高中物理競(jìng)賽教程：3.5《典型例題分析》

1、§ 3 5典型例題分析例 1、繃緊的肥皂薄膜有兩個(gè)平行的邊界，線 AB將薄膜分隔成兩部分 ( 如圖 3-5-1) 。為了演示液體的表面張力現(xiàn)象，刺破左邊的膜，線 AB受到表面張力作用被AdB 薄膜拉緊，試求此時(shí)線的張力。兩平行邊之間的距離為d，圖 3-5-1線 AB的長(zhǎng)度為 l ( l d/2 ) ，肥皂液的表面張力系數(shù)為。解：刺破左邊的膜以后，線會(huì)在右邊膜的作用下形狀相應(yīng)發(fā)生變化( 兩側(cè)都有膜時(shí)，線的形狀不確定 ) ，不難推測(cè)，在l d/2 的情況下，線會(huì)形成長(zhǎng)度為1d / 2)x(l2的兩條直線段和半徑為 d/2 的半圓，如圖 3-5-2 所示。線在 C、D兩處的拉力及各處都垂直

2、于該弧線的表面張力的共同作用下處于平衡狀態(tài)，顯然ATCBTD圖 3-5-22Tf i式中為在弧線上任取一小段所受的表面張力，f i 指各小段所受表面張力的合力，如圖 3-5-2所示，在弧線上取對(duì)稱的兩小段，長(zhǎng)度均為r ，與 x 軸的夾角均為方 ，顯然f1 f 2 2r而這兩個(gè)力的合力必定沿x 軸方向， ( 他們垂直 x 軸方向分力的合力為零 ) ，這樣f1xf 2 x2 rcos所以f i 2 r cos4 r 2 d用心愛(ài)心專心因此Td說(shuō)明對(duì)本題要注意薄膜有上下兩層表面層，都會(huì)受到表面張力的作用。例 2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈圓餅形狀 ( 側(cè)面

3、向外凸出 ) ，過(guò)圓盤軸線的豎直截面如圖 3-5-3 所示。為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按 180o計(jì)算，已知水銀密度13.610 3 kgm3 ，水銀的表面張力系數(shù)a0.49 N m 。當(dāng)圓餅的半徑很大時(shí)，試估算厚度 h 的數(shù)值大約是多少 ( 取一位有效數(shù)字 ) ？分析：取圓餅側(cè)面處寬度為 x，高為 h 的面f 1f 4元S，圖 3-5-3 所示。由于重力而產(chǎn)生的水銀對(duì)xS 側(cè)壓力 F，由 F 作用使圓餅外凸。但是在水銀與空氣接觸的表面層中，由于表面張力的作用使圖 3-5-3水銀表面有收縮到盡可能小的趨勢(shì)。上下兩層表hhf 3F面張力的合力的水平分量必與F 反向，且大小相f 2等。 S

4、 兩側(cè)表面張力 f3 , f4可認(rèn)為等值反向的。F1 p S1gh 2x解：2f 1 cosf 2Fa x(1cos)1gh 2x2h2a(1cos )g由于 0<<90o, 有310 3 m h 410 3 m例 3、在連通器的兩端吹出兩個(gè)相同的球形肥皂泡A 和 B 后，如圖 3-5-4，關(guān)閉活栓 K，活栓 K A 和 K B 則依舊打開(kāi)，兩泡內(nèi)的空氣經(jīng)管相通， 兩泡相對(duì)平衡。 (1)用心愛(ài)心專心若 A 泡和 B 泡的形狀小于半球，試證明A 泡和 B 泡之間的平衡是穩(wěn)定的。若A 泡Kr1和 B 泡的形狀大于半球，試證明k AKBrA 泡和 B 泡之間的平衡是不穩(wěn)定ABr1的。(2

5、) 若 A 泡和 B 泡的形狀大于圖 3-5-4圖 3-5-5r1 V0h半球，設(shè)兩管口的半徑均為r12.00cm ，A 泡和 B 泡的半徑均為 r22.50cm 。試問(wèn)當(dāng) A 泡和 B泡分別變化成何種形狀時(shí)，兩泡能再次達(dá)到平衡，設(shè)空氣因壓縮或膨脹所引起的密度變化可以忽略。分析：開(kāi)始時(shí)， A 泡 B 泡均小于半球，泡半徑應(yīng)大于管半徑。若因擾動(dòng)使A 泡縮小，則泡半徑增大，表面張力應(yīng)減小，A 泡內(nèi)壓強(qiáng)變小，這時(shí) B 泡內(nèi)氣體過(guò)來(lái)補(bǔ)充，使 A 泡恢復(fù)擾動(dòng)前的形狀，重新達(dá)到平衡。對(duì)于A 泡因擾動(dòng)稍增大，或 B 泡因擾動(dòng)稍增大或縮小的情形可作同樣分析。若 A、B 泡形狀相同，均大于半球。因擾動(dòng)使 A 泡

6、縮小，則泡半徑變小，表面張力相應(yīng)增加， A 泡內(nèi)壓強(qiáng)變大，使氣體從 A 泡到 B 泡， A 泡縮小和 B 泡增大后，擾動(dòng)將持續(xù)發(fā)展。總之，當(dāng) A 泡和 B 泡的形狀大于半球時(shí)，其間的平衡是不穩(wěn)定的。值得注意的是，當(dāng) A 泡縮小到半球形狀時(shí)，即當(dāng) r2 r1 時(shí)， A 泡半徑最小。若再收縮使形狀小于半球時(shí)， A 泡半徑再度增大，根據(jù)上面的分析， A 泡內(nèi)的壓強(qiáng)將再度下降。當(dāng) A 泡小于半球， B 泡大于半球，而兩者的半徑相同時(shí)，兩泡內(nèi)的壓強(qiáng)再次相同，這又是一個(gè)新的平衡狀態(tài)。解： (1) 見(jiàn)上面的分析。(2) 新的平衡狀態(tài)為A 泡小于半球， B 泡大于半球，兩者半徑均為 r ，圖 3-5-5 ，有

7、用心愛(ài)心專心4r 32V 03V0h2 ( r2h ), 且 h r2r22r123解得 r=3.04cm例 4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形柵格，即“蜂窩結(jié)構(gòu)”如圖 1-5-6(a)所示，平面上原子間距為a1.42 10 10m，若石墨的密度為 2270 kg m3，h求兩層平面間的距離。 ( 碳原子量為 12)圖 3-5-6a解：顯然應(yīng)根據(jù)晶格模型進(jìn)行研究，把b晶格平面適當(dāng)平移， 使上下層原子正好對(duì)齊，這時(shí)原子系統(tǒng)可看成如圖3-5-6(b) 那樣，每個(gè)原子屬于6 個(gè)不同晶胞，因此一個(gè)晶胞中 12/6=2 個(gè)原子， 1m3石墨中的原子數(shù)是N16.0210232.27106/121

8、.1410 29個(gè)。晶胞數(shù)是上述原子數(shù)的一半，故一個(gè)晶胞的體積是V5.711.75610 29 m31028晶胞的底面積是S3a 23 25.239 10 20 m2hV S3.3510 10 m說(shuō)明在晶格模型的計(jì)算中，初學(xué)者往往把晶胞所包含的原子數(shù)搞錯(cuò)，誤認(rèn)為石墨晶胞包含了12 個(gè)原子。這里的關(guān)鍵是要分析其中每一個(gè)原子是哪幾個(gè)晶胞所共有，那么每個(gè)晶胞僅只能算其1/ n 個(gè)原子。例 5、用圓柱形的杯子做“覆杯”實(shí)驗(yàn)，杯子的半徑為 R，高度為 H，假定開(kāi)始時(shí)杯內(nèi)水未裝滿，蓋上不發(fā)生形變的硬板后翻轉(zhuǎn)放手，由于水的重力作用，硬板將略下降，在杯口和平板間形成凹的薄水層，如圖3-5-7 所示。假定水對(duì)玻

9、璃用心愛(ài)心專心和平板都是完全浸潤(rùn)的，水的表面張力系數(shù)為，紙板重為 mg，大氣壓為 p0 ，水的密度為 ，則為了保證“覆杯”實(shí)驗(yàn)成功，裝水時(shí)，杯內(nèi)所留的空氣體積不得超過(guò)多少？flffl 2ff f解：如圖3-5-8圖 3-5-7圖 3-5-8圖 3-5-9表示板與杯口間水層的大致形狀( 為求清晰，圖中比例已被夸大) 。其中虛線表示整體輪廓，實(shí)線則劃出其一小片分析其受力，圖3-5-9 則是俯視平面圖。設(shè)內(nèi)凹的薄水層深度為d，由于完全浸潤(rùn)，它就等于凹面的直徑，所取出的水液面寬度為 l ，則它受力如下：f 附著層水對(duì)凹面的表面張力，有上( 杯沿 ) 下( 硬板 ) 兩個(gè)，其大小為f l ，方向垂直于

10、l 水平向外。f 和劃出部分相連的凹面其他部分的水對(duì)該液面的作用力，方向沿圓周切df線方向，大小為2，兩力合力大小為2 f sinflf2RF液面內(nèi)外壓力差， 其方向水平指向圓心， 大小為 F ( p0 p)dl ( 其中 p0為大氣壓， p 為內(nèi)部水壓強(qiáng) ) 。在受力平衡的條件下應(yīng)有p0 S( p0p)d ll2ld2RpSmg用心愛(ài)心專心圖 3-5-10d4R得( p0p)2R如果以硬板為研究對(duì)象，受力如圖 3-5-10，平衡時(shí)有p0 SpS mgp0mg即pR 2p 是水內(nèi)部的壓強(qiáng)， 它應(yīng)等于杯內(nèi)氣體壓強(qiáng)加上由水重所引起的壓強(qiáng)，若杯內(nèi)氣體壓強(qiáng)為 p ，原來(lái)裝水后空氣層厚度為h，則ppg(

11、H h)進(jìn)行覆杯實(shí)驗(yàn)后，硬紙板是蓋住杯口的，這時(shí)杯內(nèi)氣體壓強(qiáng)就等于大氣壓即p1p0 ，體積 V1R 2 h ，“覆杯”放手后，由于硬紙板受重力作用，板下移距離d即前述水層厚度)，使杯內(nèi)氣體體積變?yōu)?V2R 2 (h d ) ，壓強(qiáng)就變?yōu)?p ，由玻(意耳定律得p0hphd把代入可求得板重為mg時(shí)，水層最大厚度d4 R22mg R2由式可得gh2g(H d)mghp0mggH d 0R2R2H dmHdm2p0mhH d22 R222 R2gR2將式代入即可得到極限情況下杯內(nèi)原來(lái)的空氣柱厚度，因式子過(guò)繁，就不將 d 值代入了。用心愛(ài)心專心說(shuō)明當(dāng)杯子倒轉(zhuǎn)放手后，如果杯內(nèi)裝滿水而無(wú)空氣，則大氣對(duì)平板的向上壓力將遠(yuǎn)大于杯內(nèi)水及平板重，因此平板緊壓杯口，但如果原來(lái)杯