常微分方程的實際應(yīng)用

1、常微分方程的實際應(yīng)用于萍摘要：常微分方程在當(dāng)代數(shù)學(xué)中是極為重要的一個分支，它的實用價值很高，應(yīng)用也很廣泛，本文主要介紹常微分方程在幾何、機(jī)械運(yùn)動、電磁振蕩方面的應(yīng)用，并舉例說明，體會常微分方程對解決實際問題的作用，在解決實際問題過程中通常是建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型，也就是建立反映這個實際問題的微分方程，求解這個微分方程，用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實際問題，從而預(yù)測到某些物理過程的特定性質(zhì)，以便達(dá)到能動地改造世界，解決實際問題的目的。關(guān)鍵字：常微分方程，幾何，機(jī)械運(yùn)動，電磁振蕩，應(yīng)用Abstract: Nomal differential equation is an important part o

2、f math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, sol

3、ute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process.Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use引 言數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實世界運(yùn)動過程中量與量之間的一種關(guān)系，但在大量的實際問題中遇到稍為復(fù)雜的一些運(yùn)動過程時，反映運(yùn)動

4、規(guī)律的量與量之間的關(guān)系(即函數(shù))往往不能直接寫出來，卻比較容易地建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)(或微分)間的關(guān)系式，不同的物理現(xiàn)象可以具有相同的數(shù)學(xué)模型，這一事實正是現(xiàn)代許多應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和工程人員應(yīng)用模擬方法解決物理或工程問題的理論依據(jù)。例如，利用電路來模擬某些力學(xué)系統(tǒng)或機(jī)械等等在現(xiàn)時已相當(dāng)普遍。在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其他領(lǐng)域中，例如化學(xué)、生物學(xué)、自動控制、電力技術(shù)等等，都提出了大量的微分方程問題，因此，社會的生產(chǎn)實踐是常微分方程理論取之不盡的基本源泉。此外，常微分方程與數(shù)學(xué)的其他分支的關(guān)系也是非常密切的。它們往往互相聯(lián)系、互相促進(jìn)。例如，幾何學(xué)、機(jī)械運(yùn)動、電磁振蕩就是常微分方程理論的豐富的源泉之

5、一，常微分方程也是解決實際問題不可或缺的武器。一、常微分方程在幾何學(xué)的應(yīng)用在幾何應(yīng)用問題中，列的方程常常是含有變限定積分的方程。在求解時要化為相應(yīng)的微分方程或微分方程初值問題。凡是能用定積分計算的量，一定分布在某個區(qū)間(比如)上，并且對于該區(qū)間具有可加性，曲邊梯形的面積與區(qū)間有關(guān)，當(dāng)把分成個部分區(qū)間時，則所求量也相應(yīng)地分成個部分量，而就等于所有這些部分之和，即，這時我們就稱面積對區(qū)間具有可加性，幾何中的面積、弧長，曲線方程等都具有這種特性。在求解微分方程的應(yīng)用問題時，列出方程是關(guān)鍵性的一步，一定要逐字逐句地仔細(xì)閱讀題目，根據(jù)題目的要求確定未知函數(shù)和自變量，然后利用題設(shè)中指出的(或包含的)相等關(guān)

6、系列出方程，應(yīng)用問題常常是初值問題。因而，要從題設(shè)中確定未知函數(shù)滿足的初始條件。常微分方程在解決幾何問題的過程中通常采用數(shù)形結(jié)合，達(dá)到簡易直觀的效果。利用表示曲線上點(diǎn)處的切線斜率或表示曲線上點(diǎn)的法線斜率以及表示由曲線，直線，軸所圍圖形的面積等方面的意義，列方程。解方程，在求解過程中一定要對常微分方程的解法熟悉于心，才能得心應(yīng)手。首先要審視方程，判斷方程類型，屬于一階微分方程還是可降階微分方程或高階微分方程等等。根據(jù)不同類型，確定解題方案。下面就讓我們結(jié)合具體例題來體會常微分方程在解決幾何問題的應(yīng)用。例12、設(shè)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為在軸上的投影。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

7、梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為，求的表達(dá)式。解：根據(jù)題意有：且，將上式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得當(dāng)時，可化為一階線性微分方程：方程兩邊同除，即得積分可得于是，方程通解為把代入通解，可確定常數(shù)故所求函數(shù)的表達(dá)式為：例22、在上半平面求一條向上凹的曲線，其任一點(diǎn)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段長度的倒數(shù)，(Q是法線與軸的交點(diǎn))，且曲線在點(diǎn)處切線與軸平行。解：見圖，所求曲線為，于是其在點(diǎn)處的曲率為：(曲線為凹的，)曲線在點(diǎn)處的法線方程：它與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，于是，由題設(shè)，即這是不顯含的方程初始條件為，令，于是方程變?yōu)?，代入，得，積分得代入，得故所求曲線為：，即例33、已知曲線過點(diǎn)，如果把曲線上任一點(diǎn)處的切線

8、與軸的交點(diǎn)記作，則以為直徑所做的圓都經(jīng)過點(diǎn)，求此曲線方程。解：見圖所求曲線設(shè)為于是切線方程為切線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)為切線段的中點(diǎn)，坐標(biāo)為圓經(jīng)過點(diǎn)于是得方程 令，則方程 (1)(2)令為的解，代入并整理，得故的通解為：即方程的通解為，代入初值，得故所求曲線為例41、在制造探照燈的反射鏡面時，總是要求將點(diǎn)光源射出的光線平行地反射出去，以保證探照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀。解：取光源所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)，而軸平行于光的反射方向，(見圖)。設(shè)所求曲面由曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)而成，則求反射鏡面問題歸結(jié)為求平面上的曲線的問題。過曲線上任一點(diǎn)作切線則由反射定律：入射角等于反射角，容易推知從而注意到及就

9、得到函數(shù)所滿足的微分方程式這是齊次方程。設(shè)，將它化為變量分離方程求解得 為任意常數(shù)故反射鏡面的形狀為旋轉(zhuǎn)拋物面二、常微分方程在機(jī)械振動中的應(yīng)用常微分方程與物理聯(lián)系甚為廣泛，下面我們就一起來看一下常微分方程在機(jī)械振動中的應(yīng)用，常微分方程解決力學(xué)問題需要：建立坐標(biāo)系，對所研究物體進(jìn)行受力分析；根據(jù)牛頓第二定律，列方程；解方程。下面，讓我們從實例中體會常微分方程在力學(xué)中的作用。例12：一個質(zhì)量為的船以速度行駛，在時，動力關(guān)閉，假設(shè)水的阻力正比于，其中為一常數(shù)，為瞬時速度，求速度與滑行距離的函數(shù)關(guān)系。解：船所受的凈力=向前推力-水的阻力=，加速度=速度對時間的導(dǎo)數(shù)，即，于是，由題設(shè)有現(xiàn)在要求的不是速度

10、與時間的關(guān)系，而是速度與距離的關(guān)系，設(shè)距離為，于是，上述方程可化為： ()當(dāng)時，兩邊積分，得把代入上式，得故當(dāng)時，()，積分得，將初值代入，得故例22、兩個質(zhì)量相同的重物掛于彈簧下端，其中一個墜落，求另一個重物的運(yùn)動規(guī)律，已知彈簧掛一個重物伸長為。解：如圖所示，建立坐標(biāo)系設(shè)彈簧自由狀態(tài)時長度為，取處(即掛一重物時彈簧的長度)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取軸鉛直向下，設(shè)在時刻，重物在處，由虎克定律知，此時彈性恢復(fù)力為為彈性系數(shù)，負(fù)號“”是因為彈性恢復(fù)力與位移反向，由牛頓第二定律有：掛兩重物時，彈簧伸長，由虎克定律有：方程，其特征方程：于是方程通解為把初始條件代入以上兩式得所求重物的運(yùn)動規(guī)律為例31 數(shù)學(xué)擺是系于

11、一根長度為的線上而質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿圓周動運(yùn)。如圖所示，試確定擺的運(yùn)動方程。 解：設(shè)取反時針運(yùn)動的方向作為計算擺與鉛垂線所成的角的正方向，質(zhì)點(diǎn)沿圓周的切向速度可以表為作用于質(zhì)點(diǎn)的重力將擺拉回平衡位置。把重力分解為兩個分量和，第一個分量沿著半徑的方向，與線的拉力相抵消，它不會引起質(zhì)點(diǎn)的速度的數(shù)值改變，因為總是使質(zhì)點(diǎn)向著平衡位置的方向運(yùn)動，即當(dāng)角為正時，向減小的方向運(yùn)動，當(dāng)角為負(fù)時，向增大的方向運(yùn)動，所以的數(shù)值等于，因此，擺的運(yùn)動方程是，即。(1)如果只研究擺的微小振動，即當(dāng)比較小時的情況，我們可以取的近似值代入上式，這樣就得到微小振動時擺的運(yùn)動方程：(2)如果我們

12、假設(shè)擺是在一個粘性的介質(zhì)中擺動，那么，沿擺的運(yùn)動方向就存在一個與速度成比例的阻力，若阻力系數(shù)為，則擺動方程為。(3)如果沿擺的運(yùn)動方向恒有一個外力作用于它，這時擺的運(yùn)動稱為強(qiáng)迫微小振動，其方程為：。當(dāng)要確定擺的某一個特定運(yùn)動時，我們應(yīng)給出擺的初始狀態(tài)：當(dāng)時，。這里代表擺的初始位置，代表初始角速度。例43：生產(chǎn)實踐中很多機(jī)械問題都?xì)w結(jié)為彈性振動問題，下面便是一個彈簧振動的典型例子。設(shè)有彈性系數(shù)而自然長度為的彈簧豎著懸掛著。它的上端固定，下端懸掛，一個質(zhì)量為的物體，物體受到垂直干擾力，求物體的運(yùn)動規(guī)律所滿足的微分方程。解：如圖所示，取通過懸掛點(diǎn)的直線為軸，向下記為正方向，原點(diǎn)取在系統(tǒng)平衡位置，為確

13、定物體運(yùn)動規(guī)律，先分析它的位置，處的受力情況。(1) 彈簧彈性力，依虎克定律，其中為彈簧在物體重力作用下的伸長量。(2) 物體所受重力(3) 介質(zhì)阻力與物體運(yùn)動速度成正比，與運(yùn)動方向相反，其中為常數(shù)，稱為阻尼系數(shù)。(4) 重力干擾力因此，這時物體所受合外力再由牛二定律，得方程：由于系統(tǒng)的平衡位置處，彈性力與重力平衡，故有于是上述方程寫成 若記， 則可寫成 這就是該物體在外力作用下運(yùn)動規(guī)律。所滿足的微分方程若物體振動過程中，未受外力干擾，即，則微分方程三、常微分方程在電磁振蕩中的應(yīng)用建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型一般是比較困難的，因為這需要對與問題有關(guān)的自然規(guī)律有一個清晰的了解，如前面所求的力學(xué)問題就

14、要對牛二定律有清楚的認(rèn)識，同時也需要有一定的數(shù)學(xué)知識，為了要建立起實際問題的數(shù)學(xué)模型，一定要學(xué)習(xí)有關(guān)的自然科學(xué)和工程技術(shù)的專業(yè)知識，微分方程往往可以看作是各種不同物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，我們在建立微分方程的時候，只能考慮影響這個物理現(xiàn)象的一些主要因素，而把其它一些次要因素忽略掉，如果的確考慮到了那些最主要的因素，那么，我們所得到的微分方程，它的解和所考慮的物理現(xiàn)象就是比較接近的，這時，我們得到的數(shù)學(xué)模型是有用的，否則，我們還應(yīng)考慮其它一些因素，以便建立起更為合理的數(shù)學(xué)模型，為了解決熱電學(xué)問題，需要了解其中的一些基本規(guī)律，如下面將用到牛頓冷卻定律，其內(nèi)容為熱量總是從物體中溫度高的向溫度低的物體傳導(dǎo)；

15、在一定溫度范圍內(nèi)，一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度和其所在介質(zhì)溫度差值成比例，等等，我們將在實例中一一解答。常微分方程解決電磁振蕩問題通常建立起電熱學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型，也就是反映這個實際問題的微分方程。求解這個微分方程。用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果解釋實際問題，從而預(yù)測到某些物理過程的特定性質(zhì)，以便達(dá)到能動地改造世界，解決實際問題的目的。接下來，就讓我們從實例中體會常微分方程在電熱方面的應(yīng)用。例11. 電路，如圖，它包含電感，電阻和電源，設(shè)時，電路中沒有電流，我們要求建立：當(dāng)開關(guān)閉合后，電流應(yīng)該滿足的微分方程，假設(shè)都是常數(shù)。解：為了建立電路的微分方程，我們引用關(guān)于電路的基爾霍夫第二定律：在閉合回路中，

16、所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零。注意到經(jīng)過電阻的電壓降是，而經(jīng)過電感的電壓降是，由基爾霍夫第二定律得到。即求出的應(yīng)滿足條件：當(dāng)時，如果假定在時，電源突然短路，因而變?yōu)榱?，此后亦保持為零，那么電流滿足方程。，及條件時，例21 電路，如圖所示，它包括電感，電阻和電容，設(shè)均為常數(shù)，電源是時間的已知函數(shù)，我們要求建立：當(dāng)開關(guān)閉合后，電流應(yīng)滿足的微分方程。解：注意到經(jīng)過電感，電阻和電容的電壓降分別為，和，其中為電量，因此由基爾霍夫第二定律得到 ，微分上式得到這就是電流應(yīng)滿足的微分方程，如果=常數(shù)，得到如果又有，則得到例31. 電容器的充電和放電，如圖所示電路，開始時電容上沒有電荷，電容兩端電壓為零，我們

17、把開關(guān)閉合“1”后，電池就對電容充電，電容兩端電壓逐漸升高，經(jīng)過相當(dāng)時間后，電容充電完畢，我們再把開關(guān)合上“2”，這時電容就開始放電過程，現(xiàn)在要求找出充、放電過程中，電容兩端的電壓隨時間的變化規(guī)律。解：對于充電過程，由閉合回路的基爾霍夫第二定律有 對電容充電時，電容上的電量逐漸增多，根據(jù)得到： 將代入，得滿足的微分方程： 這里都是常數(shù)，方程屬于變量分離方程，將變量分離得到兩邊積分，得到即這里為任意常數(shù)。將初始條件：時，代入得到 這就是電路充電過程電容兩端的電壓變化規(guī)律，由知道，電壓從零開始逐漸增大，且當(dāng)時，在電工學(xué)中，通常稱為時間常數(shù)，當(dāng)時，就是說，經(jīng)過的時間后，電容上的電壓已達(dá)到外加電壓的95%，實際上，通常認(rèn)為這時電容的充電過程已基本結(jié)束，易見充電結(jié)果，對于放電過程，可以類似地進(jìn)行。例41將某物體放置于空氣中，在時刻時，測量它的溫度為，10分鐘后測量得溫度為，我們要求決定此物體的溫度和時間的關(guān)系，并計算20分鐘后物體的溫度，這里假定空氣的溫度保持為。解：設(shè)物體在時刻的溫度為，則溫度的變化速度以來表示，根據(jù)牛頓冷卻定律知，熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)，所以溫差為正，又物體將隨時間而逐漸冷卻，故溫度變化速度恒為負(fù)，因此由牛頓冷卻定律得到 這里是比例常數(shù)式就是物體冷卻過程數(shù)學(xué)模型，為了決定物體的溫度和時間的關(guān)系