高中數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性最值和極值

1、函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值是高考的熱點，新課程中函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值的要求提高了，可能更會成為高考的熱點、難點.在高考試題中，函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值往往是以某個初等函數(shù)為載體出現(xiàn)，綜合題往往與不等式、數(shù)列等聯(lián)系起來，處理方法除了定義法之外，一般采用導數(shù)法 . 難度值控制在0.3 0.6之間 .考試要求：了解函數(shù)單調(diào)性的概念,掌握判斷簡單函數(shù)的單調(diào)性的方法；了解函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能求函數(shù)的最大（?。┲担徽莆沼脤?shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.題型一已知函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，求參變量的值.例 1設(shè)函數(shù) f ( x)6x 33(a2)x 22ax .（ 1）若 f (x)

2、的兩個極值點為x, x且 xx21，求實數(shù)a的值；1212a，使得f ( x) 是 (,) 上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存（ ）是否存在實數(shù)在，說明理由 .點撥因為是三次函數(shù)，所以只要利用“極值點f ( x) 0 的根”，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題；利用f ( x) 在 (, )上單調(diào)f (x) 0（ 0），轉(zhuǎn)化為判斷一元二次函數(shù)圖像能否在x 軸上方的問題 .解f ( x)18x26(a2) x2a（ 1）由已知有 f (x1)f ( x2 ) 02a，從而 x1 x2181 , 所以 a9 ；（ 2）由36(a2)24182a36(a24)0 ，得 f ( x)0 總有兩個不等的實

3、根，f (x) 不恒大于零，所以不存在實數(shù)a ，使得 f ( x) 是 R 上的單調(diào)函數(shù) .易錯點 三次函數(shù)的極值點x1 , x2 與原函數(shù) f (x) 的導數(shù)關(guān)系不清；含參變量 a 的問題是逆向思維，學生易出現(xiàn)錯誤；學生不會將 f ( x) 在 (,) 上是單調(diào)函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為f (x)0( 0) 恒成立問題 .變式與引申1： (20XX 年高考江西卷理 ) 設(shè) f ( x)xxax（ 1）若 f(x) 在 (,）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a 的取值范圍；（ 2）當a時， f ( x) 在 , 上的最小值為，求 f ( x) 在該區(qū)間上的最大值題型二：已知最（極）值或其所在區(qū)域，通過單調(diào)性分析參

4、變量的范圍.例 2 已知函數(shù) f ( x) x3(1a) x2a(a 2)xb(a， bR) （ 1）若函數(shù)f ( x) 的圖像過原點，且在原點處的切線斜率是-3 ，求 a， b 的值；（ 2）若函數(shù)f ( x)在區(qū)間（1， 1）上至少有一個極值點，求a 的取值范圍點拔： 第（ 1）問利用已知條件可得f00, f (0)=0 ，求出a， b 的值 . 第（ 2）問利用“極值點f ( x)0 ”的根轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題.解析：（1）由函數(shù)f ( x) 的圖像過原點，得b0 ，又 f ( x)3x22(1a) xa(a2)， f(x) 在原點處的切線斜率是3 ，則 a(a2)3 ，所以

5、a3 ，或 a1（ 2）法一：由f (x)0 ，得 x1a， x2a 21,1)又 f (x) 在 (上至少有一個極值點，3，a2，111 a 15 a 11 a 13即a 2 或解得1或1a2，aa3，aa223所以 a 的取值范圍是， 11 ，5212法二： f (x)3x22(1a)xa(a2) , 由題意 f ' ( x)0 必有一根在 (-1,1)上,故 f ' (-1)f ' (1) 0 , 即 (54aa2 )(1 a2 )0, 解得5a1；或 f ' (-1)=0 ，則 a1 ，當 a1, f (1)0 （舍去），當 a1時，經(jīng)檢驗符合題意；同理

6、 f ' (1)=0，則 a1或 5 ，經(jīng)檢驗，均不符合題意，舍去 . f ' ( x)0 有兩個不同的根在(-1,1)上f ' (-1) 01 或1故 f ' (1)0解得：1aa1022所以， a 的取值范圍， 11 ， .5212易錯點： 解不等式f ( x)0 出錯；第（ 2）問的解法一，不易分析. ；第（ 2）問的解法二，分類討論，不易討論完整 .變式與引申2：將（ 2）中改為“f (x) 在區(qū)間（1，1）上有兩個極值點”，或改為“f ( x)存在極值點，但在區(qū)間（1，1）上沒有極值點”，如何求題型三函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值與不等式結(jié)合的問題a 的取值

7、范圍？例3設(shè)函數(shù)f ( x)x2ex 1ax3bx2 ，已知x2 和x1為f ( x)的極值點（ 1）求 a 和 b 的值；（ 2）討論 f ( x) 的單調(diào)性；（ 3）設(shè) g( x)2x3x2 ，試比較 f ( x) 與 g( x) 的大小3點拔 此題是由指數(shù)函數(shù)與多項式函數(shù)等組合的超越函數(shù)，分析第（1）問先由極值點轉(zhuǎn)化為方程的根，再用待定系數(shù)法；第（3）問中比較兩個函數(shù)f (x) 與 g (x) 的大小，可構(gòu)造新函數(shù)F ( x)f ( x)g( x) ，再通過分析函數(shù) F ( x) 的單調(diào)性來討論F ( x) 與 0 的大小關(guān)系 .解 （ 1）因為f (x)ex 1 (2 xx2 ) 3a

8、x22bxxex 1 (x2)x(3ax 2b) ，又 x2 和 x1 為 f (x) 的極值點，所以f( 2)f(1)0 ，6a2b，10解方程組得因此a， b133a2b，03（ 2）因為 a1， b1，所以 f ( x)x( x2)(e x 1 1) ，3令 f ( x)0 ，解得 x12 ， x20 ， x31 因為當 x (， 2)(0，1) 時， f (x)0 ；當 x(2，0)(1，) 時， f ( x)0 所以 f ( x) 在 (2，0)和 (1，) 上是單調(diào)遞增的；在(， 2)和 (0，1)上是單調(diào)遞減的（3）由（1）可知f (x)2x1132x e，x故 x3F ( xf

9、) xg (x2 x13xx2(e)x)x ( x )，e令 h(x)ex1x ，則 h ( x)ex1 1 令 h ( x)0 ，得 x1 ，因為 x，1 時， h ( x) 0 ，所以 h(x) 在 x，1 上單調(diào)遞減故 x，1 時， h(x) h(1)0 ；因為 x1，時， h (x) 0 ，所以 h( x) 在 x1，上單調(diào)遞增故 x1，時，h( x) h(1)0 所以對任意x(，) ，恒有h( x) 0，又x2 0 ，因此F ( x)f ( x)g( x) 0 ，故對任意x(，) ，恒有f ( x) g( x) 易錯點求導數(shù)時，(x2ex 1 )易出錯；比較兩個函數(shù)的大小屬于不等式問

10、題，學生容易只從不等式的簡單知識出發(fā)，而無法從構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來分析.變式與引申3：將第（ 3）問改為：設(shè)g( x)2 x3x2 ，試證f ( x)g(x)恒成立3本節(jié)主要考查： （ 1）用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性, 極值；（ 2）利用單調(diào)性、極值點與導數(shù)的關(guān)系解決一些綜合問題； （ 3）方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化 , 方程思想和函數(shù)思想綜合應用； （ 4）數(shù)形結(jié)合思想 . 點評：（ 1）討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；（ 2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖像法、復合函數(shù)法、導數(shù)法等；（ 3）利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、

11、最（極）值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上的正負問題，從而轉(zhuǎn)化為不等式問題，再而研究函數(shù)的最（極）值. 需靈活應運用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想和分類討論思想等.習題 13log 3x(0x9)f (b) f (c) ，1. 已知：函數(shù) f (x)11(x9)，若 a ，b ，c 均不相等，且 f ( a)x則 ab c 的取值范圍是（）A.(0, 9)B. (2,9)C.(9, 11)D. (2,11)2. 已知函數(shù)f ( x)與g(x) 的定義域均為非負實數(shù)集，對任意的x 0 ，規(guī)定 f ( x)g ( x)min f (x), g( x), 若f ( x)3x, g( x)2x5,是 f ( x)g(x)的最大值為.3.已知函數(shù)f ( x)x33ax23x1.（ 1）設(shè)a2 ，求f ( x)的單調(diào)區(qū)間；（ 2）設(shè)f (x) 在區(qū)間 (2,3)上不單調(diào)，求a 的取值范圍.4. 已知函數(shù)f (x)x ，g (x)a ln x, aR .（ I ）若曲線yf ( x)與曲線yg (x) 相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；（ II ）設(shè)函數(shù) h(x)f ( x)g(x) ，當 h( x) ) 存在最小值時，求其最