第4章拉普拉斯變換、連續(xù)時間

1、第四章第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時間拉普拉斯變換、連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)的s域分析域分析n4.1 引言引言u拉普拉斯變換的優(yōu)點：1. 使微分方程的求解得到簡化，將“微分”和“積分”運算轉(zhuǎn)換為“乘法”和“除法”運算。可同時給出特解和齊次解，并自動包含初始條件；2. 可將指數(shù)函數(shù)、超越函數(shù)及具有不連續(xù)點的函數(shù)轉(zhuǎn)換為初等函數(shù)；3. 可將卷積運算轉(zhuǎn)換為變換域中兩函數(shù)的乘法運算，并建立起系統(tǒng)函數(shù)；4. 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)零、極點的分布，可以直觀地考察系統(tǒng)的性能特性；n4.2 單邊拉普拉斯變換的定義、收斂域單邊拉普拉斯變換的定義、收斂域1. 從傅里葉變換到單邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換 信號f(t)若滿足絕對可積

2、條件，則其傅里葉變換一定存在。反之其傅里葉變換不一定存在。如信號u(t)在引入沖激函數(shù)后其傅里葉變換存在，而信號 的傅里葉變換不存在。若給 乘以衰減因子 ，信號 ,滿足絕對可積條件，則其傅里葉變換存在。( )(0)te u t( )f t()te( )tf t e令則雙邊拉氏變換：拉氏逆變換： 對于某些非因果信號，其單邊拉氏變換也從0-時刻開始的，所以f(t)的單邊拉氏變換可以理解為f(t)u(t- 0-)的單邊拉氏變換。單邊拉氏變換與傅氏的區(qū)別： 傅氏變換將時域函數(shù)f(t)變換為頻率函數(shù)F() ，t和都是實數(shù)；拉氏變換將時間函數(shù)f(t)變換為復(fù)變函數(shù)F(s) ，s為復(fù)數(shù)也稱作“復(fù)頻率”。 只

3、能描述振蕩的頻率， s不僅能給出振蕩頻率，還可以表示振蕩幅度的變化。 多數(shù)情況下f(t)為因果信號，所以拉氏變換的積分下限為0，又因為很多情況下 f(t)在0時刻前后會發(fā)生跳變，即f(0-)f(0+)，為便于研究在t=0時刻發(fā)生跳變的現(xiàn)象，規(guī)定單邊拉氏變換的積分下限從0-開始，即：單邊拉氏變換2. 單邊拉氏變換的收斂域若則0叫做收斂坐標(biāo)，是實軸上的一個點。穿過0并與虛軸j平行的直線叫做收斂邊界。收斂軸的右邊為收斂區(qū)，收斂區(qū)不包括收斂軸。 時間有限信號，能量有限信號的拉氏變換一定存在，因此這類信號在整個復(fù)平面上都收斂，即收斂軸為。 對于比指數(shù)函數(shù)增長更快的函數(shù)，其單邊拉氏變換不存在，但若把這類信

4、號限定在有限時間范圍內(nèi)，可以進(jìn)行拉氏變換。3. 常用信號的單邊拉氏變換(1)階躍函數(shù)(2)沖激函數(shù)(3) 指數(shù)信號依此類推證明：證明：(4) t n (n為正整數(shù))n4.3 單邊拉氏變換的性質(zhì)單邊拉氏變換的性質(zhì)1. 線性若則2. 時移若則證明：證明：例例 求f1(t)=sintu(t)， f2(t)=sin(t-t0)u(t)；f3(t)=sintu(t-t0)；f4(t)=sin(t-t0)u(t-t0)的拉氏變換。 解 ：f1(t)、 f4(t)可以直接用公式： 例例 f(t)如圖所示， 求其拉氏變換 解 ：令3. 頻移若則 證明證明:同理4. 尺度變換若則 證明證明:5. 時域微分若則同

5、理, 令 ， 則證明證明:依此類推，可得例例: 求 的單邊拉氏變換解解例例 已知 求 的單邊拉氏變換 解二：解二：解一：解一：采用0-系統(tǒng) 當(dāng) 在t=0點有沖激信號時，采用0+和0-系統(tǒng)求得的單邊拉氏變換是不同的。為不使t=0點的沖激信號丟失，單邊拉氏變換一般采用0-系統(tǒng) 。若采用0+系統(tǒng)，則 注：因果信號與非因果信號的單邊拉氏變換可能是不同的注：因果信號與非因果信號的單邊拉氏變換可能是不同的因果非因果因果非因果f2(t)在0點不連續(xù)f2(t)在0點連續(xù)例例 求f(t)的單邊拉氏變換解一：解一：解二：解二：6. 復(fù)頻域微分若則 證明：證明： 推廣至復(fù)頻域的高階導(dǎo)數(shù) 例例: 求 的單邊拉氏變換解

6、解7. 時域積分若則 證明證明: 所以例例 求f(t)的單邊拉氏變換解解8. 復(fù)頻域積分若則注：此性質(zhì)要求t=0時f(t)=0 ，且 存在 證明證明:例例: 求 的單邊拉氏變換解解 9. 周期信號的單邊拉氏變換。 解 令f1(t) 表示f(t)第一周期，則例例 已知 ， 求F(s) 解解 例例 求圖示周期半波整流波形的單邊拉氏變換 解一解一:f(t)的第一個周期可表示為解二：解二：半波整流波形第一周期的波形可由兩個波形疊加， 即 10. 初值定理若f(t)及 可進(jìn)行拉氏變換,且則 證明證明:注注：無論采用0-還是0+系統(tǒng)，初值都是f(t)在t0+ 時刻的值。如果F(s)是有理代數(shù)式，必須是真分

7、式，即分子的階次應(yīng)低于分母的階次。如果F(s)不是真分式，則應(yīng)利用長除法，使F(s)出現(xiàn)真分式項F0(s)：證明：設(shè)F(s)長除后為沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在t0+ 時刻全為0，于是11. 終值定理若f(t)及 可進(jìn)行拉氏變換,且則 函數(shù)存在終值的條件是F(s)的所有極點在s平面的左半面，F(xiàn)(s)可以有在原點處的單極點。 證明證明: 由例例 (1)(2) (3)(4) F(s)的極點位于右半平面，因而終值不存在F(s)的一階極點位于原點和虛軸的 處，因而終值不存在。12. 卷積定理若則 證明證明:n4.4 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換 單邊拉氏變換只考慮t0的時間函數(shù)，若已知拉氏變換F(s)及其收

8、斂域，則逆變換式f(t)只有在t0時表達(dá)式被唯一確定。對于t0的表達(dá)式，若收斂域包括， f(t) 0；若收斂域不包括， f(t)不定。1. 部分分式分解 含有高階導(dǎo)數(shù)的線性、常系數(shù)微分方程經(jīng)拉氏變換后變?yōu)閮蓚€s的多項式之比，稱為s的有理分式：(1) F(s)只具有單極點umn則 例例 已知已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換解解umn 當(dāng)mn時，利用長除法將分子多項式的高次項提出，對余下的mn部分處理同上。 對提取的sr部分（0rm-m），利用微分性質(zhì)：例例 已知函數(shù) ， 求原函數(shù)f(t)。 解解 (2) F(s)有重極點umn其中, s=p1是F(s)的k階極點, 由F(s)可展開為式中, 是

9、展開式中與極點p1無關(guān)的部分。 例例 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。 解解例例 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。 解解(3) F(s)有復(fù)極點 令K1=A+jB， K2=A-jB 設(shè)分子s多項式的系數(shù)為實數(shù) ，則例例 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。 解解例例 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換f(t)。 解解例例解解2. 通分法umn(2)例例 (1)3. 留數(shù)法若pi為一階極點若pi為k階極點例例 已知 ，求F(s)的單邊拉氏逆變換。 解解n4.5 用單邊拉氏變換法分析電路、用單邊拉氏變換法分析電路、s域元件模型域元件模型 用拉氏變換求解線性微分方程， 可以把對時域求

10、解微分方程的過程， 轉(zhuǎn)變?yōu)樵趶?fù)頻域中求解代數(shù)方程的過程， 再經(jīng)拉氏反變換得到方程的時域解。例例 t=0以前，開關(guān)位于“1”，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)， t=0時刻，開關(guān)轉(zhuǎn)至“2”，寫出i(t)及其一階導(dǎo)數(shù)在t=0-、 t=0+時刻的值，并求響應(yīng)i(t)。解一解一解二解二例例 t=0以前，開關(guān)位于“1”，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)， t=0時刻，開關(guān)轉(zhuǎn)至“2”，并求響應(yīng)vo(t)。解一解一采用0-系統(tǒng)因此，此題實際上采用的是0+系統(tǒng)解二解二采用0+系統(tǒng)若采用0- 系統(tǒng)因此，當(dāng)因此，當(dāng)0-和和0+時刻電路的參數(shù)不同時，不能用一個方程對時刻電路的參數(shù)不同時，不能用一個方程對系統(tǒng)進(jìn)行描述，采用系統(tǒng)進(jìn)行描述，采用0-系統(tǒng)

11、解微分方程會產(chǎn)生錯誤，此時應(yīng)采系統(tǒng)解微分方程會產(chǎn)生錯誤，此時應(yīng)采用用0+系統(tǒng)。系統(tǒng)。例例 t=0以前，開關(guān)位于“1”，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)， t=0時刻，開關(guān)轉(zhuǎn)至“2”，并求響應(yīng)vo(t)。解解例例 給定系統(tǒng)微分方程已知激勵信號對應(yīng)的響應(yīng)求系統(tǒng)的起始狀態(tài) 、 ，及系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。解解R、L、C元件的s域模型 設(shè)R, L, C元件的時域電壓電流參考方向關(guān)聯(lián) 若R, L, C元件的時域電壓電流參考方向非關(guān)聯(lián) 例例 電路如圖, 已知e(t)=10 V；vC(0-)=-5 V， iL(0-)=4 A， 求i1(t)。解解 列網(wǎng)孔方程： (1) 零狀態(tài)響應(yīng)， vC(0-)=iL(0-)=0(2

12、) 零輸入響應(yīng)， e(t)=0n4.6 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s) 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比（沖激響應(yīng)的拉氏變換）叫做“系統(tǒng)函數(shù)” 若R(s)與E(s)位于同一端口，H(s)稱為“策動點函數(shù)”或“驅(qū)動點函數(shù)”；若R(s)與E(s)不在同一端口，則H(s)稱為“轉(zhuǎn)移函數(shù)”p對于一個網(wǎng)絡(luò)，可以列寫網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點或網(wǎng)孔方程：若僅當(dāng)n=j時Ej(s) 0，則例例 已知所有電容都為1F，所有電阻都為1，求解解n4.7 H(s)零、極點分布與時域特性、穩(wěn)定性的關(guān)系零、極點分布與時域特性、穩(wěn)定性的關(guān)系 H(s)的零點在復(fù)平面上用“”表示，極點用“”表示，在同一位置畫兩個相同符號表示二階。1.

13、H(s) 零、極點分布與h(t)波形特征的對應(yīng)關(guān)系 H(s)與h(t)是一對拉氏變換對, 只要知道H(s)的零、 極點在s平面上分布情況， 就可以知道h(t)的變化規(guī)律。H(s) 極點分布與階次決定h(t)波形(1) H(s)的極點位于s左半平面(2) H(s)的極點位于右半平面(3) H(s)的極點位于原點(6) H(s) 的極點位于虛軸 由以上各式可以看出， H(s)的全部極點位于左半平面，則h(t)的波形為衰減形式；若H(s)有極點位于右半平面，則h(t)的波形為增長形式；虛軸上的一階極點對應(yīng)的h(t)波形成等幅振蕩、階躍函數(shù)或沖激串形式；虛軸上的二階極點對應(yīng)的h(t)波形成增長形式。H

14、(s)的零點分布情況影響h(t)的相位和幅度，零點階次的變化不但影響h(t)的相位和幅度，還可能使時域波形出現(xiàn)沖激函數(shù)。2. H(s) 、 E(s)極點分布與自由響應(yīng)、強迫響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系自由響應(yīng)自由響應(yīng)強迫響應(yīng)強迫響應(yīng) 由系統(tǒng)函數(shù)H(s) 的極點pi決定的響應(yīng)稱為“自由響應(yīng)”，由激勵函數(shù)E(s)的極點pk決定的響應(yīng)稱為“強迫響應(yīng)”，但pi和pk只能決定“自由響應(yīng)”和“強迫響應(yīng)”的形式，其系數(shù)Ki和Kk由H(s)和 E(s)共同決定。 對于方程組，定義系統(tǒng)行列式的根為系統(tǒng)的“固有頻率（自由頻率）”， 位于H(s) 的分母，所以H(s) 的極點pi都是系統(tǒng)的固有頻率，對應(yīng)自由響應(yīng)。 H(s) 的零

15、、極點可能相消，被消去的固有頻率將不存在，而零輸入響應(yīng)要求表現(xiàn)出全部固有頻率，所以H(s) 只適用于研究零狀態(tài)響應(yīng)，不適于研究零輸入響應(yīng)。例例 電感與電容的初始儲能為iL(0-)和vC(0-)，輸入為i(t)，輸出為 iL(t)，求系統(tǒng)函數(shù)，零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)。3. 暫態(tài)（瞬態(tài)）響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)響應(yīng)指激勵接入后，完全響應(yīng)中暫時出現(xiàn)的部分，隨著t的增加，暫態(tài)響應(yīng)最終趨于0。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是完全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)的剩余部分，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不隨t的增加而消失。暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與自由響應(yīng)、強迫響應(yīng)的關(guān)系H(s)極點左半平面自由響應(yīng)（衰減）暫態(tài)響應(yīng)右半平面自由響應(yīng)（增長） 虛軸自由響應(yīng)（等幅振蕩、增長）

16、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)E(s)極點左半平面強迫響應(yīng)（衰減）暫態(tài)響應(yīng)右半平面強迫響應(yīng)（增長） 虛軸強迫響應(yīng)（等幅振蕩、增長） 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)例例 若激勵信號v1(t)=10sintu(t)，求響應(yīng)v3(t)并指出自由響應(yīng)、強迫響應(yīng)、暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解解自由、暫態(tài)自由、暫態(tài)強迫、穩(wěn)態(tài)強迫、穩(wěn)態(tài)n4.8 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻響特性由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻響特性 “頻響特性”指系統(tǒng)在正弦信號激勵之下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號頻率的變化情況，包括“幅頻特性”和“相頻特性”兩個方面。令若則幅頻特性相頻特性設(shè)例例 求所示RC高通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性。例例 求所示RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性。例例 設(shè)圖中運算放大器輸入阻抗為，輸

17、出阻抗為0，(1) 求系統(tǒng)函數(shù)H( )(2) 若系統(tǒng)穩(wěn)定，求放大系數(shù)K的范圍；在邊界穩(wěn)定時，求沖激 響應(yīng)h(t)n系統(tǒng)穩(wěn)定時， H( )分母各項系數(shù)大于0n邊界穩(wěn)定時K3(3) 若K=1，分析其頻率特性(4) 若運算放大器開環(huán)（斷開反饋電容C）， K=1，比較閉環(huán)與開環(huán)的濾波特性 對比發(fā)現(xiàn)，接入正反饋后可使濾波器的帶寬增加，過渡帶減小，性能得到提高。例例 求所示二階RC系統(tǒng)的頻響特性，其中R1C1 R2C2 。 較低時， ， ， ， ， ， ，起主要作用 ，系統(tǒng)呈高通特性。 較高時， ， ， ， 起主要作用 ，系統(tǒng)呈低通特性。 處于中間頻率 時， ， ， ，n4.9 二階諧振系統(tǒng)的二階諧振系統(tǒng)

18、的s平面分析平面分析諧振頻率令(1)(2)(3)(4)對于高Q（ Q 10）情況， ，p1，p2非常靠近虛軸，當(dāng) 位于 附近時令例例 分析下圖的幅頻與相頻特性解解極點零點u若系統(tǒng)的零、極點非?？拷撦S極點零點n4.10 全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點分布全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點分布全通函數(shù)的零、極點分布全通函數(shù)的零、極點分布 如果系統(tǒng)函數(shù)的零點位于右半平面，極點位于左半平面，且零、極點關(guān)于虛軸鏡象對稱，這種系統(tǒng)函數(shù)稱為全通函數(shù)。對于所有頻率，其幅頻特性為常數(shù)。最小相移函數(shù)的零、極點分布 系統(tǒng)函數(shù)的零點僅位于左半平面或虛軸的函數(shù)“最小相移函數(shù)”；部分零點位于右半平面的函數(shù)稱為“非最小相

19、移函數(shù)”；全部零點位于右半平面的函數(shù)稱為“最大相移函數(shù)”。最小相移函數(shù)最大相移函數(shù)非最小相移函數(shù)可以表示為最小相移函數(shù)與全通函數(shù)的乘積 設(shè)H(s)位于右半平面的零點為：與右半平面的零點鏡象對稱的點為：最小相移函數(shù)全通函數(shù)函數(shù)n4. 11 線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性的因果性與穩(wěn)定性1. 因果性2. 穩(wěn)定性p時域定義 ： 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件證明：因為穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界輸入，其輸出也是有界的，因此若系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 ，但這是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充分條件。ps域定義：(1) 穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部極點位于左半平面（不含虛軸）。(2) 不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部或部分極點位于右半平面

20、，或在虛軸上具有二階以上的極點，h(t)隨t增長而增長。(3) 臨界穩(wěn)定系統(tǒng)： H(s)的一階極點位于虛軸上， h(t)趨于一個非零常數(shù)、等幅振蕩或沖激序列。系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性概念的比較 系統(tǒng)在t0時刻的響應(yīng)只與tt0的時刻有關(guān)，而與未來的時刻無關(guān)的系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性指對應(yīng)于有界的輸入，系統(tǒng)的輸出亦有界。 這一概念適用于所有類型所有類型系統(tǒng)。而前面所講到的因果性和穩(wěn)定性的條件只適用于線性時不變線性時不變系統(tǒng)，在對系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性進(jìn)行判斷時應(yīng)注意適用條件。例例 系統(tǒng)沖激響應(yīng)為 ，試判斷其因果性和穩(wěn)定性。方法一方法一：h(t)的值只與當(dāng)前時間t有關(guān)，所以是因果系統(tǒng)，當(dāng)t為有限值時h

21、(t)的值亦有限，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。方法二方法二：t0時， h(t) 0，所以是非因果系統(tǒng)， ，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 兩種不同的方法得出了兩個不同的結(jié)論，方法一的原理適用于所有類型的系統(tǒng)，方法二的原理只適用于線性系統(tǒng)同，而 是非線性系統(tǒng)，所以方法二得出了錯誤的結(jié)論。例例 已知 ，求系統(tǒng)穩(wěn)定時k應(yīng)滿足什么條件解解 系統(tǒng)穩(wěn)定則極點位于左半平面(1)若有兩實根， 則(2)若有兩復(fù)根， 則二階穩(wěn)定系統(tǒng)，二階穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)分母多項式系數(shù)全部為正，二階以上穩(wěn)定分母多項式系數(shù)全部為正，二階以上穩(wěn)定系統(tǒng)不適用本結(jié)論。系統(tǒng)不適用本結(jié)論。例例 求帶有反饋的系統(tǒng)函數(shù)H(s)反饋量與輸入量同相為正反饋，反相為負(fù)反饋。反饋量與輸入量同相為正反饋，反相為負(fù)反饋。 若輸入信號消失仍能維持穩(wěn)定輸出，此時為正反饋，產(chǎn)生了自激，即例例 設(shè)圖中運算放大器輸入阻抗為，輸出阻抗為0 的幅頻特性見右圖，可見RC構(gòu)成選頻網(wǎng)絡(luò)，n邊界穩(wěn)定時K3，對于頻率0， ，對于其它頻率 此時系統(tǒng)產(chǎn)生了自激振蕩，從表面上看系統(tǒng)自激振蕩時不需要輸入信號，實際上系統(tǒng)自激振蕩時的輸入信號中含有 ，其頻譜包含無窮多的頻率分量，通過選頻網(wǎng)絡(luò)將振蕩頻率以外的頻率分量全部濾除，只輸出振蕩頻率分量，輸出又通過反饋回路送入