高中數學人教版必修一知識點總結梳理

1、第一章集合與函數概念一：集合的含義與表示1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。2、集合的中元素的三個特性：（ 1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。（ 2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。（ 3）元素的無序性 : 集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合3、集合的表示： （ 1）用大寫字母表示集合： A=我校的籃球隊員 ,B=1,2,3,4,5（ 2）集合的表示方法：列舉法與描述法。a

2、、列舉法：將集合中的元素一一列舉出來 a,b,c b、描述法：區(qū)間法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合。xR| x-3>2 ,x| x-3>2語言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 Venn圖: 畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：（ 1）有限集：含有有限個元素的集合（ 2）無限集：含有無限個元素的集合（ 3）空集：不含任何元素的集合5、元素與集合的關系：（1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：aA（2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即： aA注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作： N正整數集N* 或 N+整數集 Z有理數

3、集 Q實數集 R6、集合間的基本關系（1）. “包含”關系（1）子集定義：如果集合 A 的任何一個元素都是集合 B 的元素，我們說這兩個集合有包含關系，稱集合 A 是集合 B的子集。記作： A B （或 B ）注意： AB 有兩種可能（ 1）A 是 B的一部分；（2）A 與 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B不包含集合 A, 記作 A B 或 B A （2）. “包含”關系（ 2）真子集如果集合 AB ， 但存在元素xB且 xA，則集合 A是集合 B 的真子集如果 A B, 且 A B 那就說集合 A 是集合 B 的真子集，記作AB(或 BA)讀作 A真含與 B

4、（ 3）“相等”關系： A=B“元素相同則兩集合相等”如果A B 同時B A那么A=B（ 4）. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定 :空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（ 5）集合的性質 任何一個集合是它本身的子集。 A A如果 A B,B C,那么 A C如果 AB且BC，那么 AC有 n 個元素的集合，含有2n 個子集， 2n-1 個真子集7、集合的運算運算類型交集并集定義由所有屬于A 且屬于B 由所有屬于集合A 或屬的元素所組成的集合,于集合 B 的元素所組成叫做 A,B 的交集 記作的集合，叫做A,B 的并AB（讀作 A 交 B）， 集 記作： AB（讀作補集全集：

5、一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個集合為全集，記作：U設 S 是一個集合，A是 S的一個子集，由 S 中所有不屬于 A 的元素組成的集合，叫做 S 中子集 A 的補集（或即 A B= x|xA，且A 并 B），即 A B余集）記作 CS A ，x B=x|x A，或 x B) SC A= x| x S,且x A韋恩圖示ABABSA圖 1圖 2性質 AA=AAUA=A(CuA) (CuB)= C u(AUB)A =AU =A(CuA) U (C uB)= C u(A B)A B=B AAUB=BUAAU(CuA)=UA B AAAUBA (CuA)=BBA U B

6、B二、函數的概念1函數的概念：設 A、B 是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系 f ，使對于集合 A 中的任意一個數 x，在集合 B 中都有唯一確定的數 f(x) 和它對應，那么就稱 f ：AB 為從集合 A 到集合 B 的一個函數記作： y=f(x) ，xA（1）其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域；（ 2）與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合 f(x)| xA叫做函數的值域2函數的三要素：定義域、值域、對應法則3函數的表示方法：（ 1）解析法：明確函數的定義域（ 2）圖想像：確定函數圖像是否連線，函數的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點

7、等等。（ 3）列表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。4、函數圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x A) 中的 x 為橫坐標，函數值 y 為縱坐標的點 P(x ，y) 的集合 C，叫做函數 y=f(x),(x A) 的圖象 C 上每一點的坐標 (x ，y) 均滿足函數關系 y=f(x) ，反過來，以滿足 y=f(x) 的每一組有序實數對 x、y 為坐標的點 (x ，y) ，均在C上.(2) 畫法A、描點法： B 、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換，即平移。（3）函數圖像平移變換的特點：1）加左減右只對x2）上減下加只對y3 ）函數

8、y=f(x)關于 X 軸對稱得函數y=-f(x)4）函數 y=f(x)關于 Y 軸對稱得函數y=f(-x)5）函數 y=f(x)關于原點對稱得函數y=-f(-x)6）函數 y=f(x)將 x 軸下面圖像翻到x 軸上面去， x 軸上面圖像不動得函數 y=| f(x)|7）函數 y=f(x)先作 x 0 的圖像，然后作關于y 軸對稱的圖像得函數f(|x|)三、函數的基本性質1、函數解析式子的求法（ 1）、函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（ 2）、求函數的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系數法：3）換元法：

9、4) 拼湊法：2定義域：能使函數式有意義的實數x 的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數不小于零；(3) 對數式的真數必須大于零；(4) 指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5) 如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的 . 那么，它的定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合 .(6) 指數為零底不可以等于零，(7) 實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.3、相同函數的判斷方法：表達式相同 （與表示自變量和函數值的字母無關） ；定義域一致 ( 兩點必須同時具備 )4、區(qū)間的概念：（ 1）區(qū)

10、間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（ 2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數軸表示5、值域（先考慮其定義域）（1）觀察法：直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域；（2）反表示法：針對分式的類型，把 Y 關于 X 的函數關系式化成 X 關于 Y 的函數關系式，由 X 的范圍類似求 Y 的范圍。(3) 配方法：針對二次函數的類型，根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域，注意定義域的范圍。(4) 代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉化成二次函數的類型。6. 分段函數（ 1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。（ 2）各部分的自變量的取值情況（ 3）分段函數的定義域是各段定義域的

11、交集，值域是各段值域的并集（ 4）常用的分段函數有取整函數、符號函數、含絕對值的函數7映射一般地，設 A、 B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f ，使對于集合 A 中的任意一個元素 x，在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之對應，那么就稱對應 f ：A B 為從集合 A 到集合 B 的一個映射。 記作“f（對應關系） ：A（原象） B（象）”對于映射 f ：AB 來說，則應滿足：(1) 集合 A 中的每一個元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B中對應的象可以是同一個；(3) 不要求集合 B 中的每一個元素在集合 A 中都有原象。

12、注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的， 而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射，而映射不一定的函數8、函數的單調性 ( 局部性質 ) 及最值（1）、增減函數（1）設函數 y=f(x) 的定義域為 I ，如果對于定義域I 內的某個區(qū)間 D 內的任意兩個自變量 x1，x2，當 x1<x2 時，都有 f(x1)<f(x 2) ，那么就說 f(x)在區(qū)間 D上是增函數 . 區(qū)間 D稱為 y=f(x)的單調增區(qū)間 .時，都有 f(x)（2）如果對于區(qū)間 D上的任意兩個自變量的值x ，x，當 x <x11212 f(x 2) ，那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數 . 區(qū)間

13、D 稱為 y=f(x) 的單調減區(qū)間 .注意：函數的單調性是函數的局部性質；函數的單調性還有單調不增，和單調不減兩種（2）、 圖象的特點如果函數 y=f(x) 在某個區(qū)間是增函數或減函數， 那么說函數 y=f(x) 在這一區(qū)間上具有 ( 嚴格的 ) 單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.（ 3）、函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A) 定義法：1 任取 x1，x2 D，且 x1<x2；2 作差 f(x 1) f(x 2) ；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差f(x 1) f(x 2) 的正負）；5 下結論（指出函數f(x) 在給定

14、的區(qū)間D上的單調性）(B) 圖象法 ( 從圖象上看升降 )(C) 復合函數的單調性復合函數：如果y=f(u)(u M),u=g(x)(x稱為 f 、 g 的復合函數。復合函數f g(x) 的單調性與構成它的函數相關，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 A), 則 y=fg(x)=F(x)(x A)u=g(x) ， y=f(u) 的單調性密切, 不能把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集 .9：函數的奇偶性（整體性質）（1）、偶函數一般地，對于函數f(x) 的定義域內的任意一個x，都有 f( x)=f(x)，那么 f(x) 就叫做偶函數（2）、奇函數一般地，對于函數 f

15、(x) 的定義域內的任意一個 x，都有 f( x)= f(x) ，那么 f(x) 就叫做奇函數（3）、具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y 軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數奇偶性的步驟：a、首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函數；若對稱，則進行下面判斷；b、確定 f( x) 與 f(x) 的關系；c、作出相應結論：若f( x) = f(x)或 f(x) f(x) = 0函數；若 f( x) = f(x)或 f( x) f(x) = 0函數，則，則f(x)f(x)是偶是奇（ 4）利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性a 、在公

16、共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數；a 、復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數. 若對稱，(1) 再根據定義判定 ;(2)由 f(-x) ±f(x)=0 或 f(x) f(-x)= ±1 來判定 ;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.10、函數最值及性質的應用（1）、函數的最值a 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（?。┲礲 利

17、用圖象求函數的最大（小）值c 利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數 y=f(x) 在區(qū)間 a ，b 上單調遞增，在區(qū)間 b ，c 上單調遞減則函數y=f(x)在 x=b 處有最大值 f(b) ；如果函數 y=f(x) 在區(qū)間 a ，b 上單調遞減，在區(qū)間 b ，c 上單調遞增則函數y=f(x)在 x=b 處有最小值 f(b) ；（ 2）、函數的奇偶性與單調性奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性。（ 3）、判斷含糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與 0 作比較，作商法是與 1 作比較。（ 4）、絕對值函數求最

18、值，先分段，再通過各段的單調性，或圖像求最值。（ 5）、在判斷函數的奇偶性時候， 若已知是奇函數可以直接用 f(0)=0 ，但是 f(0)=0并不一定可以判斷函數為奇函數。（高一階段可以利用奇函數f(0)=0 ）。第二章基本初等函數一、指數函數（一）指數1、指數與指數冪的運算：復習初中整數指數冪的運算性質：mnm+na *a =a(a*b) n=anbn2、根式的概念： 一般地，若 x na ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n >1，且 n N * 當 n 是奇數時，正數的n 次方根是一個正數，負數的 n 次方根是一個負數。此時， a 的 n 次方根用符號表示。當 n 為偶數

19、時，正數的n 次方根有兩個，這兩個數互為相反數。此時正數a的正的 n 次方根用符號表示，負的 n 的次方根用符號表示。正的 n 次方根與負的 n 次方根可以合并成（a>0）。注意：負數沒有偶次方根；0 的任何次方根都是0，記作 n 00 。當 n 是奇數時， nana ，當 n 是偶數時， na(a0)an | a |a (a0)式子 n a叫做根式，這里n 叫做根指數， a 叫做被開方數。3、分數指數冪正數的分數指數冪的m， am11a nnam(a 0, m, n N*, n 1)n(a0,m, n N*,n1)mn a ma n0 的正分數指數冪等于0， 0 的負分數指數冪沒有意義

20、4、有理數指數米的運算性質（1） ar · a rar s(a 0, r , s R) ；（2） (a r ) sa rs(a0, r , sR) ；（3） (ab) rar a s(a0, r , sR) 5、無理數指數冪一般的，無理數指數冪 aa（ a>0,a 是無理數）是一個確定的實數。有理數指數冪的運算性質同樣使用于無理數指數冪。（二）、指數函數的性質及其特點1、指數函數的概念： 一般地，函數 y a x (a0,且 a 1) 叫做指數函數，其中 x 是自變量，函數的定義域為 R注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1為什么？2、指數函數的圖象和性質a&g

21、t;10<a<166554433221111-4-2246-4-224600-1-1定義域 R定義域 R值域 y0值域 y0在 R上單調遞增在 R上單調遞減非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點（ 0，1）函數圖象都過定點（ 0，1）注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：（ 1）在 a ，b 上，值域是 f (a), f (b) 或 f (b), f (a) ；（2）若 x0 ，則 f (x)1； f (x ) 取遍所有正數當且僅當xR ；（3）對于指數函數 f ( x)ax (a0且a1) ，總有 f (1)a ；（4）當 a>1 時，若 X1<X2 , 則有

22、 f(X 1)<f(X 2) 。二、對數函數（一）對數1對數的概念： 一般地，如果 axN (a 0, a 1) ，那么數 x 叫做以 a 為底 N 的對數， 記作： x log a N（ a 底數， N 真數， log a N 對數式）說明： 1注意底數的限制，且；a 0a 12a xNlog a N x ；3注意對數的書寫格式：log a N兩個重要對數：1常用對數：以 10 為底的對數 lg N ；2自然對數：以無理數 e2.71828為底的對數的對數 ln N （二）對數的運算性質如果 a 0 ，且 a1， M0， N 0 ，那么：1log a (M · N )log

23、a M log a N ；2Mlog aM log a N ；log a3Nlog a Mnn log a M(nR) 注意：換底公式log a blog c b（ a0 ，且 a1； c0 ，且 c1； b0）log c a利用換底公式推導下面的結論nnlog a b ；（ 2） log a b1（1） log a m bmlog b a（二）對數函數1、對數函數的概念： 函數 ylog a x(a0 ，且 a1)叫做對數函數， 其中 x 是自變量，函數的定義域是（0，+）注意：1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：y2log 2x ， ylog5x都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數25對數函數對底數的限