應(yīng)用隨機過程 第一章 預(yù)備知識

1、1 條件概率條件概率 設(shè) B 是一事件， 且 P(B)0. 給定事件B，事件 A 的條件概率為條件概率與條件期望條件概率與條件期望BP APABB（ ）= （）/P( ).概率與期望的關(guān)系概率與期望的關(guān)系: 定義示性函數(shù)定義示性函數(shù) (indictor function) .,)(AAIA01則則).()(AIEAP定理定理 1.9 （全概率公式）（全概率公式）nnnnnB nP(BAPAPBPA B設(shè)是 的一個分割，且對，)0. 如果 ，則（ ）=（） （ |） 。 F習(xí)題習(xí)題: 投資者為了解股票在未來一段時間內(nèi)的價格投資者為了解股票在未來一段時間內(nèi)的價格波動，往往會分析影響股票價格的基本因

2、素，波動，往往會分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化比如利率的變化. 現(xiàn)在估計利率下調(diào)的概率為現(xiàn)在估計利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為，利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗根據(jù)經(jīng)驗,在利在利率下調(diào)的情況下股票上漲的概率為率下調(diào)的情況下股票上漲的概率為80%,而在而在利率不變的情況下利率不變的情況下,價格上漲的概率為價格上漲的概率為40%. 求該支股票上漲的概率求該支股票上漲的概率.定理定理1.10 （Bayes 公式）公式） nnnnnkkkB nP(Bn 1PBPA BPB APBPA B設(shè)是 的一個分割，且對，)0， 則對 ，（ ）（ | ）（ | ）。（ ）（ | ） 2 條件

3、期望條件期望設(shè) X 是隨機變量， B 是事件且P（B）0, 則給定事件B， 隨機變量X的條件期望定義為BBEX | BP BX dP= P BEX I-1-1（）= ( ) ( )（）.性質(zhì)：性質(zhì)：XEEX=EX（1） 若，則 （ | ）。 1LBXEX=X a.s.（2） 若 是 隨機變量， 則 （ | ） ，。BB X=Y a.s. XEXEY（3） 若，且， 則 （ | ）= （ | ），a.s. 1LBBXYEaX+bY aE(X)+bE(Y)（4） 若a,b是實數(shù)， ， 則（）|=|，a.s. 1LBBBXYXYa.s.,E(X)E(Y)(5)若 ，且， 則|，a.s. 1LBBnn

4、nXE(supX)supE(X)(6)若是非負單調(diào)增加的隨機變量列， 則|，a.s.BB1nnnnnXXX. .YXYnlimE(X)E(X)a s(7)若是一列隨機變量，且使得|，則 |，a.s.LBBy=Y,xy)E(X,Y)E (XY)|YE (Xy)|X Y(9)若是兩個獨立的隨機變量，函數(shù) ( ， 使得(|) ,則 ， ，a.s作業(yè)：作業(yè)：結(jié)合結(jié)合概率論概率論和第一章的內(nèi)容，寫出學(xué)習(xí)心得和第一章的內(nèi)容，寫出學(xué)習(xí)心得.要求：要求：1. 可就某個知識點或某個定理、引理或例題等，可就某個知識點或某個定理、引理或例題等，用自己的語言寫出；用自己的語言寫出；2. 也可以寫一點對也可以寫一點對應(yīng)

5、用隨機過程應(yīng)用隨機過程 這們課的一些這們課的一些想法（例如希望通過學(xué)習(xí)這門課學(xué)點什么想法（例如希望通過學(xué)習(xí)這門課學(xué)點什么 等）等）.jjikiij=1i(1)AiIIiPAPAAiIP1kkj=1設(shè)，是 的事件族，如果對 的每個非空有限子集 ，.,i ，有 （）=（） 則稱，關(guān)于 是相互獨立的. F1.4.3 獨立性獨立性定義定義 1.11iii(3)XiI. .X XiIr v設(shè)，是 的族，如果 代數(shù)族 （）是獨立的，則稱，是相互獨立的. jjiiii(2)iIIiAiI1k設(shè)，是 的 子代數(shù)族，如果對 的每個非空有限子集 ，.,i ，使得上式成立，則稱，是相互獨立的. AFAA定理定理1.

6、131nkk(1)XXEXEXnnk=1k=1設(shè)，.,是獨立的，則 （）= 1L1nkk(2)XXvarXvar(Xnnk=1k=1設(shè)，.,是獨立的，則 （）= ) 2L定理定理1.14（Borel-Canteli 第一引理）第一引理）nnnnnA AlimsupA .PAPAi.o.設(shè)是一列事件，且若（）0,有 則稱，記作概率收斂 p pnpnn pnXp1XlimE(|XX| )=0,X n1Xp=2 pp(3)若，如果，使得則次平均收斂階矩收斂稱均方收斂，于，或稱為；當， 稱為。LLLnnnnnnnnF xF(x):FlimF (x)=F(x),F x F(x) XF xF x F(x) X(4)設(shè) （ ）是分布函數(shù)列，如果單調(diào)不減，使得對 (x)的所有連續(xù)點x有則稱（ ）于；再設(shè)是一列以 （ ）為分布函數(shù)的r.v