高中物理競賽輔導(dǎo)：力物體的平衡

1、力、物體的平衡§1.1 常見的力1、 1、 1 力的概念和量度慣性定律指出，一個物體，如果沒有受到其他物體作用，它就保持其相對于慣性參照系的速度不變，也就是說，如果物體相對于慣性參照系的速度有所改變，必是由于受到其他物體對它的作用，在力學(xué)中將這種作用稱為力。凡是講到一個力的時候，應(yīng)當說清楚講到的是哪一物體施了哪一個物體的力。一個物體，受到了另一物體施于它的力，則它相對于慣性參照系的速度就要變化，或者說，它獲得相對于慣性參照系的加速度，很自然以它作用于一定的物體所引起的加速度作為力的大小的量度。實際進行力的量度的時候，用彈簧秤來測量。重力 由于地球的吸引而使物體受到的力，方向豎直向下，

2、在地面附近，可近似認為重力不變（重力實際是地球?qū)ξ矬w引力的一個分力，隨緯度和距地面的高度而變化）彈力 物體發(fā)生彈性變形后，其內(nèi)部原子相對位置改變，而對外部產(chǎn)生的宏觀反作用力。 反映固體材料彈性性質(zhì)的胡克定律，建立了脅強（應(yīng)力）F 與脅變（應(yīng)變）l 之間的llSl正比例關(guān)系，如圖所示圖 1-1-1EF式中 E 為楊氏彈性模量，它表示將彈性桿拉長一倍時，橫截面上所需的應(yīng)力。彈力的大小取決于變形的程度，彈簧的彈力，遵循胡克定律，在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力的大小與形變量（伸長或壓縮量）成正比。F=-kxT TT T式中 x 表示形變量； 負號表示彈力的方向與形變的方向相反； k 為勁度系數(shù)，由彈簧的材料，

3、接觸反力和幾何尺寸決定。接觸反力限制物體某些位移或運動的周圍其它物體在接觸處對物體的反作用力（以下簡稱反力）力實質(zhì)上是一種彈性力，常見如下幾類：1、柔索類（圖 1-1-2 ）如繩索、皮帶、鏈條等，其張力方位 :沿柔索AT指向 : 拉物體一般不計柔索的彈性，認為是不可伸長的。滑輪組中，若不計摩擦與滑輪質(zhì)量，同一根繩內(nèi)的張力處處相等。2、光滑面（圖1-1-3 ）接觸處的切平面GG。這種反圖 1-1-2AN A AG A CG AN cABN B A圖 1-1-3方位不受力，其法向支承力方位 : 沿法線N指向 : 壓物體A3、光滑鉸鏈物體局部接觸處仍屬于光滑面， 但由于接觸位置難于事先確定， 這類接

4、觸反力的方位， 除了某些情況能由平衡條件定出外， 一般按坐標分量形式設(shè)定。圖 1-1-4用心愛心專心（ 1）圓柱形鉸鏈（圖 1-1-4, 圖 1-1-5 ，圖 1-1-6 ）由兩個圓孔和一個圓柱銷組成。在孔的軸線方向不承受作用力，其分力方位沿 軸Cyc:xX指向:待定F1xc方位沿 軸F:yYF1指向:待定圖中 AC桿受力如圖，支座B 處為可動鉸，水Bx平方向不受約束，反力如圖。AyBy A（2）球形鉸鏈（圖 1-1-7,圖 1-1-8 ）由一個球碗和一個球頭組成，其反力可分解為圖 1-1-5圖 1-1-6XFF方位 : 沿坐標軸Y指向:待定Z AZ4、固定端（圖 1-1-9，圖 1-1-10

5、 ）xAyA如插入墻內(nèi)的桿端，它除限制桿端移動外，還限A制轉(zhuǎn)動，需增添一個反力偶M A 。X 方位 : 沿坐標軸圖 1-1-7圖 1-1-8Y 指向:待定方位 : 平面力系作用面MA 轉(zhuǎn)向:待定qFy AF摩擦力物體與物體接觸時， 在接AA觸面上有一種阻止它們相對滑動的作用xA力稱為摩擦力。M A不僅固體與固體的接觸面上有摩擦，圖 1-1-9圖 1-1-10固體與液體的接觸面或固體與氣體的接觸面上也有摩擦，我們主要討論固體與固體間的摩擦。1 12、摩擦分為靜摩擦和滑動摩擦當兩個相互接觸的物體之間存在相對滑動的趨勢（就是說：假如它們之間的接觸是“光滑的”，將發(fā)生相對滑動）時，產(chǎn)生的摩擦力為靜摩擦

6、力，其方向與接觸面上相對運動趨勢的指向相反，大小視具體情況而定，由平衡條件或從動力學(xué)的運動方程解算出來，最大靜摩擦力為f max0 N式中0 稱為靜摩擦因數(shù)，它取決于接觸面的材料與接觸面的狀況等，N 為兩物體間的正壓力。當兩個相互接觸的物體之間有相對滑動時，產(chǎn)生的摩擦力為滑動摩擦力。滑動摩擦力的方向與相對運動的方向相反 , 其大小與兩物體間的正壓力成正比。fN為滑動摩擦因數(shù)，取決于接觸面的材料與接觸面的表面狀況，在通常的相對速度范圍內(nèi)，可看作常量，在通常情況下，0 與可不加區(qū)別，兩物體維持相對靜止的動力學(xué)條件為靜摩擦力的絕對值滿足ff maxN用心愛心專心在接觸物的材料和表面粗糙程度相同的條件

7、下，靜摩擦因數(shù)0 略大于動摩擦因數(shù) 。摩擦角令靜摩擦因數(shù)0 等于某一角的正切值，即0 tg，這個角就稱為摩擦角。在臨界摩擦（將要發(fā)生滑動狀態(tài)下）,fmax N0tg。支承面作用于物體的沿法線方向的彈力N與最大靜摩擦力f max 的合力 F（簡稱全反力） 與接觸面法線方向的夾角等于摩擦角，如圖 1-1-11 所示（圖中未畫其他力） 。在一般情況下，靜摩擦力f0 未達到最大值，即f 00 N ,f 00 ,f 0tgNN因此接觸面反作用于物體FFN的全反力 F的作用線與面法Ff 0arctgA線的夾角N ，不會大于摩擦角，即fmv。物體不會滑動。由此可知，運用摩圖 1-1-12擦角可判斷物體是否產(chǎn)

8、生滑動圖 1-1-11圖 1-1-13的條件。如圖 1-1-12放在平面上的物體 A，用力 F 去推它，設(shè)摩擦角為，推力 F 與法線夾角為，當時，無論 F 多大，也不可能推動物塊A，只有時，才可能推動A。摩擦力作用的時間因為只有當兩個物體之間有相對運動或相對運動趨勢時，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的時間。如一個小球豎直落下與一塊在水平方向上運動的木塊碰撞后，向斜上方彈出，假設(shè)碰撞時間為t ，但可能小球不需要t 時間，在水平方向上便已具有了與木塊相同的速度，則在剩下的時間內(nèi)小球和木塊盡管還是接觸的，但互相已沒有摩擦力。如圖 1-1-14 ，小木塊和水平地面之間的動摩擦因數(shù)為，用一個與水平方向

9、成多大角度的力 F 拉著木塊勻速直線運動最省力？FN將摩擦力f和地面對木塊的彈力N 合成一個力FFF ，摩擦角為Ftg 1ftg1fGN，這樣木塊受三個力：重力GG，桌面對木塊的作用力F和拉力 F，如圖1-1-14 ，圖 1-1-14作出力的三角形， 很容易看出當F 垂直于 F 時 F 最小，即有 F 與水平方向成tg 1時最小。例1、例 1、如圖 1-1-15所示皮帶速度為v0 ，物 A 在皮帶上以速度 v1垂直朝皮帶邊運動，試求物A 所受摩擦力的方向。V1解： 物 A 相對地運動速度為Vr ,V1 V0Vr，滑動摩擦V0A力 f 與 Vr 方向相反如圖所示。V1例 2、物體所受全反力 R

10、與法向的夾角m 的情形可Af能出現(xiàn)嗎？V0f圖 1-1-15解：不可能。因為若有m 則 tgatg m 即 N。F2F3F4用心愛心專心F合圖 1-1-16f f max ，這是不可能的。然而在要判斷一個受摩擦物體是否靜止時，可事先假定它靜止，tg 1 ( F )由平衡求出N , 有如下三種情形：m靜止m臨界狀態(tài)m滑動§ 1.2力的合成與分解12 1、力的合成遵循平行四邊形法則F2即力 F1 和F2 的合力即此二力構(gòu)成的平行四FFF2邊形的對角線所表示的力F，如圖 1-2-1(a)根據(jù)此法則可衍化出三角形法則。即：將F , F2通過1F11F平移使其首尾相接， 則由起點指向末端的力F

11、 即(a)(b)F1 , F2 的合力。（如圖 1-2-1(b)）圖 1-2-1如果有多個共點力求合力，可在三角形法則的基礎(chǔ)上，演化為多邊形法則。如圖1-2-2所示， a 圖為有四個力共點O，b 圖表示四個力矢首尾相接，從力的作用點 O連接力F4力矢末端3F4F4FF3的有向線段就表示它們F4F2 FF3的合力。 而 (c)圖表示五F5F2F1個共點力組成的多邊形F1F2F1F1 力矢的(a)(b)(c)是閉合的，即起步與 F5 力矢的終點重圖 1-2-2合，這表示它們的合力為零。力的分解是力的合成的逆運算，也遵循力的平行四邊形法則，一般而言，一個力分解為兩力有多解答，為得確定解還有附加條件，

12、通常有以下三種情況：已知合力和它兩分力方向，求這兩分力大小。這有確定的一組解答。已知合力和它的一個分力，求另一個分力。這也有確定的確答。已知合力和其中一個分力大小及另一個分力方向，求第一個合力方向和第二分力大小，其解答可能有三種情況：一解、兩解和無解。1 22、平面共點力系合成的解析法如圖 1-2-3 ，將平面共點力及其合力構(gòu)成力的多邊形 abcde，并在該平面取直角坐標系 Oxy，作出各力在兩坐標軸上的投影，從圖上可見：RxF1 xF2 xF3 xRyF1yF2 xF3x上式說明，合力在任意一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和， 這也稱為合力投影定理。 知道了合力yeyF4 xF4

13、F4yRRdF4x xRyF3ya3F1FcF1y F2yb F2OF3xxxF1xF2xO愛心Fy專心F4xRx用心Rx2Ry2(a)R(b)圖 1-2-3R 的兩個投影 Rx 和 Ry ，就難求出合力的大小與方向了。合力R 的大小為：合力的方向可用合力 R 與 x 軸所夾的角的正切值來確定：tgaRyRx1 23、平行力的合成與分解作用在一個物體上的幾個力的作用線平行，且不作用于同一點， 稱為平行力系。 如圖 1-2-4如果力的方向又相同，則稱為同向平行力。兩個同向平行力的合力（ R）的大小等于兩分力大小之和，合力作用線與分力平行，合力方向與兩分力方向相同，合力作用點在兩分力作用點的連線上

14、，合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比，如圖1-2-4(a)，有：OBOAF2RF1F2AOAF2BF2BOF1RF1F1R兩個反向平行力的合力（ R）的(a)(a)大小等于兩分力大小之差，合力作圖 1-2-4用線仍與合力平行，合力方向與較大的分力方向相同，合力的作用點在兩分力作用點連線的延長線上，在較大力的外側(cè)，它到兩分Z力作用點的距離與兩分力大小成反比，如圖1-2-4(b)，有：R F1F2OAF1OBF2zk1 24、空間中力的投影與分解Xj Yi Y力在某軸上的投影定義為力的大小乘以力與該軸正向間夾角的余弦，如圖 1-2-5 中的 F 力在 ox、 oy、 oz 軸上的投影X

15、圖 1-2-5X、 Y、Z 分別定義為XF cosaYF cosZF cosZ這就是直接投影法所得結(jié)果，也可如圖1-2-6 所示采用二次投影法。這時XFxy cos(Fxy , x)F式中 Fxy 為 F 在 oxy 平面上的投影矢量，而OYFxyF sin( F , Z )力沿直角坐標軸的分解式XFxyFXi Yj Zk Fxi Fy j Fzk圖 1-2-6§ 1.3 共點力作用下物體的平衡1 31、共點力作用下物體的平衡條件幾個力如果都作用在物體的同一點，或者它們的作用線相交于同一點，這幾個力叫作共用心愛心專心點力。當物體可視為質(zhì)點時，作用在其上的力都可視為共點力。當物體不能視

16、為質(zhì)點時，作用于其上的力是否可視為共點力要看具體情況而定。物體的平衡包括靜平衡與動平衡，具體是指物體處于靜止、勻速直線運動和勻速轉(zhuǎn)動這三種平衡狀態(tài)。共點力作用下物體的平衡條件是；物體所受到的力的合力為零。F1F3Fi0i或其分量式：Fix0Fiy 0Fiz 0F2iii如果在三個或三個以上的共點力作用下物體處于平衡，用力的圖示表示，則這些力必組成首尾相接的閉合力矢三角圖 1-3-1形或多邊形； 力系中的任一個力必與其余所有力的合力平衡；如果物體只在兩個力作用下平衡，則此二力必大小相等、方向相反、且在同一條直線上，我們常稱為一對平衡力；如果物體在三個力作用下平衡，則此三力一定共點、一定在同一個平

17、面內(nèi)，如圖1-3-1所示，且滿足下式（拉密定理）：F1F2F3sinsinsin1 32、推論物體在 n(n 3) 個外力作用下處于平衡狀態(tài)，若其中有 n-1 個力為共點力， 即它們的作用線交于 O 點，則最后一個外力的作用線也必過O 點，整個外力組必為共點力。這是因為n-1個外力構(gòu)成的力組為共點（O點）力，這 n-1 個的合力必過O點，最后一個外力與這 n-1個外力的合力平衡，其作用線必過O點。特例，物體在作用線共面的三個非平行力作用下處于平衡狀態(tài)時，這三個力的作用線必相交于一點且一定共面。§ 1.4固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡1 41、力矩力的三要素是大小、方向和作用點。由作用點和力的方

18、向所確定F的射線稱為力的作用線。力作用于物體，常能使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動，這時O外力的作用效果不僅取決于外力的大小和方向，而且取決于外力作用d線與軸的距離力臂(d) 。力與力臂的乘積稱為力矩，記為M，則 M=Fd，如圖 1-4-1，O 為垂直于紙面的固定軸，力F 在紙面內(nèi)。力矩是改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因。力的作用線與軸平行時，此力圖 1-4-1對物體繞該軸轉(zhuǎn)動沒有作用。若力F 不在與軸垂直的平面內(nèi)，可先將力分解為垂直于軸的分量F和平行于軸的分量F， F對轉(zhuǎn)動不起作用，這時力F 的力矩為 M=Fd。通常規(guī)定 繞逆時方向轉(zhuǎn)動的力矩為正。當物體受到多個力作用時，物體所受的總力矩等于各個力產(chǎn)生力矩的代數(shù)和。1

19、42、力偶和力偶矩一對大小相等、 方向相反但不共線的力稱為力偶。如圖 1-4-2中 F1 , F2 即為力偶， 力偶不能合成為一個力，是一個基本力學(xué)量。對于與力偶所在平面垂直的任一軸，這一對力的力矩的代數(shù)和稱為力偶矩，注意到F1F1F2 F ，不難得到， M=Fd，式中 d 為兩力間的距離。力偶F2r1用心愛心專心r2O圖 1-4-2矩與所相對的軸無關(guān)。1 43、有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡有固定轉(zhuǎn)軸的物體，若處于平衡狀態(tài)，作用于物體上各力的力矩的代數(shù)和為零。§ 1.5一般物體的平衡力對物體的作用可以改變物體的運動狀態(tài)，物體各部位所受力的合力對物體的平動有影響，合力矩對物體的轉(zhuǎn)動有影響。如

20、果兩種影響都沒有，就稱物體處于平衡狀態(tài)。因此，一般物體處于平衡時，要求物體所受合外力為零( F外0) 和合力矩為零 ( M0) 同時滿足，一般物體的平衡條件寫成分量式為Fx0M x0F y0M y0Fz0M z0M x , M y , M z 分別為對x 軸、 y 軸、 z 軸的力矩。由空間一般力系的平衡方程，去掉由力系的幾何性質(zhì)能自動滿足的平衡方程，容易導(dǎo)出各種特殊力系的獨立平衡方程。如平面力系 （設(shè)在 xOy 平面內(nèi)），則Fx 0, M x 0, M y 0 自動滿足， 則獨立的平衡方程為：Fx0F y0Fz0M z0 這一方程中的轉(zhuǎn)軸可根據(jù)需要任意選取，一般原則是使盡量多的力的力臂為零。

21、平面匯交力系與平面平行力系的獨立方程均為二個，空間匯交力系和空間平行力系的獨立平衡方程均為三個。§ 1.6平衡的穩(wěn)定性1 61、重心物體的重心即重力的作用點。在重力加速度g 為常矢量的區(qū)域， 物體的重心是惟一的 （我們討論的都是這種情形） ，重心也就是物體各部分所受重力的合力的作用點，由于重力與質(zhì)量成正比，重力合力的作用點即為質(zhì)心，即重心與質(zhì)心重合。求重心， 也就是求一組平行力的合力作用點。相距 L，質(zhì)量分別為 m1, m2 的兩個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點組，其重心在兩質(zhì)點的連線上，且m1,m2與相距分別為：( m1m2 )L1m2 L0( m1m2 )L2m1L0L1m2 Lm1 Lm1 m

22、2L2m2m1均勻規(guī)則形狀的物體，其重心在它的幾何中心，求一般物體的重心， 常用的方法是將物體分割成若干個重心容易確定的部分后， 再用求同向平行力合力的方法找出其重心。物體重心（或質(zhì)心）位置的求法RXBACPOxx1 G1x3G3x2G2用心愛心專心圖 1-6-1我們可以利用力矩和為零的平衡條件來求物體的重心位置。如圖1-6-1由重量分別為G1,G2 的兩均勻圓球和重量為G3的均勻桿連成的系統(tǒng)，設(shè)立如圖坐標系，原點取在A 球最左側(cè)點，兩球與桿的重心的坐標分別為x1, x2 , x3 ，系統(tǒng)重心在 P 點，我們現(xiàn)在求其坐標x。設(shè)想在 P 處給一支持力R，令 RG1G 2 G3 達到平衡時有：M

23、G1 x1G2 x2G3 x3Rx 0G1 x1G2 x2 G3 x3G1 x1G2 x2G3 x3xRG1G 2G3這樣就得出了如圖所示的系統(tǒng)的重心坐標。若有多個物體組成的系統(tǒng)，我們不難證明其重心位置為：xGixiGiGiyyGiGizzGi一般來說，物體的質(zhì)心位置與重心位置重合，由上面公式很易得到質(zhì)心位置公式：xmi ximiPmi yiylmizmi zi圖 1-6-2mi如圖 1-6-2 ，有 5 個外形完全一樣的均勻金屬棒首尾相接焊在一起，從左至右其密度分別為 、 1 、 2、 3 、 4 ，設(shè)每根棒長均為l ，求其質(zhì)心位置，若為n 段，密度仍如上遞增，質(zhì)心位置又在什么地方？解：設(shè)整

24、個棒重心離最左端距離為x，則由求質(zhì)心公式有xmi xim1x1m2 x2m5 x5mim1m2m5v l1.1 v 3 l 1.2 v 5 l 1.3 v 7 l 1.4 v 9 l22222v1.1v 1.2 v1.3 v 1.4 b2.67l若為 n 段，按上式遞推得：n1xl11.131.251.37(110)(2n1)2n111.11.2 1.3(1)10將坐標原點移到第一段棒的重心上，則上式化為：用心愛心專心BAC圖 1-1.11.221.33(1n1)(n1)x10ln1)11.1 1.2(110(11) (12 )2(1n1)(n1)10101011.11.2(1n1)10112

25、(n1)1222(n1) 210n1l11.1 1.2(110)(n 1)(2n 3q) l3(nq)例、如圖1-6-3 所示， A、B 原為兩個相同的均質(zhì)實心球，半徑為R，重量為 G， A、 B 球R和 3R35 G4R ，試求系統(tǒng)的重心位置。分別挖去半徑為24 的小球，均質(zhì)桿重量為 64 ，長度 l解：將挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，圖示系統(tǒng)可簡化為圖1-1-31所示平行力系；其中GaG ,Gb27 GAlBO，864。設(shè)重心位置為ab b則合力aCG 27G93 GW G G圖 16386464且M 0 (Gi )0 即G(3R OC )27 G(OC3RR )G (3RROC3

26、5 GOC G(3ROC )6448264OC=0.53R1 62、物體平衡的種類物體的平衡分為三類：穩(wěn)定平衡 處于平衡狀態(tài)的物體，當受到外界的擾動而偏離平衡位置時，如果外力或外力矩促使物體回到原平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡，處于穩(wěn)定平衡的物體，偏離平衡位置時，重心一般是升高的。不穩(wěn)定平衡 處于平衡狀態(tài)的物體，當受到外界的擾動而偏離平衡位置時，如果外力或外力矩促使物體偏離原來的平衡位置，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平衡，處于不穩(wěn)定平衡的物體，偏離平衡位置時，重心一般是降低的。隨遇平衡 處于平衡狀態(tài)的物體，當受到外界擾動而偏離平衡位置時，物體受到的合外力或合力矩沒有變化，這樣的平衡叫隨遇平衡，處于隨遇平

27、衡的物體，偏離平衡位置后，重心高度不變。在平動方面，物體不同方面上可以處于不同的平衡狀態(tài)，在轉(zhuǎn)動方面，對不同方向的轉(zhuǎn)軸可以處于不同的平衡狀態(tài)。例如，一個位于光滑水平面上的直管底部的質(zhì)點，受到平行于管軸方向的擾動時，處于隨遇平衡狀態(tài)；受到與軸垂直方向的擾動時，處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，一細棒，當它直立于水平桌面時，是不穩(wěn)定平衡，當它平放在水平桌面時，是隨遇平衡。1 63、穩(wěn)度用心愛心專心物體穩(wěn)定的程度叫穩(wěn)度，一般說來，使一個物體的平衡遭到破壞所需的能量越多，這個平衡的穩(wěn)度就越高。穩(wěn)度與重心的高度及支面的大小有關(guān)，重心越低，支面越大，穩(wěn)度越大。§ 1.7流體靜力學(xué)流體并沒有一定的開頭可以自由流動，但具有一定的密度，一般認為理想流體具有不可壓縮的特征。1 71、靜止流體中的壓強(1) 靜止流體內(nèi)部壓強的特點在靜止流體內(nèi)任何一點處都有壓強，這一壓強與方向無關(guān)僅與該點的深度有關(guān)；相連通的靜止流體內(nèi)部同一深度上各點的壓強相等。關(guān)于流體內(nèi)部的壓強與方向無關(guān)，可以證明如下：在靜止流體中的某點處任取一個長為l 的極小的直角三棱液柱，令其兩側(cè)面分別在豎直面內(nèi)和水平面內(nèi)，作其截面如圖1-7-1所示，圖中坐標軸x 沿水平方向，坐標軸y 沿豎直方向，以x, y,n 分別表示此液柱截面三角形的三條邊長，且yf n1-7