中考數(shù)學(xué)重難點專題講座第九講幾何圖形的歸納

1、中考數(shù)學(xué)重難點專題講座第九講幾何圖形的歸納 , 猜想 , 證明問題【前言】實行新課標(biāo)以來，中考加大了對考生歸納，總結(jié)，猜想這方面能力的考察，但是由于數(shù)列的系統(tǒng)知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。 08 年的中考填空壓軸是一道代數(shù)歸納題，已經(jīng)展現(xiàn)出了這種趨勢。 09 年的一模，二模也只是較少的區(qū)縣出了這種歸納題， 然而中考的時候就出了一道幾何方面的 n 等分點總結(jié)問題。 于是今年的一模二模，這種有關(guān)幾何的歸納， 猜想問題鋪天蓋地而來， 這就是一個重要的風(fēng)向標(biāo)。而且根據(jù)學(xué)生反映，這種問題一般較難，得分率很低，經(jīng)常有同學(xué)選擇 +填空就只錯了這一道。對于這類歸納總結(jié)問題來說， 思考的

2、方法是最重要的， 所以一下我們通過今年的一二模真題來看看如何應(yīng)對這種新題型。第一部分真題精講【例 1】 2010，海淀，一模如圖， n +1 個邊長為2 的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)B2 D1C1 的面積為 S1 ，B3 D2C2 的面積為 S2， , ，Bn1 DnCn 的面積為 Sn ，則 S2 =； Sn =_（用含 n 的式子表示） B1B2B3BB54D 1D2D3D 4AC1C2C3C4C5【思路分析】 拿到這種題型， 第一步就是認(rèn)清所求的圖形到底是什么樣的。本題還好，將陰影部分標(biāo)出， 不至于看錯。但是如果不標(biāo)就會有同學(xué)誤以為所求的面積是B2AC2 ,B3AC3 這種的 ,

3、 第二步就是看這些圖形之間有什么共性和聯(lián)系.首先S2所代表的三角形的底邊C2 D2是三角形 AC 2 D 2 的底邊 , 而這個三角形和 AC 3B3 是相似的 . 所以邊長的比例就是AC2與 AC3的比值 . 于是S2122 3. 接下來通過總結(jié) , 我們發(fā)現(xiàn)所求的三角形有一個22333最大的共性就是高相等, 為3（連接上面所有的B 點，將陰影部分放在反過來的等邊三角形中看）。那么既然是求面積，高相等，剩下的自然就是底邊的問題了。我們發(fā)現(xiàn)所有的B,C點連線的邊都是平行的，于是自然可以得出Dn 自然是所在邊上的n+1 等分點 . 例如 D2 就是 B2 C2 的一個三等分點 . 于是DnCnn

4、11 (n+1-1 是什么意思 ?為什么要減n121?) S Bn 1 D n C n 1 DnCn312 n33n22n 1n1【例 2】 2010，西城，一模在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱邊長為1 且頂點的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的正方形為單位格點正方形，如圖，菱形 ABCD 的四個頂點坐標(biāo)分別是( 8 ，0) ， (0 ，4) ， (8，0)， (0， 4)，則菱形 ABCD 能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)是_個；若菱形 An BnCn Dn的四個頂點坐標(biāo)分別為 ( 2n ，0) ， (0 ，n) ， (2n ，0) ， (0 ， n) （ n 為正整數(shù)），則菱形 An BnCn Dn 能覆蓋的單位格

5、點正方形的個數(shù)為 _（用含有 n 的式子表示） y4 BAC- 8O8 x- 4 D【思路分析】 此題方法比較多，例如第一空直接數(shù)格子都可以數(shù)出是48（笑）。這里筆者提供一種方法， 其他方法大家可以自己去想想看。因為求的是菱形包涵的正方形個數(shù)，所以只需求出被 X,Y 軸所分的四個三角形包涵的個數(shù)，再乘以 4 即可。比如我們來看第二象限那個三角形。第二象限菱形那條邊過（-2n,0 ） (0,n),自然可以寫出直線解析式為1,yx n2斜率 1 意味著什么 ?看上圖 , 注意箭頭標(biāo)注的那些空白三角形, 這些 RT三角形一共有 2n/2=n2個 , 他們的縱直角邊與橫直角邊的比是不是就是1 ?而且這

6、些直角三角形都是全等的, 面積2均為兩個單位格點正方形的一半. 那么整個的 AOB的面積自然就是 1 2nn , 所有 n 個空白2小三角形的面積之和為12 1, 相減之后自然就是所有格點正方形的面積n2n , 也就n2是數(shù)量了 . 所以整個菱形的正方形格點就是4n24n .【例 3】 2010，平谷，一模如圖， AOB45 ，過 OA 上到點 O 的距離分別為1，3，5，7，9 11. 的點作 OA 的垂線與 OB 相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為S1，S2，S3，S4， 則第一個黑色梯形的面積S1；觀察圖中的規(guī)律，第n ( n 為 正 整 數(shù) ) 個 黑 色 梯 形 的 面

7、積SnBS3S2S4S1013579A11 13 .【思路分析】 本題方法也比較多樣。 所有陰影部分都是一個直角梯形，而因為AOB 45 ，所以梯形的上下底長度分別都對應(yīng)了垂足到0 點的距離 , 而高則是固定的2。第一個梯形上底是 1，下底是3，所以S1 1 1 3 24 . 第二個梯形面積S2 157 212 , 第三個22是 S312 20 , 至此 , 我們發(fā)現(xiàn)本題中梯形面積數(shù)值上其實就是上下底的和9 11. 而且2各個梯形的上底都是前一個梯形上底加上4。于是第 n 個梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3, ( 第一個梯形的上底1 加上 (n-1) 個 4. ) 下底自然就是 4n-

8、1, 于是 Sn 就是 8n-4.【例 4】 2010，豐臺，一模在平面直角坐標(biāo)系中， 橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點稱為整點請你觀察圖中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3,每個正方形四條邊上的整點的個數(shù)按此規(guī)律推算出正方形A10 B10C10D10 四條邊上的整點共有個yA33D 3A22D 2A11D 1-3-2-1O1 2 3xB1-1C1B2-2C2B3-3C3【思路分析】 此題看似麻煩， 但是只要把握住 “正方形” 這個關(guān)鍵就可以了。對于 An BnCn Dn來說 , 每條邊的長度是2n, 那么自然整點個數(shù)就是2n+1，所以四條邊上整點一共有(2n+1)x4-4=

9、8n(個 ) ( 要減去四個被重復(fù)算的頂點), 于是 A10 B10 C10 D10 就是 80 個 .【例 5】 2010，宣武，一模如圖， ABC 中， ACB=90°， AC=BC=1，取斜邊的中點，向斜邊做垂線，畫出一個新的等腰直角三角形，如此繼續(xù)下去，直到所畫直角三角形的斜邊與ABC的 BC 邊重疊為止，此時這個三角形的斜邊長為_【思路分析】本題依然要找出每個三角形和上一個三角形之間的規(guī)律聯(lián)系。關(guān)鍵詞“中點”“垂線”“等腰直角” 。這就意味著每個三角形的銳角都是45 度，并且直角邊都是上一個三角形直角邊的一半。繞一圈是360 度，包涵了8 個 45°。于是繞到第八

10、次就可以和BC重疊了，此時邊長為ABC的 1 ，故而得解。8【例 6】 2010，門頭溝，一模如圖，以等腰三角形AOB 的斜邊為直角邊向外作第2 個等腰直角三角形 ABA1，再以等腰直角三角形 ABA1的斜邊為直角邊向外作第3 個等腰直角三角形A1BB1，, ，如此作下去，若OA OB 1 ，則第 n 個等腰直角三角形的面積Sn_ （ n 為正整數(shù)） .B2A1AOBB1【思路分析】 和上題很類似的幾何圖形外延拓展問題。還是一樣慢慢找小三角形面積的規(guī)律。由題可得2，S32nS1 1 ，S24. ，分子就是1,2,4,8,16 這樣的數(shù)列。于是 Sn2222【總結(jié)】 幾何圖形的歸納總結(jié)問題其實就

11、包括了代數(shù)方面的數(shù)列問題，只不過需要考生自己找出圖形與圖形之間的聯(lián)系而已。對于這類問題， 首先就是要仔細(xì)讀題，看清楚題目所求的未知量是什么， 然后找出各個未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了尋找未知量的拓展過程中，哪些變了， 哪些沒有變。 最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項去求解。在遇到具體關(guān)系很難找的問題時，不妨先寫出第一項，第二項，第三項然后去找數(shù)式上的規(guī)律，如上面例6 就是一例，如果糾結(jié)于幾何圖形當(dāng)中等腰三角形直角邊的平方，反而會使問題復(fù)雜化，直接列出前幾項的面積就可以大膽的猜測出來結(jié)果了。這類題目計算量往往不大，重在思考和分析的方法， 還請考生細(xì)心掌握。第二部分發(fā)散思考【思考 1】2009，西城，二

12、模如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，B1 (0,1)，B2(0,3)，B3(0,6)，B4 (0,10) ，, ，以B1B2為對角線作第一個正方形A1B1C1B2，以B2 B3為對角線作第二個正方形A2 B2C2 B3，以 B3B4為對角線作第三個正方形 A3 B3C3 B4，, ，如果所作正方形的對角線Bn Bn 1都在y 軸上，且 Bn Bn1的長度依次增加1 個單位，頂點An 都在第一象限內(nèi)（ 1，且n為整數(shù)）那么的縱坐標(biāo)為；用nnA1的代數(shù)式表示 An 的縱坐標(biāo)：【思考2】2009，朝陽，二模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一顆棋子從點P處開始跳動，第一次跳到點P關(guān)于x 軸的對稱點P1 處，接

13、著跳到點P1 關(guān)于y 軸的對稱點P2處，第三次再跳到點P 關(guān)于原點的對稱點處，2, ，如此循環(huán)下去當(dāng)跳動第2009 次時，棋子落點處的坐標(biāo)是【思考 3】2009，昌平 , 一模對于大于或等于2 的自然數(shù) n 的平方進行如下“分裂”，分裂成n 個連續(xù)奇數(shù)的和，則自然數(shù) 72 的分裂數(shù)中最大的數(shù)是，自然數(shù) n 2 的分裂數(shù)中最大的數(shù)是.11335【思考 4】2009，延慶，一模一個質(zhì)點在第一象限及x 軸、 y 軸上運動，在第一秒鐘，它從原點運動到(0，1) ，然后接著按圖中箭頭所示方向運動, 即 (0，0)(01)，(11)，(1，0) ，且每秒移動一個單位，那么第35 秒時質(zhì)點所在位置的坐標(biāo)是_y321,012 3x【思考5】2009，海淀，二模如圖，將邊長為 1n1,2, 3,的正方形紙片從左到右順次擺放，其對應(yīng)的正方形(n)2的中