數(shù)字信號(hào)處理快速傅里葉變換

1、三、離散傅里葉變換（DFT）( )()rx nx nrN( )( )( )Nx nx n Rn ( )( )NX kXk( )( )( )NX kX k Rk同樣：X(k)也是一個(gè)N點(diǎn)的有限長序列( )( )Nx nNx n長度為 的有限長序列周期為 的周期序列( )Nx n( )x n的主值序列( )x n 的周期延拓有限長序列的DFT正變換和反變換：10( ) ( )( ) 01NnkNnX kDFT x nx n WkN101( )( )( ) 01NnkNkx nIDFT X kX k WnNN2jNNWe其中：10( )( )( )( )( )NnkNNNnX kx n WRkX k

2、 Rk或 101( )( )( )( )( )NnkNNNkx nX k WRnx n RnNx(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔抽樣；DFTz與序列的DTFT和 變換的關(guān)系：10( )( )NnnX zx n z10( )( )NnkNnX kx n W10()( )Njj nnX ex n e2()jkNX ex(n)的DTFT在區(qū)間0，2上的N點(diǎn)等間隔抽樣。2( )jkkNNz WeX z4( )( ),( )816DFTx nR nx n例：已知序列求的 點(diǎn)和點(diǎn)。 DTFTx n解：求的 jj nnX ex n e222222jjjjjjeeeeee32sin

3、2sin/2je30j nne411jjee 8 8x nDFTN 求的 點(diǎn) 28jkX kX e32 42sin 281 2sin28jkkek38sin2sin8jkkek 16 16x nDFTN 求的點(diǎn) 216jkX kX e3 22 162sin 2161 2sin2 16jkkek316sin4sin16jkkek四 、抽樣z變換頻域抽樣理論時(shí)域抽樣定理：在滿足奈奎斯特定理?xiàng)l件下，時(shí)域抽樣信號(hào)可以不失真地還原原連續(xù)信號(hào)。頻域抽樣呢？抽樣條件？內(nèi)插公式？ ( )()( )kNnkNz WnX kNWznXX zx對在單位圓上 點(diǎn)等間隔抽樣，得周期序列：( )( )?X kx n分析：

4、( )z( )( )nnx nX zx n z任意絕對可和的非周期序列，其 變換： ( )( )NxnX kIDFS令為的：101( )( )( )NnkNNkxnIDFS X kX k WN101( )NmknkNNkmx m WWN 1()01( )Nm n kNmkx mWN()rx nrN1()0110Nm n kNkmnrNWmN其它r為任意整數(shù)x(n)為無限長序列混疊失真x(n)為有限長序列，長度為M( )X k由頻域抽樣序列 還原得到的周期序列是原非周期序列 的周期延拓序列，其周期為頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N。( )x n所以：時(shí)域抽樣造成頻域周期延拓同樣，頻域抽樣造成時(shí)域周期延拓1 NM）

5、，不失真2NM），混疊失真頻率采樣定理若序列長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù):時(shí)，才有即可由頻域采樣 不失真地恢復(fù)原信號(hào) ，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。NM( )( )( )( )( )NNNxn RnIDFS X k Rnx n( )X k( )x n1101( )1N NkkNzX kNWz( )Mx nNNM點(diǎn)有限長序列，頻域 點(diǎn)等間隔抽樣，且 1100( )( )( )MNnnnnX zx n zx n z11001( )NNnknNnkX k WzN11001( )NNnknNknX kWzN11011( )1NkNNNkkNWzX kNWz用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式( )X k( )X

6、z1101( )( )1N NkkNzX kX zNWz內(nèi)插公式：111( )1NkkNzzNWz內(nèi)插函數(shù)：10( )( )( )NkkX zX kz則內(nèi)插公式簡化為： 20,1,.,1jrNzerN零點(diǎn)：，20 (-1)jkNzeN極點(diǎn)：， 階()( )jjkkz eez ()jX e用頻域采樣 表示 的內(nèi)插公式( )X k1(1)2sin21sin2kNjNjNNkNeeNkN10()( )( )()jNjjkz ekX eX zX ke12sin12 ( )sin2NjNeN內(nèi)插函數(shù)：102 ()( )()NjkX eX kkN內(nèi)插公式：212 ()20kikNkNiikN五 、用DFT

7、對模擬信號(hào)作頻譜分析對連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DFT逼近()( )j tX jx t edt 1( )2j tx tXjed()( )()j tj nTnX jx t edtx nT eT ntnTdtTdtT1）將 在 軸上等間隔（T）分段( )x tt2）將 截短成有限長序列( )x n00 tTN， 個(gè)時(shí)域抽樣點(diǎn)N-10()()j nTnX jTx nT e 002 F 0k 210( )NjnkNnTx n e3）頻域抽樣：一個(gè)周期分N段，采樣間隔 ，時(shí)域周期延拓， 周期為0F001/TF0N-100()()jknTnX jkTx nT e002/2 /sTFfN ( )T DFT x n

8、01()()2sj nTx nTX jed010001()2NjknTkX jke0100Nkdd 21000()NjnkNkFX jke21001()NjnkNskfX jkeN1NN01/()T IDFT X jk對連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的DFT逼近過程1）時(shí)域抽樣2）時(shí)域截?cái)?）頻域抽樣0() ( )X jkT DFT x n01( )()x nIDFT X jkT近似逼近：對連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的DFS逼近000001()( )TjktX jkx t edtT00( )jktkx tXjke010001()()NjknTnX jkx nT eTT0100 NTntnTdtTdtT1）將 在 軸

9、上等間隔（T）分段( )x tt1 ( )DFS x nN02 /TN0TNT2101( )NjnkNnx n eN2）頻域截?cái)啵洪L度正好等于一個(gè)周期0100()()NjknTkx nTX jke2100()NjnkNkX jke21001()NjnkNkNX jkeN0()N IDFS X jk01() ( )X jkDFS x nN0( )()x nN IDFS X jk近似逼近：信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換00shTfTFNf時(shí)域采樣間隔時(shí)域采樣頻率信號(hào)記錄長度（頻率分辨率）頻域采樣間隔采樣點(diǎn)數(shù)信號(hào)最高頻率00sTfNTF1/sfT2shff001/TF0sfNF0TNT頻率響應(yīng)

10、的混疊失真及參數(shù)的選擇00sTfNTF2shff時(shí)域抽樣：001/FT頻域抽樣：同時(shí)提高信號(hào)最高頻率和頻率分辨率，需增加采樣點(diǎn)數(shù)N。00sTfNTFhsff要增加信號(hào)最高頻率則0NF當(dāng) 給定必，即分辨率0001FTF要提高頻率分辨率，即則shNTff當(dāng) 給定 則要不產(chǎn)生混疊， 必信號(hào)最高頻率與頻率分辨率之間的矛盾hf信號(hào)最高頻率 的確定0/2htT0112hhfTtFFT例：有一頻譜分析用的處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪，假設(shè)沒有采用任何的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：11024HzkHz）頻率分辨率）信號(hào)最高頻率0 1 2T NT試確定以下參量：）最小記錄長度）抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔 （即最

11、小抽樣頻率）3）在一個(gè)記錄中最少點(diǎn)數(shù)1解： ）最小記錄長度：00110.110TsF221/shsfffT）最大抽樣間隔 （ ）3110125224 10hTmsf .3）最小記錄點(diǎn)數(shù)30224 1080010hfNF 10221024800mN 取 1-14 有一調(diào)幅信號(hào)用DFT做頻譜分析，要求能分辨 的所有頻率分量，問(1)抽樣頻率應(yīng)為多少赫茲（Hz）?(2)抽樣時(shí)間間隔應(yīng)為多少秒（Sec）?(3)抽樣點(diǎn)數(shù)應(yīng)為多少點(diǎn)？(4)若用 頻率抽樣，抽樣數(shù)據(jù)為512點(diǎn)，做頻譜分析，求 ，512點(diǎn)，并粗略畫出 的幅頻特性 ，標(biāo)出主要點(diǎn)的坐標(biāo)值。 1cos 2100cos 2600axttt axt3k

12、Hzsf ( ) ( )X kDFT x n( )X k( )X k（1）抽樣頻率應(yīng)為 2 7001400sfHz解：（2）抽樣時(shí)間間隔應(yīng)為110.000720.721400sTSecmsf 1cos 2100cos 2600axtttcos 260011 cos 2700cos 250022ttt61715cos 2cos 2cos 214214214nnn3( )( )at nTx nx t（ ）( )14x nN 為周期序列，周期14抽樣點(diǎn)數(shù)至少為點(diǎn)2/sTff 2/k N* /sffk N頻譜泄漏改善方法：對時(shí)域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏1）增加x(n)長度2）緩慢截短?hào)艡谛?yīng)改善

13、方法：增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N（時(shí)域補(bǔ)零），使譜線更密DFT只計(jì)算離散點(diǎn)（基頻F0的整數(shù)倍處）的頻譜，而不是連續(xù)函數(shù)頻率分辨率提高頻率分辨率方法： 增加信號(hào)實(shí)際記錄長度 補(bǔ)零并不能提高頻率分辨率001/FT第四章第四章 快速傅里葉變換快速傅里葉變換FFT: Fast Fourier Transform一、直接計(jì)算DFT的問題及改進(jìn)途徑10: ( ) ( )( )( )NnkNNnDFTX kDFT x nx n WRk10:1 ( )( )( )( )NnkNNkIDFTx nIDFT X kX k WRnN( )Nx n點(diǎn)有限長序列運(yùn)算量復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)X(k)NN 1N個(gè)X(k)(N點(diǎn)DFT

14、)N 2N (N 1)實(shí)數(shù)乘法實(shí)數(shù)加法一次復(fù)乘42一次復(fù)加2一個(gè)X (k)4N2N+2 (N 1)=2 (2N 1)N個(gè)X (k)(N點(diǎn)DFT)4N 22N (2N 1)10( )NnkNnx n Wajbcjdacbdj adcbnkNW 的特性*()() ()nknkN n kn N kNNNNWWWW對稱性()() nkN n kn N kNNNWWW周期性 nkmnkNmNWW可約性/nknk mNN mWW0/2(/2) 11Nk NkNNNNWWWW 特殊點(diǎn)：2jnknkNNWeNknkNNWWnNnkNNWW2jmnkmNe221NjjNee FFT算法分類:時(shí)間抽選法DIT:

15、Decimation-In-Time頻率抽選法DIF: Decimation-In-FrequencyFFTDFTDFTDFTDFT算法的基本思想： 利用系數(shù)的特性，合并運(yùn)算中的某些項(xiàng)， 把長序列短序列，從而減少其運(yùn)算量。二 、按時(shí)間抽選的基-2FFT算法1、算法原理設(shè)序列點(diǎn)數(shù) N = 2L，L 為整數(shù)。 若不滿足，則補(bǔ)零 12221xrx rxrxr0,1,.,/2 1rN將序列x(n)按n的奇偶分成兩組：N為2的整數(shù)冪的FFT算法稱基-2FFT算法。則x(n)的DFT: 111000NNNnknknkNNNnnnX kx n Wx n Wx n Wn為偶數(shù)n為奇數(shù)/2 1/2 121200

16、221NNrkrkNNrrxr WxrW /2 1/2 1221200NNrkrkkNNNrrx rWWxrW /2 1/2 11/22/200NNrkkrkNNNrrx r WWxr W 12kNXkW Xk,0,1,./2 1r kN再利用周期性求X(k)的后半部分1212( )( )( )()( )( )2kNkNX kX kW XkNX kX kW Xk0,1,.,/21kN 121122,/222XkXkNNNXkXkXkXk是以為周期的/22NkNkkNNNNWWWW 又分解后的運(yùn)算量：復(fù)數(shù)乘法復(fù)數(shù)加法一個(gè)N / 2點(diǎn)DFT(N / 2)2N / 2 (N / 2 1)兩個(gè)N / 2點(diǎn)DFTN 2 / 2N (N / 2 1)一個(gè)蝶