一葉而知秋一題一世界

1、11 yjx2 + y2 + v3xy1 + 的+®)b 1 +尸<2,所以仁號(hào)的最大值為2“一葉而知秋，一題一世界”有感于一道高考向量問題的一題多解邵峰棋（安吉天略外國語學(xué)校浙江安吉313300）俗語說：“一葉而知秋”，這句話給我們提供了一種研究問題的思路，體現(xiàn)了微觀和宏觀之間的一種 共通和互融的關(guān)系，是一種通過現(xiàn)象看問題本質(zhì)的途徑.就我們數(shù)學(xué)教師而言,提高學(xué)生的解題能力是我們 共同的目的，而實(shí)際上往往事與愿違，我們讓題海包圍,而學(xué)生卻讓題海淹沒，教學(xué)效益和學(xué)習(xí)效率沒有得到 更大地改善和提高.筆者認(rèn)為,只有深入研究問題求解中的各種可能性和問題所呈現(xiàn)出的有利于教學(xué)的隱性 資源，

2、通過一題多解調(diào)動(dòng)學(xué)生頭腦中沉睡的知識(shí)鏈接，改善學(xué)生固化的思維習(xí)慣，讓學(xué)生樂于思考，勇于探索, 進(jìn)而改善并提高學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力，這才是我們數(shù)學(xué)教學(xué)所追求和倡導(dǎo)的.以下以2013年浙江省高考數(shù)學(xué) 第17題為例進(jìn)行說明和論述，該題如下：6b設(shè) l 為單位向量，非零向量片=足+ '品,工,養(yǎng)r,若«公的夾角為生，則四的最大值等于該解法從函數(shù)入手，通過相關(guān)運(yùn)算得到一個(gè)兩元函數(shù)，然后換元轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)求解最值，從這個(gè)角度而 言，盡管是考察平面向量的有關(guān)內(nèi)容，卻沒有放棄對于主干知識(shí)函數(shù)的考察解法 2 /. b = x 一題多解,探析解題思路 2 .r解法 1 b =|/?|2= （xel

3、 +ye2）* 2=x2 + y2 + v3xy + y2 + 3xy （*）設(shè)修則國=刑 代入上*式，得+鑫附+ 酒 _懺=0一4（戶一1）。上式可看作關(guān)于y的一元二次方程，方程有解 . =（7 方）一4（尸 一1）方 2 2 0/. 3/2 bb 沁 r <4/r>0 .0<z<2 該解法運(yùn)用了函數(shù)到方程的轉(zhuǎn)換,利用判別式求得最值，體現(xiàn)了方程思想解法 3 元=| 引 2=（出 + -）2=x2 + ,2 + 的=（田）2 +（里）2 + xybbbb令= s , 旦，則上式可化為 1 =冰 + + y/3mn1 = m2 + （-m + ?1）2bb42ir利用三角

4、換元尸=1 cosa |,項(xiàng)m + =| sin。|,頃的最大值為2該解法通過換元轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的特性求出最值解法4結(jié)合平面向量的基本定理可以從形的角度解決該問題（如圖1）利用平四邊形法則，考慮到x,y的符號(hào)，向量人可以圖中向量0g , of , 0d ,況某一個(gè)，其中obhoa=yoq= ocx, zboc=3ff ,根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩| x | sin。 sin。個(gè)三角形觀察山sins s"。所以斜in心解法5不妨設(shè)x主0,由b = xe + ye2,x,y e r可得:?.+結(jié)合平行四邊形法則（如圖2）xx xb11x1-|mil =-（垂直時(shí)），所以冬的最大值為2x2h

5、解法4和5利用數(shù)形結(jié)合，直觀而簡潔* -7t解法6利用坐標(biāo)化的思想，不妨將原題進(jìn)一步特殊化，若烏,。2的夾角為一，則向量人的坐標(biāo)可以設(shè)為2i y i（y,x），貝ij m=|sin«|,最大值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，所以通過建立坐標(biāo)系問題應(yīng)該可以得以解 b決（如圖3）,可得坐標(biāo)（與x+弘?尤），若方的起點(diǎn)為原點(diǎn)o設(shè)方與工軸正向所成角為。，1 一5（1,0）,則向量z?的坐標(biāo)為x sina = =r-1們田= 2|sina 區(qū)2b從以上6種解法來看，該題在解答過程中呈現(xiàn)出了比較豐富知識(shí)背景，就這一點(diǎn)而言，體現(xiàn)了高考的 命題取向,使得考生在解答過程中有較大的選擇余地，能夠更好地反應(yīng)學(xué)生

6、知識(shí)的掌握程度.就數(shù)學(xué)教學(xué)而言: “解題方法的多樣性，大大增強(qiáng)了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用能力，使得學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)僅僅通過一題就可 以感受到整個(gè)高中數(shù)學(xué)的總體脈絡(luò)，是對學(xué)生己有知識(shí)的一個(gè)凝聚和整合的過程，這樣必將提高教學(xué)效益 和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，就好像從一滴海水可以看到整個(gè)海洋的秘密，從一道題感受到整個(gè)數(shù)學(xué)體系的魅力， 可謂是：“一題一世界”.如果將該題的條件進(jìn)一步一般化，可以給出更為一般性的結(jié)論，如下：設(shè),e2為兩個(gè)不共線的非零向量，|烏|=。,|勺|=人，非零向量c = xel若弓,？的夾1x11角為0 （。仁（0,），則冬的最大值等于.（讀者可以利用以上的某種方法推導(dǎo)一下）|c|o|sino|

7、3.類題求解,感受共性特征例1 （2012年浙江卷理科第7題）設(shè)aabc中，r）是邊ab± 一定點(diǎn)，滿足b = -ab，且對于邊ab 上任意一點(diǎn)p,恒有疝無z而無，貝ua. zabc =90cb. zbac= 90° c. ab=ac d. ac=bc解 條件pc>b c pb- pcm.n = b c以a8的中點(diǎn)。建立直角坐標(biāo)系(如圖4)b設(shè) a(源),8俗,0), c(s,t), g)(5,0)，.戶為ab1.任意一點(diǎn).設(shè)p(x,0), pb=(b-xfi)pc = (s - x.t),則 pb- pc = x2 - (z? + s)x 4- bs> >

8、;/? + q hpb pc取得最小值時(shí)，x = - = - .s = 0 22可以得出ac=bc,故選d例2 （2013湖南卷理科）己知為單位向量，。方=0，若向量c 滿足c-a-b= .貝ij|c|的取值范圍解：數(shù)形結(jié)合（如圖5）, c的軌跡為半徑為1的一個(gè)圓，所以通過圖 形觀察得出| z |的取值范圍為扼-1,v2 + 1例 3 (2013 年重慶卷理科)，在平面上，afi, a.ab,ob=ob= 1,ap=abab，若| op<-, 則i湯i的取值范圍是()a. (0,季)b.(乎爭c.(乎扼d.(乎次 解：結(jié)合題目條件，數(shù)形結(jié)合(如圖6), a點(diǎn)的軌跡是以m為 圓心bb為直徑

9、的圓，因?yàn)楦1 液，p點(diǎn)也在圓m上, 設(shè)圓m的半徑為/, |。4閂雙| + |時(shí)4|即：| 湯 |=j1 一,2 +尸,("一'vrv' + ')44/2(r) = 1 + 2/(1 - r2)r2 g (-,2 => /(r) g (-,a/2lo2所以選d從以上三個(gè)類題和前面提及的各種解法和分析可以看出，平面向量的問題求解往往能夠呈現(xiàn)出多樣的 解題方法，體現(xiàn)了四個(gè)方面的思想:函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、坐標(biāo)化的思想.因此，注重思想領(lǐng) 會(huì)，淡化過度技巧，體現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)，深度挖掘習(xí)題背后的教育教學(xué)資源，增加學(xué)生必要的解題經(jīng)驗(yàn)和反思能 力才是是我們平時(shí)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)貫徹和執(zhí)行的.參考文獻(xiàn)1課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教課書必修4 m.北京:人民教育出版社,2007, 4.1追本溯源,感知命題背景該題考察了對于平面向量的基本概念的綜合運(yùn)用，其“源”題來自于必修4平面向量一章的課本習(xí)題 第4題（第102頁）,這道課本習(xí)題的條件和高考題非常相似，高考題就是