幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法遞推數(shù)列常常是高考命題的熱點(diǎn)之一.所謂遞推數(shù)列,是指由遞推公式所確定的數(shù)列.由 相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱為一階遞推公式，由相鄰三項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱為 二階遞推公式,依次類推.等差數(shù)列和等比數(shù)列是最基本的遞推數(shù)列.遞推數(shù)列基本問題之一 是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.下而是常見的遞推數(shù)列及其通項(xiàng)公式的求法.1一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式：加=七十/()這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列任(n)可求前n項(xiàng)和).當(dāng)/()為常數(shù)時(shí)，通過累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.而當(dāng)/()為等差數(shù)列時(shí),則天.=$+/()為二階等差數(shù)列，共通

2、項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為%=卬22+的? +。形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是S” =/+，其常數(shù)項(xiàng)一定為0.(2)這類遞推數(shù)列可通過累乘法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列g(shù)(n)可求前n項(xiàng)積).當(dāng)g(n)為常數(shù)時(shí)，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3) xn+l = qxn+ d(q,d為常數(shù)夕 W0,4 W1)；這類數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為玉7+ = "(土+ )，或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式4+2 -%7 =例4+1一%)例1已知數(shù)列優(yōu)中，玉=1, 土 =2玉_1+1(“22),求土的通項(xiàng)公式.解析解法一.轉(zhuǎn)化為Xz+ = q(七+ p)型遞推數(shù)列.V xn = 2x_t +1(/7 &g

3、t; 2), * xn +1 = 2(xn_l + l)(n 之 2),又 $ +1 = 2，故數(shù)列 +1 是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.七+1 = 2",即七=2"-1.解法二.轉(zhuǎn)化為七+2 -七+1 =a天+】一天)型遞推數(shù)列.,F = 2xm+l(n22)J = 2x*+l一，得/7-七=2(%/_1) (n22),故怎怎是首項(xiàng)為xx尸2,公比為2的等比數(shù)列，即七陽一七 =22"t=2",再用累加法得七=2一1.解法三.用迭代法.4= 2七_(dá) +1 = 2(2 七 _2 +1) + 1 = 22 七_(dá)2 + 2 +1 =2t 玉 + 2” + 2

4、二 + 2+1 = 2.當(dāng)然，此題也可用歸納猜想法求之，但要用數(shù)學(xué)歸納法證明.例2已知函數(shù)/（x） = -2x + 2（J W1）的反函數(shù)為,，= g（x）,玉=1,=身（%），工3 =且“2），-E =身（玉-1），求數(shù)列七的通項(xiàng)公式解析由已知得g(x) = -x+l(O<x< 1),則玉=1,X“ = -Xn_, +1( > 2).221132令/ + = 一 （5_| + ）=，則/ =一5為.| 一5 比較系數(shù)，得=一大 乙乙乙D2122211即有/一二二）522）. 數(shù)列/_三是以二=1為首項(xiàng)，一；為323333221111?公比的等比數(shù)列，乙一；=；（一二）1,故

5、七=；（一二產(chǎn)+；. 332323評(píng)析此題亦可采用歸納猜想得出通項(xiàng)公式，而后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.（4）西川=上七9，"為非零常數(shù)）；若取倒數(shù)，得令尤=,從而轉(zhuǎn)化為（1）型而求之.X這類數(shù)列可變換成聲例3設(shè)數(shù)列玉滿足:解析%=3七+2，（5）原川二"+4"（9,4為非零常數(shù)，9工1,4工1）：令% = ±，則轉(zhuǎn)化為（1）型一階線性遞推公式. d d cl%=1, 乙川=3七+2（eN*）求數(shù)列七的通項(xiàng)公式.y3 v13 X兩邊同除以2'*,得湍=5寸+于令片=5徜 乙乙 乙乙乙 乙31337則有= 5'+弓于是，得上用+1=不（h+1），,

6、數(shù)列州+0是以首項(xiàng)為工+1 = "公比為?的等比數(shù)列，故% +1= （二）“，即” =L（3）z 1，從而 = 73” 一二2向.24 24* 23例4設(shè)題為常數(shù)，且=3'1_2七1（仁'*）,求數(shù)列4的通項(xiàng)公式.解析設(shè)七+ p3" = -2(玉_1 + 3"t )，用七=3"t _ 2x,i代入，可解出P = - ?333 2 4一 一是以公比為-2,首項(xiàng)為玉一二=1 一 2% -二=三一 2用的等比數(shù)列.554”?, Xn = (- 24)(一2尸,即Z =(£ 2x°)(2)”一+J =3,1)l)"2

7、"x°(eN*).怎+1 =ck(x >0,c>0,>0,Wl)這類數(shù)列可取對(duì)數(shù)得lgX” =lgX +lgC ,從而轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列型遞推數(shù)列.2 可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列或一些特殊數(shù)列的二階遞推數(shù)列55?例5設(shè)數(shù)列勺滿足：x=l,占=二，x =二x 一二七（£N*）.求數(shù)列/B一= 1 3 /xj的通項(xiàng)公式.52解析由4+2=：匕+】-3%（6%*）,可得222 z 、/、七心一七】=;七一三%=與（七7 一%）（ e N*） O75?設(shè)尤=%-% 則力 是公比為彳的等比數(shù)列，且片=&一玉=-1 = 122故外=（二）n （ £

8、 N*）.即天-k =（二尸5 > 2）.用累加法得 222X一 X】=（X“一 X.l）+（X-l - X-2 ） + + 02 一 $）=+（大）"- + , + 7， 或乙=(七 一%_。+ (七1 一七_(dá)。+(-為)+玉o?7=(1)-|+(±)/,-2+. + - + 133321一(?"21-33例6在數(shù)列西，中，已知¥=巧=1,西2 =/川+/（£N*）,求數(shù)列須的通 項(xiàng)公式.解析可用換元法將其轉(zhuǎn)化為一階線性遞推數(shù)列.令上 =七+1 一4%，使數(shù)列）“是以/為公比的等比數(shù)列（。1，。2待定）即七+2 -4七川=4（/7 -4

9、土），天+2 =（$ +®加 一4與對(duì)照已給遞推式，有佝+生=1，。/2=-1，即1、是方程 X-1 =0的兩個(gè)實(shí)根,.1 >/51 + /5 t 1 + y/S1y/5從而4=, a2 =； 或4 =-, a2 =-y/5 l + x/51-75 *七+2(玉-】 -七)乙乙乙或%+2由式得天7匕盧玉=（F）":由式得%+11 +62 % =消去%W得看 =1（笥叵）“ _（萼門.例7 在數(shù)歹I 當(dāng)中，已知叫=1，玉+2 =土+1 一%（ N*）,求王（川.=七.，數(shù)列七是以6為其周期.故解析由天+2=玉+1 一乙 ，得4+3=% 一©-式+式，得玉+3

10、=一當(dāng)，從而有七楨=一天-3X1(X)二于T特殊的n階遞推數(shù)列例8已知數(shù)列七滿足玉=1,當(dāng)=玉+2&+3芻+（-1）土_（"之2）,求 土的通項(xiàng)公式.解析: xn = n + 2x2 + 3,q + +(-(n > 2)=內(nèi) +2工2+3巧+ + (-2)/_2(之3)X一，得X"=%(23).二一 = (之3),故有 %4 _ £-1一 ，%-I %-2-1,上=3x2將這幾個(gè)式子累乘，得工=（一1）（一2）3, =;?（/7-1）（7/-2）.<3%7. %1 ( = 1), 又內(nèi)=1, %, =x. =l/fcn =S n!.y (3 2).例9數(shù)列七滿足司=！小+超+ + %=,求數(shù)列玉的同項(xiàng)公式. 2解析由N+巧FX/r =fl1Xn，得X+/+ + XT32),式-式，得xn=n2xn-(n-l)2x_ , 或(-I)2 J = 。%一七=(/ 一 1)怎，故有- = (77 >2).七1 +1 4 一1 苒一 _2 七_(dá)2_3 七_(dá)3-4 X、_2 % _ 1 -.-,-,-, , , x_" + 1 凡.2n x_3H-1 /_4_2 石 4 X 3將上面幾個(gè)式子累乘，得圣=上一，即/=：$=(n &g