矩陣論簡明教程整理全PPT課件

1、第1頁/共188頁第2頁/共188頁1、數集R實數集，C復數集2、矩陣的記號111212122212nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa第3頁/共188頁 1 ;m nm nR所有實矩陣集合記為 2 ;m nm nC所有復矩陣集合記為 3 ;nnR所有 維實列向量集合記為 4 ;nnC所有 維復列向量集合記為第4頁/共188頁1、加法，減法,ijijm nm nijijm nAaBbABab若則2、數乘, ijijm nm nAaAaC若則 3、乘法第5頁/共188頁1 1221,ijijm rr nrijijijijirrjikkjm nkAaBbABcca ba ba ba b若則

2、其中4、轉置與共軛轉置111211121121222122221212 =nmnmTmmmnnnmnijjim nn maaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaa設，則第6頁/共188頁112111222212, mmHijijijm nnnmnaaaaaaAaaaaaa其中是復數 的共軛.第7頁/共188頁111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB設1、加法，減法111112121121212222221122, ,rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB則第8頁/共188頁2、數乘111211

3、112121222212221212rrrrsssrsssrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA設，則3、乘法111211112121222212221212,trtrsssttttrAAABBBAAABBBABAAABBB設第9頁/共188頁1112121222112, 1,2, ;1,2,rtrijikkjksssrCCCCCCABCA BCCCis jr則其中4、轉置與共軛轉置111211121121222122221212 ,TTTrsTTTrTsTTTsssrrrsrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA設則第10頁/共188頁112111222212HHHsHHHHsHHHr

4、rsrAAAAAAAAAA第11頁/共188頁1112121222121 detnnnnnnaaaaaaAAaaa、1 11 211111121211( 1)( 1).( 1)nnnaaaMMM1111111( 1) (1)nnjjjjjjjaa AM第12頁/共188頁212,12,12313,13,1311,1,1 (1,2, )jjnjjnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaajnM其中1 2121 2122 det( 1)nnnj jjjjnjj jjAaaaA、第13頁/共188頁 1 ,00100m mm nn mn nABCDAABAA DDDCDCCCC、 設則 211m

5、nmnABCDBACDABDC 3mABABCDCD第14頁/共188頁 00300 nnEEEAEBABABIICDCDCDABECD0000 mmABFABIAB ICDFCDFCDFABFCD第15頁/共188頁 040 mnmnIABABEICEADEBCDIABABABAFEICDCDCDCF即某行左乘一個矩陣加到另一行，值不變；某列右乘一個矩陣加到另一列，值不變。第16頁/共188頁,n nABA BAB ABBAC設證明0 ABABABBBABAABABAB AB第17頁/共188頁, n nA B C DAACCAABADCBCDC設且 可逆，證明110ABABA DCA BC

6、DDCA B111A DCA BADACA BADCAA BADCB第18頁/共188頁, m nn mnmmnABIABIBACC設證明 =000mnmnmmmmnnnnIABAIABIIAIIAIBIBIBIBI左邊第19頁/共188頁 =000mmnnmmmmnnnnIAIBAIBAIIAIIABIBIBIBI右邊左邊第20頁/共188頁122221211112111 nnnnnnnxxxDxxxxxx1()jii j nxx 第21頁/共188頁第22頁/共188頁第23頁/共188頁第24頁/共188頁1、秩的定義 1 rank ArA的行向量組的極大線性無關組中向量的個數 2 ra

7、nk ArA的列向量組的極大線性無關組中向量的個數 3 rank ArA的最高階非零子式的階數第25頁/共188頁23823rank 21222, 0, 212131238 21220.131例如 因為但第26頁/共188頁2、基本性質（1）初等變換不改變矩陣秩； 2,P QBPAQrank Arank B 若可逆，且則 3,0 ,m nnAWxAxrank Adim WnCC 設則第27頁/共188頁 1THrank Arank Arank A 2Hrank A Arank A 0100AACrank Arank BrankrankBB 0020AArank Arank BrankrankB

8、DB第28頁/共188頁 300rank Arank Arank ABAArank ArankrankB 40;0rank Arank Arank AABrank ABBBrank Brankrankrank ABAB第29頁/共188頁 1,;m nA Brank ABrank Arank BC設則 2,min,m nn kABrank Arank Bnrank ABrank Arank BCC設,則第30頁/共188頁 ,0,m nn kABABrank Arank BnCC設,且則第31頁/共188頁1、零矩陣，單位矩陣2、對角矩陣11221122,nnnnaaDdiag aaaa第32

9、頁/共188頁3、三角矩陣11121222.0.00.nnnnaaaaaa上三角矩陣112122120.0.0;.nnnnaaaaaa下三角矩陣第33頁/共188頁, ,n nHHAAA AAAAC設若 滿足則稱 為正規(guī)矩陣.以下矩陣都是正規(guī)矩陣： 1 ,;n nTAAAR實對稱陣： 2 ,;n nTAAA R實反對稱陣：第34頁/共188頁 3 ,;n nTTAA AAAIR實正交矩陣： 4 ,;n nHAAACHermite矩陣： 5 ,;n nHAAA C反Hermite矩陣： 6 ,;n nHHAA AAAIC酉矩陣：, ,n nHHAAA AAAIAC設若 滿足則稱 為酉矩陣.第35

10、頁/共188頁I單位矩陣 經一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣.有以下三類初等矩陣：第36頁/共188頁 10111 ,1101E i jRow iRow j第37頁/共188頁 11 211E i kk第38頁/共188頁 11 3,11kE i j k第39頁/共188頁, ,nHnu vE u vIuvCC設記 則 10111,1101E i j第40頁/共188頁1011111110000000njiijIeeee001 001 00njiIee,1HnjijiijijIeeeeE ee ee第41頁/共188頁 11 211E i kk第42頁/共188頁1010111010k 0

11、01001001001niniHni iIekIkeIkee, ,1iiE e ek第43頁/共188頁 11 3,11kE i j k第44頁/共188頁10101010k000000100,niniHnijijIkeIkeIk eeE e ek 第45頁/共188頁det, ,detdet 11HHnHE u vIuvv uv u (nmmnIABIBA由得到）第46頁/共188頁 1 0, :;kAk冪零矩陣：某正整數 22 ;AA冪等矩陣： 3 ,0,0n nTTnAAA x Axxx RR實對稱正定矩陣：且 4 ,0,0n nHHnAAA x Axxx CCHermite正定矩陣：且

12、第47頁/共188頁第48頁/共188頁第49頁/共188頁第50頁/共188頁1、定義,0n nnAxxAxxAxACCC設若存在數和使得 則稱 是 的特征值， 稱為 屬于 的特征向量。第51頁/共188頁2、特征多項式,0n nnnnAIAAIAAIAAC設稱為 的特征矩陣，稱det為 的特征多項式,稱det為 的特征方程。 1 AA的特征值就是 的特征方程的根； 2 nAn階方陣 在復數范圍內一定有 個特征值。第52頁/共188頁3、特征值與特征向量的求法 21det0,n nnnAIAnA C1設求的 個根它們即為 的全部特征值； 20,iniIA xA求解齊次方程組其非零解向量即為的

13、對應特征值 的特征向量；第53頁/共188頁122224,242AA 設求 的特征值與特征向量 2122det22427242AIA的特征多項式為第54頁/共188頁12327.A 所以 的特征值為，12220.1221222244000244000IA xIA當時，解方程組由12221,001xx 得基礎解系 第55頁/共188頁121 122122,0.k xk xk k所以對應的全部特征向量為 其中不同時為3770.822100.57254011245000IA xIA 當時，解方程組由3333312 ,720.xk xk 得基礎解系 故對應的全部特征向量為，第56頁/共188頁1122

14、1122, tr ,tr.n nijnnn nnnAaaaaAAAaaaC設稱為 的跡，記為即 12121122121212 ,1 =tr ;2det;3,ijnn nnnnnTHnnnAaaaaAAAA 設階方陣的特征值為 ， ， ，則+的特征值是 ， ， ，而的特征值是， ， ，第57頁/共188頁.n niiiiiiiiiiArrsssrC設 是的 重特征值 稱 為特征值 的代數重數 ，對應 有 個線性無關的特征向量(稱 為特征值 的幾何重數），則1 11101110 , ssssn nssssffaaaaAfAa AaAa Aa IfAAC設是 的多項式對于規(guī)定稱為矩陣 的多項式.第5

15、8頁/共188頁 12121212,.n nnnnnAAnx xxffAfffxxxC設的 個特征值為 ， ， ， ，對應的特征向量為又設為一多項式，則的特征值為對應的特征向量仍為121212,sssAx xxx xx設 ， ， ， 是方陣 的互不相同的特征值，是分別與之對應的特征向量，則線性無關.第59頁/共188頁 ,detdetm nn mnmmnABIABIBACC1 設,則 ,detdetnnmnIABIBA特別地，若則,detdet,n mnmnmIBAIABABBA若則即比多的特征值為0,其余相等.第60頁/共188頁1、定義1,.n nn nA BPP APBABABCC設若存

16、在可逆矩陣使得 則稱 與 相似，記為第61頁/共188頁2、性質 , ,;2,;3,.n nA B CAAABBAAB BCACC設,則1若則若則第62頁/共188頁 ,;2 detdet,;3.n nA BAB frank Arank BIAIBABfAf BC設,是一多項式，則1即 與 有相同的特征多項式，從而有相同的特征值1, ,ABPP APB可逆陣 使得第63頁/共188頁111 .IBIP APPIA PPIA PIA因此第64頁/共188頁1、定義,.n nAAAC設若 與一個對角矩陣相似，則稱 可對角化2、相似對角化的條件,.n nAAAnC設則 可對角化的充分必要條件是 有

17、個線性無關的特征向量第65頁/共188頁12112 , , , , nnAdiagPP APAPPP 若則存在可逆陣使得即令故 ,212121nnnA第66頁/共188頁 ,1,2, , , .iiiiiAinA 即因此是 對應特征值 的特征向量12, , .nP 由于 是可逆的 因此是線性無關12 ,nAn 若 有個線性無關的特征向量則 , 2 , 1,niAiii12 , nPP 令則是可逆的，且第67頁/共188頁112212112, , ,nnnnAPPdiagP APdiagA 即也就是 可對角化.,n nAAnAC設如果 有 個不同的特征值，則 可對角化.第68頁/共188頁212

18、,ssiinAr rrrrA 1i設是 階方陣 的所有互不相同的特征值其重數分別為 , , , .若對應 重特征值 有 個線性無關的特征向量，則 可對角化.第69頁/共188頁1Whether the following matrices are similar to a digonalmatrix, if yes, find a nonsingular matrix such that PP AP 110211 1 430 ; 2 234102112AA 第70頁/共188頁 2123row elementary operations 1 121,2and210210 420101 .101

19、000EAEA12, thus the dimension of eigenspace 31multiplicity 2 of the eigenvaule 1. Therefore is not diagonalizable.r EAVr EAA第71頁/共188頁 123 2 113 1,1,3, thus, is diagonalizable.EAA 1233020 xxxx1For 1, sovle the equation 0, 111111224002 , that is113000EA xEA 第72頁/共188頁111from which we obtain an eigenv

20、ector 1 of 1.0220Similarly, for 1, we have an eigenvector 1.1 332for 3, we have an eigenvector 3 .1 1102Let 113 , then 1, 1,3.011PP APdiag第73頁/共188頁100142 If 034 , find .043AA5, 5, 1251 3212AE123123Similar to example 2, we get the corresponding eigenvectors 1,0,0,2,1,2,1,2,1 of ,.TTT 11211Let 012 ,

21、then 5.0215PP AP 第74頁/共188頁 10010011111001001100100Thus,1051050.005AP PP PP PP PPP第75頁/共188頁第76頁/共188頁第77頁/共188頁第78頁/共188頁1、定義1 Jordan1iiiiiiir rJr形如的矩陣稱為 階塊，第79頁/共188頁12Jordan JordansJJJJ由若干個塊構成的分塊對角陣 稱為矩陣.JordanJordan對角矩陣是一個矩陣，它的每個塊是一階的；第80頁/共188頁2、矩陣的Jordan分解定理1,Jordan ,JordanJordann nn nAAJPP AP

22、JJACC設則 與一個矩陣 相似，即存在可逆矩陣使得這個矩陣 除塊的排列次序外由 唯一確定.第81頁/共188頁1、初等變換法 2.n nnnnnAIAAIAIAIA C設,是 的特征矩陣，其初等變換包括：1 交換的兩行 列 ；的某一行 列 同乘以一個非零常數；3的某一行 列 同乘以多項式加到另一行 列第82頁/共188頁 12Smith n nnnAIAddSdC設,則經過初等變換可化為如下標準形 11,2, , , 1,2,1.iiidinddin其中是首一多項式 即最高次項系數為1的多項式 ，且第83頁/共188頁 11 s.t. iiiiddfddf 2idA定理 中每個多項式稱為 的

23、不變因子.第84頁/共188頁 12SmithnnIAAddd1 用初等變換化特征矩陣為標準形，求出的不變因子, ,. iAdA2 將 的每個次數大于零的不變因子分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，這些一次因式的方冪稱為 的初等因子.12121212 ,srrrsssArrrn 設 的全部初等因子為：其中可能有相同的，且第85頁/共188頁 ,1,2,Jordan11,2,1iiiriiiiir risJis3 寫出每個初等因子對應的塊 12Jordan JordanJordansJJJJA以這些塊構成的陣即為 的標準形.第86頁/共188頁101120Jordan403A求矩陣的標準形101

24、120403IA1331132001120100ccrr11312100021001rcc 232322121000010120ccrr第87頁/共188頁 223121000100012rcc 123AdddA22可見 的不變因子為=1,=1,-1-2 .而 的初等因子為-1 ， -2.Jordan110010002AJ故 的標準形為 第88頁/共188頁2、行列式因子法 1,2, .n nnkAIAkDAknkC設,的所有 階子式首一最大公因式階行列式因，子稱為 的 1,2, .n nkkADAkdAknC設,是 的 階行列式因子，是 的不變因子，則 111,2,3, .kkkdDdDDk

25、n=第89頁/共188頁 12nnIAnDDD1 求的 個行列式因子, ,. 121,2, .kkkkdDDAdkn由求 的不變因子， 3JordanA求 的初等因子和標準形.第90頁/共188頁311202Jordan113A 求矩陣的標準形331122113IA 11AD的1階行列式因子為.A的2階子式如下：1,21,32,31:12 , 22 ,22第91頁/共188頁 1,21,32,31:2 ,24 ,23 1,21,32,32:2 ,22 ,123 22AD故 的2階行列式因子為. 333311222113DIA第92頁/共188頁 1231,2,2Addd2故 的不變因子為.2,

26、2A2的初等因子為.Jordan210200020021002002AJJ所以 的標準形為 ，或第93頁/共188頁JordanA2-11-122-1-1求矩陣的標準形12-12000342111221112120003IA第94頁/共188頁432112211 ,121211221325122IA 可求得中的兩個三階子式 332111DDDD因整除每個三階子式，所以，從而。第95頁/共188頁 44321112211det1212000313DIA 12341,13Adddd3故 的不變因子為.3,1A3于是 的初等因子為.第96頁/共188頁Jordan111113AJ所以 的標準形為 第

27、97頁/共188頁1、相似變換矩陣的求法101120Jordan403A求矩陣的標準形及所用的相似變換矩陣Jordan2111AJ由例1知 的標準形為 第98頁/共188頁1123,Pp ppP APJAPPJ設相似變換矩陣由即得：1231232,111A p ppp pp11223232AppAppAppp1232200IA pIA pIA pp 即，第99頁/共188頁1231200,01 ;0 xIA xxxp 30-1解線性方程組，即 -10040-1得123200,11 ;2xIA xxxp 20-1解線性方程組，即 -1-1040-2得第100頁/共188頁1223311,201

28、;1xIA xpxxp 20-1解線性方程組，即 -1-1040-2得12,11 .1PP AP010所以，1-1-1021第101頁/共188頁22IA xpp 解線性方程組中所取的要保證此方程有解.第102頁/共188頁2、Jordan標準形的冪1Jordan1iiiiiiirrrJ對于 階塊 111122221111iiiiiirk rkkkikikikirk rkkikikikikkikirrCCCCCJC 有 第103頁/共188頁121111!2!1 !111!2 !11!iiirkkkkirkkkikkrr !ikkCiki其中第104頁/共188頁1212Jordan skkk

29、ksJJJJJJJJ對于陣，有第105頁/共188頁111,Jordan , ,.n nn nkkAPP APJAPJPAPJ PCC設則由分解定理知存在可逆矩陣使得即則第106頁/共188頁101120 ,.403kAA設求111,1.2PP APJ100可求得，-1-1121011112kkkkAPJ P100100故，-1-11-1-11210210第107頁/共188頁21212212421kkkkkkkkk 00第108頁/共188頁第109頁/共188頁第110頁/共188頁第111頁/共188頁1、定理 det,0n nnAIAA C設,則1212,ssAsm mm 設是 的 個

30、不同的特征值 其代數重數分別為則第112頁/共188頁 1212detsmmmnsIA 則1211Jordan sJJAPJPPPJ由分解定理得11iiiiiimmJ其中第113頁/共188頁1112iiiiimmiimimimisIAPIJPIJIJPPIJ于是0*00,1,2, .*0iimmiiIJis注意到第114頁/共188頁200000000000aabb例如：3000000000000ab第115頁/共188頁 1212smmmsAAIAIAI所以，21121221121120000ssmmmmssmsmsJIJIPJIJIJIJIP第116頁/共188頁1、利用定理1可以簡化矩

31、陣運算 754311104301021192864 ;2AAAAAAIA 已知矩陣，試計算 32det452IA 可求得第117頁/共188頁 75431192864g令 4322410323228gg 用除，得 2Hamilton-Cayley2116032286443019324Ag AAA 由定理知=0,于是第118頁/共188頁 3224520,AAAAI由得2145,2AAAII123101454102311222AAAI故，第119頁/共188頁2、可逆矩陣逆的多項式表示 111detn nnnnnnAIAaaa C設, 111Hamilton-Cayley0nnnnAAa AaA

32、a I由定理知=0,于是1211nnnnA Aa AaIa I 故11211det0,1nnnnAAAAa AaIa 若即 可逆，則第120頁/共188頁1、零化多項式 0,n nAffAfAC設,是多項式，如果則稱為的零化多項式。 1Hamilton-CayleyAA由定理知： 的特征多項式就是的零化多項式。第121頁/共188頁 2 AA 的特征多項式任意乘一個多項式仍然是的零化多項式。2、最小多項式 .n nAAAAmC設,在 的零化多項式中，次數最低的首一多項式稱為 的最小多項式，記為第122頁/共188頁 11det1 n nnnnAnAIADIAnmD C設,又設是的階行列式因子，

33、則第123頁/共188頁3、零化多項式與最小多項式的關系 n nAAAmAC設,則 的最小多項式整除 的任一零化多項式，且最小多項式是唯一的. AAfAmffqmr設是 的任一零化多項式，假設不能整除，則有第124頁/共188頁 0,AAArmfAq A mr Ar AmA其中的次數低于的次數，于是由知這與是的最小多項式矛盾。 121212,JordanJordansn nsmmmAsiiAAmmA C設,是 的所有互不相同的特征值，則其中是 的標準形J中含 的塊的最高階數.第125頁/共188頁311202.113A 求矩陣的最小多項式 3det2IA Jordan2212AJ可求得 的標準

34、形為 22Am故有定理4知 第126頁/共188頁第127頁/共188頁第128頁/共188頁第129頁/共188頁nC一、空間中向量的內積12121,.TTnnnnnHiiixx xxyy yyx yx yy xx yxyCC設令稱為 與 的內積第130頁/共188頁 , , , ,;2,nx y zx yy xxy zx zy zx yx yxyx yCC設則滿足1 酉對稱性：線性性： ,0,0,0.x xxx x3 正定性：且當時才有第131頁/共188頁1221,.TnnnHiixx xxxx xxx xxxC設,令稱為 的長度第132頁/共188頁 ,0,0,0,0;2 ;3nx y

35、xxxxxxxyxyCC設則1 非負性：當時當時齊次性：三角不等式性：第133頁/共188頁 ,nx yx yx yx yy xx xy yC對任意有即 2,0,0nx yxy xyx xy xx yy yCC設，則即222,0 xx yx yy或第134頁/共188頁2222,0 x yx yxyy 取則, x yx y即第135頁/共188頁nC二、空間中標準正交基12,nnnnnnx xxxCCCC容易驗證，中任意 個線性無關的向量構成的一組基.例如設線性無關，為任意向量.121 12212,nnnnkkxk xk xk xxx xxk令則第136頁/共188頁11212,nnkkx x

36、xxk故12,nxx xx即 可由線性表示.故12,nnx xxC是中一組基.第137頁/共188頁,0,nx yx yxyC設,若則稱 與 正交.nC 中兩兩正交的非零向量組線性無關.12,nsx xx C設是兩兩正交的非零向量組，令1 122110,0,1,2,ssssiijiijjjjiik xk xk xk x xkx xkxxjs則第138頁/共188頁,0,0,1,2, ,jjjxxkjs而因此12,.sx xx故線性無關1212,0, ,1,nnijijnnx xxijx xijx xxCC設是的一組基,若則稱是空間中的一組標準正交基.第139頁/共188頁12112221133

37、311322112211,nnnnnnnnnx xxyxyxyyxyyyxyyyC設是空間中的一組基，令21221112121112121110,yyxy yxyy yxyy y 由得第140頁/共188頁313311322131311132331132223232220,0,yyxyyyxyy yyyxyyyxyyy再由得313231321122,xyxyy yyy 121121112211,nnnnnnnnnnxyxyxyy yyyyy 類似可得第141頁/共188頁112122111313233121122121121112211,nnnnnnnnnyxxyyxyy yxyxyyxyyy

38、 yyyxyxyxyyxyyyy yyyyy故12,0.nniy yyy C就是空間中的一組正交基，且第142頁/共188頁12,.niiniyzz zzyC令則就是空間中的一組標準正交基第143頁/共188頁123110,0 ,0 ,Schmidt01xixxi 設用正交化方法將這組向量正交單位化.31111121,1 10 02,1 1 001iiiyxy yiixyii 取則第144頁/共188頁21221111211,102,20 xyiyxyiy yii 計算313233121122,12301010233210123xyxyyxyyy yyyiiiii 同理第145頁/共188頁3

39、1212312312311111,1263021,.iyyyzizizyyyiz zz 再單位化，得即為正交單位向量第146頁/共188頁, ,n nHHAAA AAAIAC設若 滿足則稱 為酉矩陣. 1,n nHHHHHAA AAAIA AIAAIA AC1 設則第147頁/共188頁 ,n nAR2 當酉矩陣就是正交矩陣. 1,1 detn nTHn nAAAAABABCC設是酉矩陣 則=1;2,仍為酉矩陣；3 若是酉矩陣,則也是酉矩陣.第148頁/共188頁1212,.n nnnnAx xxAx xxCC設,則 是酉矩陣的充要條件是是中的一組標準正交基121111212212221212

40、,nHHHHnHHHHHnnHHHHnnnnnAx xxxx xx xx xxx xx xx xIA Ax xxxx xx xx x則第149頁/共188頁121,0,.HijjinnAijx xx xijx xxC可見 是酉矩陣的充要條件是即是中的標準正交基第150頁/共188頁1, n nHA BUUAUUAUBABC設若存在酉矩陣使得則稱 與 酉相似.第151頁/共188頁12112,* ,n nn nHnnAUUAUUAUTAAT CC設若存在酉矩陣,使得其中是 的特征值，即 可酉相似于一個上三角矩陣 .第152頁/共188頁11111212,n nnnnn nAAPAPP PPPP

41、PPPCCC設是 的一個特征值， 為 的屬于 的單位特征向量，將 擴充為中一組標準正交基 令則是一個酉矩陣，且11212,HHHnHnPPP APP APA P PPP第153頁/共188頁111212122212HHHnHHHnHHHnnnnP APP APP APP APP APP APP APP APP AP1 11121121222112HHHnHHHnHHHnnnnP PP APP APP PP APP APP PP APP AP第154頁/共188頁1121222200HHnHHnHHnnnP APP APP APP APP APP AP從而由歸納法可以證明。第155頁/共188頁

42、, ,n nHHAAA AAAAC設若 滿足則稱 為正規(guī)矩陣.以下矩陣都是正規(guī)矩陣： 1 ,;n nTAAAR實對稱陣：第156頁/共188頁 2 ,;n nTAAA R實反對稱陣： 3 ,;n nTTAA AAAIR實正交矩陣： 4 ,;n nHAAACHermite矩陣： 5 ,;n nHAAA C反Hermite矩陣： 6 ,;n nHHAA AAAIC酉矩陣：0110000iAi如是正規(guī)矩陣.第157頁/共188頁, ,n nHHAAA AAAAC設則 可以酉相似對角化的充要條件是即 為正規(guī)矩陣.121n nn nHnAUUAUUAUCC設可以酉相似對角化,即存在酉矩陣使得 第158頁

43、/共188頁12HHnUA U從而，21222HHHnHHHUA UUAUUAUUA U故，第159頁/共188頁HHHHHHHHHHUA UUAUUA AUUAUUA UUAA U因此， HHA AAA即， HHA AAA設Schurn nUC由分解定理，存在酉矩陣使得第160頁/共188頁11121222nnHnntttttUAUt11122212HHnnnntttUA Uttt則，第161頁/共188頁1111121122222212nnnnnnnnHHHHHHHHttttttttttttUA UUAUUA AUUAUUA U于是，1112111222122212nnnnnnnntttt

44、tttttttt第162頁/共188頁2222111112122222122222232222212nnnnnnnnttttttttttttt11220,ijHnntijttUAUt故，即A也就是 可以酉相似對角化.第163頁/共188頁 Hermite2Hermite.n nHAAAAAAAAxAxC設是正規(guī)矩陣，則1是矩陣的特征值全是實數；是反矩陣的特征值是0或純虛數；3是酉矩陣的特征值的模是1；4是 的特征值， 是對應 的特征向量，則 是的特征值,對應 的特征向量仍為第164頁/共188頁2n nnAAnU C1設是一個正規(guī)矩陣，, ,是 的個特征值，則存在酉矩陣使得121HnUAUUAU 第165頁/共188頁 HermiteHAAA1是矩陣1122HHnnHAUUUUA1,2,1,2, ,iiiinR inA = ,即 的特征值全是實數；第166頁/共188頁 HermiteHAAA 2是矩陣1122HHnnHAUUUUA 1,2,Re0,1,2,iiiininA = ,即