化思想及數(shù)形結合思想，鍛煉抽象思維能力和推理論證能力；（ 3）培養(yǎng)學生分析問題、 解決問題的能力

2、及鉆研精神， 培養(yǎng)學生的運算能力、嚴謹?shù)乃季S習慣以及解題的規(guī)范性。3、情態(tài)與價值觀（1）通過三角形函數(shù)、正余弦定理等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。（2）通過三角知識的進一步拓展和運用，體會數(shù)學知識抽象性、概括性和廣泛性，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣， 形成學數(shù)學、用數(shù)學的思維和意識，培養(yǎng)學好數(shù)學的信心，為遠大的志向而不懈奮斗。（3）通過對三角知識的進一步學習及探索，不斷培養(yǎng)自主學習、主動探索、善于反思、勤于總結的科學態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神， 并提高參與意識和合作精神；教學重點：運用正、余弦定理及相關的三角知識解決關于三角形各類基本的問題。教學難點：運用正、余弦定理及相關的三角知識

3、解決關于三角形的較為綜合性的問題。教具：多媒體、實物投影儀教學方法 ：合作探究、分層推進教學法教學過程：一、雙基回眸科學導入：同學們，前面，我們學習了正弦定理、余弦定理，通過初步運用，我們進一步感受到了三角知識的強大威力和無限魅力既然這兩個定理都學了，我們就可以綜合地運用這兩個定理來解決更多類型三角問題了。這就是我們今天要完成的任務。請同學們回顧一下正弦定理、余弦定理所帶來的三角公式：正弦定理： 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsin Asin Bsin C余弦定理： 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2b2c22bc

4、 cos Ab2a2c22ac cos Bc 2a2b22ab cosCcosAb2c2a 2cosBa2c2b2cosCb2a2c22bc2ac2ba二、 創(chuàng)設情境合作探究：【引領學生在下列的設計中探索出相應 的 結果】1直角三角形中各元素間的關系：在 ABC 中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關系： a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關系： AB90°；（3）邊角之間的關系：（銳角三角函數(shù)定義） a，cosAsinB b ，tanA a 。sinAcosBcbc2斜三角形中各元素間的關系：如圖 6-29，在 ABC 中， A、B、C 為其內角

5、， a、b、c 分別表示 A、B、C 的對邊。（1）角角關系： ABC；s i nA(B)s i nC ， cos(AB)cosC ， tan(A B)tanC ；sin ABcos C， cos ABsin C， 2222（ 2） 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。abcsin Asin B2R 。（R 為外接圓半徑）sin C解決以下兩類問題：已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）。若 給 出a，b, A那 么 解 的 個 數(shù) 為 ： 無 解 （ a b sin A ）； 一 解（ ab s

6、in A 或者 ab sin A ）；兩解（ b sin Aab ）；（ 3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 （邊角關系）a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。解決以下兩類問題：已知三邊，求三個角；（唯一解）已知兩邊和它們得夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）（4）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（邊邊關系）3三角形的面積公式：（ 1） 1 aha 1 bhb 1 chc（ha、hb、hc 分別表示 a、b、c 上的高）；222（ 2） 1 absinC 1 bcsinA 1 acs

7、inB；222三、互動達標鞏固所學：（一）正、余弦定理的基本應用1. 已知ABC 中，若 sin A : sin B : sin C5:12 :13 ，則 cos A2. 在 ABC 中, 已知 a55,b 16, S ABC220 3，則C3. 在 ABC中，角 A、B、C所對的邊分別是 a、b、c，且則cosB=4.已知 ABC 中， A,B, C 的對邊分別為 a,b,c 若 a c62 且 A75o ，則 bA.2B4 2 3C4 2 3D 62【分析】第 1 題直接運用正弦定理把角的關系轉化為邊的關系，然后再運用余弦定理求解即可；第 2 題用面積公式列出方程即可解決；第 3 題利用余

8、弦定理直接來解決即可；第 4 題若能看出是等腰三角形， 就可以直接運用余弦定理來求解了?！窘馕觥?1.12 21325212；cos A12131322.1 ab sin C2203s i nC3C 600或120 0；223cosB= 1 ；44三角形是等腰三角形，所以，B=30O所以， b 2a2c 22ac cos3004故b4 ?！军c評】第一個題首先是利用轉化思想，然后再用定理來解決；第二個題展現(xiàn)的是方程思想，但要注意，此題應有兩解， 有的可能只得出一解；第三個題所帶來的是整體思想， 其中的邊長和其他角是求不出來的；第四個題考查的是靈活性。(二)三角形中的邊、角關系的恒等式證明問題 .

9、1 三角形中證明 a cos Bb cos Ac【分析】可有兩種思路：一是把角的關系轉化為邊的關系；二是把邊的關系轉化為角的關系，所以就有了下面的兩種解法，思路清楚了，請同學們獨立解決吧：【解析】 方法一：（余弦定理）方法二：（正弦定理）【點評】三角形恒等式的證明有的是將邊、角關系轉化為三角函數(shù)關系；有的是轉化為邊的關系；有的是邊角同步轉化。（三）判斷三角形形狀問題 .1 三角形中根據(jù)下列條件判斷三角形形狀a2b cosC【分析】與上面的問題類似可有兩種思路：一是把角的關系轉化為邊的關系；二是把邊的關系轉化為角的關系，所以就有了下面的兩種解法，思路清楚了，請同學們獨立解決吧：【解析】 方法一：

10、（正弦定理）方法二：（余弦定理）【點評】此類問題關鍵在于對式子進行適當變形。有的變形為一邊是因式的積另一邊是零的形式如：sin A cos B0 ；有的兩邊都變?yōu)閱我坏慕腔蜻叺年P系如： sin A sin B ;有的轉化為特殊式子如sin A1sin A 1。問題 .2 已知關于 x 的方程 a(1 x 2 ) 2bx c(1x 2 )0沒有實數(shù)根，若 a,b,c是 ABC 的三邊，求證：三角形為鈍角三角形?！痉治觥?先把方程整理一下，然后再根據(jù)方程無實根列出等價的式子，便可得到結果：【解析】 方程可整理為： (ca) x22bxca0若 ca 0,由方程有實根可推出b0，這不可能， 所以 c

11、a根據(jù)一元二次方程沒有實根，得： a 2b2c20所以 cosC0所以，三角形為鈍角三角形?！军c評】 此題學生在解決時，易漏掉對c a 為不為 0 的分析或討論。（四）綜合問題問題 .1 在 ABC 中， BC5, AC 3, sin C2 sin A（1）求 AB 的值。（2）求 sin A 的值。（3）求 ABC 的面積【分析】 首先用正弦定理解決（ 1），然后再用余弦定理解決（ 2），最后用面積公式解決（ 3）【解析】 （1）由正弦定理得：5c，因為 sin C2 sin Asin Asin C解得：c2 5即 AB2 5（2）由余弦定理得： cos A32(25) 2( 5)225 所

12、以，sin A5232555（3）由面積公式易得：面積為3【點評】由上面的過程可看出， 此題一個關于三角形較為綜合的問題，所用的知識既基本又廣泛，當然，此題比較簡單。此類問題往往涉及角邊的大小，角的三角函數(shù)，面積，及角、邊、面積的最值問題。問題 .2 在 ABC 中， AB1,AC 2,求角 C 的取值范圍?！痉治觥?有兩種思路：之一是用正弦定理列出關系式來分析；二是用數(shù)形結合的思想來解決【解析】 sin Cc sin B1 sin Bb21所以，0sin C2故范圍為： (0,6而 c 不是最大邊，【點評】 此題要求較高，需要根據(jù)此處的知識和條件，進行細致的分析，找到問題的突破口，有一定的靈活性和綜合性。四、思悟小結：知識線：（ 1）正、余弦定理及其推論；（ 2）相關的三角公式和性質；思想方法線：（ 1）公式法；（ 2）方程思想與等價轉化思想；（ 3）分類討論思想方法；（ 4）數(shù)形結合思想方法。題目線：（1）正、余弦定理的基本應用；（2