矩陣論簡明教程整理全PPT課件

1、第1頁/共188頁第2頁/共188頁1、數(shù)集R實(shí)數(shù)集，C復(fù)數(shù)集2、矩陣的記號(hào)111212122212nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa第3頁/共188頁 1 ;m nm nR所有實(shí)矩陣集合記為 2 ;m nm nC所有復(fù)矩陣集合記為 3 ;nnR所有 維實(shí)列向量集合記為 4 ;nnC所有 維復(fù)列向量集合記為第4頁/共188頁1、加法，減法,ijijm nm nijijm nAaBbABab若則2、數(shù)乘, ijijm nm nAaAaC若則 3、乘法第5頁/共188頁1 1221,ijijm rr nrijijijijirrjikkjm nkAaBbABcca ba ba ba b若則

2、其中4、轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置111211121121222122221212 =nmnmTmmmnnnmnijjim nn maaaaaaaaaaaaAAaaaaaaaa設(shè)，則第6頁/共188頁112111222212, mmHijijijm nnnmnaaaaaaAaaaaaa其中是復(fù)數(shù) 的共軛.第7頁/共188頁111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB設(shè)1、加法，減法111112121121212222221122, ,rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB則第8頁/共188頁2、數(shù)乘111211

3、112121222212221212rrrrsssrsssrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA設(shè)，則3、乘法111211112121222212221212,trtrsssttttrAAABBBAAABBBABAAABBB設(shè)第9頁/共188頁1112121222112, 1,2, ;1,2,rtrijikkjksssrCCCCCCABCA BCCCis jr則其中4、轉(zhuǎn)置與共軛轉(zhuǎn)置111211121121222122221212 ,TTTrsTTTrTsTTTsssrrrsrAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA設(shè)則第10頁/共188頁112111222212HHHsHHHHsHHHr

4、rsrAAAAAAAAAA第11頁/共188頁1112121222121 detnnnnnnaaaaaaAAaaa、1 11 211111121211( 1)( 1).( 1)nnnaaaMMM1111111( 1) (1)nnjjjjjjjaa AM第12頁/共188頁212,12,12313,13,1311,1,1 (1,2, )jjnjjnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaajnM其中1 2121 2122 det( 1)nnnj jjjjnjj jjAaaaA、第13頁/共188頁 1 ,00100m mm nn mn nABCDAABAA DDDCDCCCC、 設(shè)則 211m

5、nmnABCDBACDABDC 3mABABCDCD第14頁/共188頁 00300 nnEEEAEBABABIICDCDCDABECD0000 mmABFABIAB ICDFCDFCDFABFCD第15頁/共188頁 040 mnmnIABABEICEADEBCDIABABABAFEICDCDCDCF即某行左乘一個(gè)矩陣加到另一行，值不變；某列右乘一個(gè)矩陣加到另一列，值不變。第16頁/共188頁,n nABA BAB ABBAC設(shè)證明0 ABABABBBABAABABAB AB第17頁/共188頁, n nA B C DAACCAABADCBCDC設(shè)且 可逆，證明110ABABA DCA BC

6、DDCA B111A DCA BADACA BADCAA BADCB第18頁/共188頁, m nn mnmmnABIABIBACC設(shè)證明 =000mnmnmmmmnnnnIABAIABIIAIIAIBIBIBIBI左邊第19頁/共188頁 =000mmnnmmmmnnnnIAIBAIBAIIAIIABIBIBIBI右邊左邊第20頁/共188頁122221211112111 nnnnnnnxxxDxxxxxx1()jii j nxx 第21頁/共188頁第22頁/共188頁第23頁/共188頁第24頁/共188頁1、秩的定義 1 rank ArA的行向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù) 2 ra

7、nk ArA的列向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù) 3 rank ArA的最高階非零子式的階數(shù)第25頁/共188頁23823rank 21222, 0, 212131238 21220.131例如 因?yàn)榈?6頁/共188頁2、基本性質(zhì)（1）初等變換不改變矩陣秩； 2,P QBPAQrank Arank B 若可逆，且則 3,0 ,m nnAWxAxrank Adim WnCC 設(shè)則第27頁/共188頁 1THrank Arank Arank A 2Hrank A Arank A 0100AACrank Arank BrankrankBB 0020AArank Arank BrankrankB

8、DB第28頁/共188頁 300rank Arank Arank ABAArank ArankrankB 40;0rank Arank Arank AABrank ABBBrank Brankrankrank ABAB第29頁/共188頁 1,;m nA Brank ABrank Arank BC設(shè)則 2,min,m nn kABrank Arank Bnrank ABrank Arank BCC設(shè),則第30頁/共188頁 ,0,m nn kABABrank Arank BnCC設(shè),且則第31頁/共188頁1、零矩陣，單位矩陣2、對(duì)角矩陣11221122,nnnnaaDdiag aaaa第32

9、頁/共188頁3、三角矩陣11121222.0.00.nnnnaaaaaa上三角矩陣112122120.0.0;.nnnnaaaaaa下三角矩陣第33頁/共188頁, ,n nHHAAA AAAAC設(shè)若 滿足則稱 為正規(guī)矩陣.以下矩陣都是正規(guī)矩陣： 1 ,;n nTAAAR實(shí)對(duì)稱陣： 2 ,;n nTAAA R實(shí)反對(duì)稱陣：第34頁/共188頁 3 ,;n nTTAA AAAIR實(shí)正交矩陣： 4 ,;n nHAAACHermite矩陣： 5 ,;n nHAAA C反Hermite矩陣： 6 ,;n nHHAA AAAIC酉矩陣：, ,n nHHAAA AAAIAC設(shè)若 滿足則稱 為酉矩陣.第35

10、頁/共188頁I單位矩陣 經(jīng)一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣.有以下三類初等矩陣：第36頁/共188頁 10111 ,1101E i jRow iRow j第37頁/共188頁 11 211E i kk第38頁/共188頁 11 3,11kE i j k第39頁/共188頁, ,nHnu vE u vIuvCC設(shè)記 則 10111,1101E i j第40頁/共188頁1011111110000000njiijIeeee001 001 00njiIee,1HnjijiijijIeeeeE ee ee第41頁/共188頁 11 211E i kk第42頁/共188頁1010111010k 0

11、01001001001niniHni iIekIkeIkee, ,1iiE e ek第43頁/共188頁 11 3,11kE i j k第44頁/共188頁10101010k000000100,niniHnijijIkeIkeIk eeE e ek 第45頁/共188頁det, ,detdet 11HHnHE u vIuvv uv u (nmmnIABIBA由得到）第46頁/共188頁 1 0, :;kAk冪零矩陣：某正整數(shù) 22 ;AA冪等矩陣： 3 ,0,0n nTTnAAA x Axxx RR實(shí)對(duì)稱正定矩陣：且 4 ,0,0n nHHnAAA x Axxx CCHermite正定矩陣：且

12、第47頁/共188頁第48頁/共188頁第49頁/共188頁第50頁/共188頁1、定義,0n nnAxxAxxAxACCC設(shè)若存在數(shù)和使得 則稱 是 的特征值， 稱為 屬于 的特征向量。第51頁/共188頁2、特征多項(xiàng)式,0n nnnnAIAAIAAIAAC設(shè)稱為 的特征矩陣，稱det為 的特征多項(xiàng)式,稱det為 的特征方程。 1 AA的特征值就是 的特征方程的根； 2 nAn階方陣 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一定有 個(gè)特征值。第52頁/共188頁3、特征值與特征向量的求法 21det0,n nnnAIAnA C1設(shè)求的 個(gè)根它們即為 的全部特征值； 20,iniIA xA求解齊次方程組其非零解向量即為的

13、對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量；第53頁/共188頁122224,242AA 設(shè)求 的特征值與特征向量 2122det22427242AIA的特征多項(xiàng)式為第54頁/共188頁12327.A 所以 的特征值為，12220.1221222244000244000IA xIA當(dāng)時(shí)，解方程組由12221,001xx 得基礎(chǔ)解系 第55頁/共188頁121 122122,0.k xk xk k所以對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 其中不同時(shí)為3770.822100.57254011245000IA xIA 當(dāng)時(shí)，解方程組由3333312 ,720.xk xk 得基礎(chǔ)解系 故對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，第56頁/共188頁1122

14、1122, tr ,tr.n nijnnn nnnAaaaaAAAaaaC設(shè)稱為 的跡，記為即 12121122121212 ,1 =tr ;2det;3,ijnn nnnnnTHnnnAaaaaAAAA 設(shè)階方陣的特征值為 ， ， ，則+的特征值是 ， ， ，而的特征值是， ， ，第57頁/共188頁.n niiiiiiiiiiArrsssrC設(shè) 是的 重特征值 稱 為特征值 的代數(shù)重?cái)?shù) ，對(duì)應(yīng) 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量(稱 為特征值 的幾何重?cái)?shù)），則1 11101110 , ssssn nssssffaaaaAfAa AaAa Aa IfAAC設(shè)是 的多項(xiàng)式對(duì)于規(guī)定稱為矩陣 的多項(xiàng)式.第5

15、8頁/共188頁 12121212,.n nnnnnAAnx xxffAfffxxxC設(shè)的 個(gè)特征值為 ， ， ， ，對(duì)應(yīng)的特征向量為又設(shè)為一多項(xiàng)式，則的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量仍為121212,sssAx xxx xx設(shè) ， ， ， 是方陣 的互不相同的特征值，是分別與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則線性無關(guān).第59頁/共188頁 ,detdetm nn mnmmnABIABIBACC1 設(shè),則 ,detdetnnmnIABIBA特別地，若則,detdet,n mnmnmIBAIABABBA若則即比多的特征值為0,其余相等.第60頁/共188頁1、定義1,.n nn nA BPP APBABABCC設(shè)若存

16、在可逆矩陣使得 則稱 與 相似，記為第61頁/共188頁2、性質(zhì) , ,;2,;3,.n nA B CAAABBAAB BCACC設(shè),則1若則若則第62頁/共188頁 ,;2 detdet,;3.n nA BAB frank Arank BIAIBABfAf BC設(shè),是一多項(xiàng)式，則1即 與 有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值1, ,ABPP APB可逆陣 使得第63頁/共188頁111 .IBIP APPIA PPIA PIA因此第64頁/共188頁1、定義,.n nAAAC設(shè)若 與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，則稱 可對(duì)角化2、相似對(duì)角化的條件,.n nAAAnC設(shè)則 可對(duì)角化的充分必要條件是 有

17、個(gè)線性無關(guān)的特征向量第65頁/共188頁12112 , , , , nnAdiagPP APAPPP 若則存在可逆陣使得即令故 ,212121nnnA第66頁/共188頁 ,1,2, , , .iiiiiAinA 即因此是 對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量12, , .nP 由于 是可逆的 因此是線性無關(guān)12 ,nAn 若 有個(gè)線性無關(guān)的特征向量則 , 2 , 1,niAiii12 , nPP 令則是可逆的，且第67頁/共188頁112212112, , ,nnnnAPPdiagP APdiagA 即也就是 可對(duì)角化.,n nAAnAC設(shè)如果 有 個(gè)不同的特征值，則 可對(duì)角化.第68頁/共188頁212

18、,ssiinAr rrrrA 1i設(shè)是 階方陣 的所有互不相同的特征值其重?cái)?shù)分別為 , , , .若對(duì)應(yīng) 重特征值 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則 可對(duì)角化.第69頁/共188頁1Whether the following matrices are similar to a digonalmatrix, if yes, find a nonsingular matrix such that PP AP 110211 1 430 ; 2 234102112AA 第70頁/共188頁 2123row elementary operations 1 121,2and210210 420101 .101

19、000EAEA12, thus the dimension of eigenspace 31multiplicity 2 of the eigenvaule 1. Therefore is not diagonalizable.r EAVr EAA第71頁/共188頁 123 2 113 1,1,3, thus, is diagonalizable.EAA 1233020 xxxx1For 1, sovle the equation 0, 111111224002 , that is113000EA xEA 第72頁/共188頁111from which we obtain an eigenv

20、ector 1 of 1.0220Similarly, for 1, we have an eigenvector 1.1 332for 3, we have an eigenvector 3 .1 1102Let 113 , then 1, 1,3.011PP APdiag第73頁/共188頁100142 If 034 , find .043AA5, 5, 1251 3212AE123123Similar to example 2, we get the corresponding eigenvectors 1,0,0,2,1,2,1,2,1 of ,.TTT 11211Let 012 ,

21、then 5.0215PP AP 第74頁/共188頁 10010011111001001100100Thus,1051050.005AP PP PP PP PPP第75頁/共188頁第76頁/共188頁第77頁/共188頁第78頁/共188頁1、定義1 Jordan1iiiiiiir rJr形如的矩陣稱為 階塊，第79頁/共188頁12Jordan JordansJJJJ由若干個(gè)塊構(gòu)成的分塊對(duì)角陣 稱為矩陣.JordanJordan對(duì)角矩陣是一個(gè)矩陣，它的每個(gè)塊是一階的；第80頁/共188頁2、矩陣的Jordan分解定理1,Jordan ,JordanJordann nn nAAJPP AP

22、JJACC設(shè)則 與一個(gè)矩陣 相似，即存在可逆矩陣使得這個(gè)矩陣 除塊的排列次序外由 唯一確定.第81頁/共188頁1、初等變換法 2.n nnnnnAIAAIAIAIA C設(shè),是 的特征矩陣，其初等變換包括：1 交換的兩行 列 ；的某一行 列 同乘以一個(gè)非零常數(shù)；3的某一行 列 同乘以多項(xiàng)式加到另一行 列第82頁/共188頁 12Smith n nnnAIAddSdC設(shè),則經(jīng)過初等變換可化為如下標(biāo)準(zhǔn)形 11,2, , , 1,2,1.iiidinddin其中是首一多項(xiàng)式 即最高次項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式 ，且第83頁/共188頁 11 s.t. iiiiddfddf 2idA定理 中每個(gè)多項(xiàng)式稱為 的

23、不變因子.第84頁/共188頁 12SmithnnIAAddd1 用初等變換化特征矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形，求出的不變因子, ,. iAdA2 將 的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解為互不相同的一次因式方冪的乘積，這些一次因式的方冪稱為 的初等因子.12121212 ,srrrsssArrrn 設(shè) 的全部初等因子為：其中可能有相同的，且第85頁/共188頁 ,1,2,Jordan11,2,1iiiriiiiir risJis3 寫出每個(gè)初等因子對(duì)應(yīng)的塊 12Jordan JordanJordansJJJJA以這些塊構(gòu)成的陣即為 的標(biāo)準(zhǔn)形.第86頁/共188頁101120Jordan403A求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形101

24、120403IA1331132001120100ccrr11312100021001rcc 232322121000010120ccrr第87頁/共188頁 223121000100012rcc 123AdddA22可見 的不變因子為=1,=1,-1-2 .而 的初等因子為-1 ， -2.Jordan110010002AJ故 的標(biāo)準(zhǔn)形為 第88頁/共188頁2、行列式因子法 1,2, .n nnkAIAkDAknkC設(shè),的所有 階子式首一最大公因式階行列式因，子稱為 的 1,2, .n nkkADAkdAknC設(shè),是 的 階行列式因子，是 的不變因子，則 111,2,3, .kkkdDdDDk

25、n=第89頁/共188頁 12nnIAnDDD1 求的 個(gè)行列式因子, ,. 121,2, .kkkkdDDAdkn由求 的不變因子， 3JordanA求 的初等因子和標(biāo)準(zhǔn)形.第90頁/共188頁311202Jordan113A 求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形331122113IA 11AD的1階行列式因子為.A的2階子式如下：1,21,32,31:12 , 22 ,22第91頁/共188頁 1,21,32,31:2 ,24 ,23 1,21,32,32:2 ,22 ,123 22AD故 的2階行列式因子為. 333311222113DIA第92頁/共188頁 1231,2,2Addd2故 的不變因子為.2,

26、2A2的初等因子為.Jordan210200020021002002AJJ所以 的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，或第93頁/共188頁JordanA2-11-122-1-1求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形12-12000342111221112120003IA第94頁/共188頁432112211 ,121211221325122IA 可求得中的兩個(gè)三階子式 332111DDDD因整除每個(gè)三階子式，所以，從而。第95頁/共188頁 44321112211det1212000313DIA 12341,13Adddd3故 的不變因子為.3,1A3于是 的初等因子為.第96頁/共188頁Jordan111113AJ所以 的標(biāo)準(zhǔn)形為 第

27、97頁/共188頁1、相似變換矩陣的求法101120Jordan403A求矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及所用的相似變換矩陣Jordan2111AJ由例1知 的標(biāo)準(zhǔn)形為 第98頁/共188頁1123,Pp ppP APJAPPJ設(shè)相似變換矩陣由即得：1231232,111A p ppp pp11223232AppAppAppp1232200IA pIA pIA pp 即，第99頁/共188頁1231200,01 ;0 xIA xxxp 30-1解線性方程組，即 -10040-1得123200,11 ;2xIA xxxp 20-1解線性方程組，即 -1-1040-2得第100頁/共188頁1223311,201

28、;1xIA xpxxp 20-1解線性方程組，即 -1-1040-2得12,11 .1PP AP010所以，1-1-1021第101頁/共188頁22IA xpp 解線性方程組中所取的要保證此方程有解.第102頁/共188頁2、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的冪1Jordan1iiiiiiirrrJ對(duì)于 階塊 111122221111iiiiiirk rkkkikikikirk rkkikikikikkikirrCCCCCJC 有 第103頁/共188頁121111!2!1 !111!2 !11!iiirkkkkirkkkikkrr !ikkCiki其中第104頁/共188頁1212Jordan skkk

29、ksJJJJJJJJ對(duì)于陣，有第105頁/共188頁111,Jordan , ,.n nn nkkAPP APJAPJPAPJ PCC設(shè)則由分解定理知存在可逆矩陣使得即則第106頁/共188頁101120 ,.403kAA設(shè)求111,1.2PP APJ100可求得，-1-1121011112kkkkAPJ P100100故，-1-11-1-11210210第107頁/共188頁21212212421kkkkkkkkk 00第108頁/共188頁第109頁/共188頁第110頁/共188頁第111頁/共188頁1、定理 det,0n nnAIAA C設(shè),則1212,ssAsm mm 設(shè)是 的 個(gè)

30、不同的特征值 其代數(shù)重?cái)?shù)分別為則第112頁/共188頁 1212detsmmmnsIA 則1211Jordan sJJAPJPPPJ由分解定理得11iiiiiimmJ其中第113頁/共188頁1112iiiiimmiimimimisIAPIJPIJIJPPIJ于是0*00,1,2, .*0iimmiiIJis注意到第114頁/共188頁200000000000aabb例如：3000000000000ab第115頁/共188頁 1212smmmsAAIAIAI所以，21121221121120000ssmmmmssmsmsJIJIPJIJIJIJIP第116頁/共188頁1、利用定理1可以簡化矩

31、陣運(yùn)算 754311104301021192864 ;2AAAAAAIA 已知矩陣，試計(jì)算 32det452IA 可求得第117頁/共188頁 75431192864g令 4322410323228gg 用除，得 2Hamilton-Cayley2116032286443019324Ag AAA 由定理知=0,于是第118頁/共188頁 3224520,AAAAI由得2145,2AAAII123101454102311222AAAI故，第119頁/共188頁2、可逆矩陣逆的多項(xiàng)式表示 111detn nnnnnnAIAaaa C設(shè), 111Hamilton-Cayley0nnnnAAa AaA

32、a I由定理知=0,于是1211nnnnA Aa AaIa I 故11211det0,1nnnnAAAAa AaIa 若即 可逆，則第120頁/共188頁1、零化多項(xiàng)式 0,n nAffAfAC設(shè),是多項(xiàng)式，如果則稱為的零化多項(xiàng)式。 1Hamilton-CayleyAA由定理知： 的特征多項(xiàng)式就是的零化多項(xiàng)式。第121頁/共188頁 2 AA 的特征多項(xiàng)式任意乘一個(gè)多項(xiàng)式仍然是的零化多項(xiàng)式。2、最小多項(xiàng)式 .n nAAAAmC設(shè),在 的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱為 的最小多項(xiàng)式，記為第122頁/共188頁 11det1 n nnnnAnAIADIAnmD C設(shè),又設(shè)是的階行列式因子，

33、則第123頁/共188頁3、零化多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式的關(guān)系 n nAAAmAC設(shè),則 的最小多項(xiàng)式整除 的任一零化多項(xiàng)式，且最小多項(xiàng)式是唯一的. AAfAmffqmr設(shè)是 的任一零化多項(xiàng)式，假設(shè)不能整除，則有第124頁/共188頁 0,AAArmfAq A mr Ar AmA其中的次數(shù)低于的次數(shù)，于是由知這與是的最小多項(xiàng)式矛盾。 121212,JordanJordansn nsmmmAsiiAAmmA C設(shè),是 的所有互不相同的特征值，則其中是 的標(biāo)準(zhǔn)形J中含 的塊的最高階數(shù).第125頁/共188頁311202.113A 求矩陣的最小多項(xiàng)式 3det2IA Jordan2212AJ可求得 的標(biāo)準(zhǔn)

34、形為 22Am故有定理4知 第126頁/共188頁第127頁/共188頁第128頁/共188頁第129頁/共188頁nC一、空間中向量的內(nèi)積12121,.TTnnnnnHiiixx xxyy yyx yx yy xx yxyCC設(shè)令稱為 與 的內(nèi)積第130頁/共188頁 , , , ,;2,nx y zx yy xxy zx zy zx yx yxyx yCC設(shè)則滿足1 酉對(duì)稱性：線性性： ,0,0,0.x xxx x3 正定性：且當(dāng)時(shí)才有第131頁/共188頁1221,.TnnnHiixx xxxx xxx xxxC設(shè),令稱為 的長度第132頁/共188頁 ,0,0,0,0;2 ;3nx y

35、xxxxxxxyxyCC設(shè)則1 非負(fù)性：當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)齊次性：三角不等式性：第133頁/共188頁 ,nx yx yx yx yy xx xy yC對(duì)任意有即 2,0,0nx yxy xyx xy xx yy yCC設(shè)，則即222,0 xx yx yy或第134頁/共188頁2222,0 x yx yxyy 取則, x yx y即第135頁/共188頁nC二、空間中標(biāo)準(zhǔn)正交基12,nnnnnnx xxxCCCC容易驗(yàn)證，中任意 個(gè)線性無關(guān)的向量構(gòu)成的一組基.例如設(shè)線性無關(guān)，為任意向量.121 12212,nnnnkkxk xk xk xxx xxk令則第136頁/共188頁11212,nnkkx x

36、xxk故12,nxx xx即 可由線性表示.故12,nnx xxC是中一組基.第137頁/共188頁,0,nx yx yxyC設(shè),若則稱 與 正交.nC 中兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).12,nsx xx C設(shè)是兩兩正交的非零向量組，令1 122110,0,1,2,ssssiijiijjjjiik xk xk xk x xkx xkxxjs則第138頁/共188頁,0,0,1,2, ,jjjxxkjs而因此12,.sx xx故線性無關(guān)1212,0, ,1,nnijijnnx xxijx xijx xxCC設(shè)是的一組基,若則稱是空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.第139頁/共188頁12112221133

37、311322112211,nnnnnnnnnx xxyxyxyyxyyyxyyyC設(shè)是空間中的一組基，令21221112121112121110,yyxy yxyy yxyy y 由得第140頁/共188頁313311322131311132331132223232220,0,yyxyyyxyy yyyxyyyxyyy再由得313231321122,xyxyy yyy 121121112211,nnnnnnnnnnxyxyxyy yyyyy 類似可得第141頁/共188頁112122111313233121122121121112211,nnnnnnnnnyxxyyxyy yxyxyyxyyy

38、 yyyxyxyxyyxyyyy yyyyy故12,0.nniy yyy C就是空間中的一組正交基，且第142頁/共188頁12,.niiniyzz zzyC令則就是空間中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基第143頁/共188頁123110,0 ,0 ,Schmidt01xixxi 設(shè)用正交化方法將這組向量正交單位化.31111121,1 10 02,1 1 001iiiyxy yiixyii 取則第144頁/共188頁21221111211,102,20 xyiyxyiy yii 計(jì)算313233121122,12301010233210123xyxyyxyyy yyyiiiii 同理第145頁/共188頁3

39、1212312312311111,1263021,.iyyyzizizyyyiz zz 再單位化，得即為正交單位向量第146頁/共188頁, ,n nHHAAA AAAIAC設(shè)若 滿足則稱 為酉矩陣. 1,n nHHHHHAA AAAIA AIAAIA AC1 設(shè)則第147頁/共188頁 ,n nAR2 當(dāng)酉矩陣就是正交矩陣. 1,1 detn nTHn nAAAAABABCC設(shè)是酉矩陣 則=1;2,仍為酉矩陣；3 若是酉矩陣,則也是酉矩陣.第148頁/共188頁1212,.n nnnnAx xxAx xxCC設(shè),則 是酉矩陣的充要條件是是中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基121111212212221212

40、,nHHHHnHHHHHnnHHHHnnnnnAx xxxx xx xx xxx xx xx xIA Ax xxxx xx xx x則第149頁/共188頁121,0,.HijjinnAijx xx xijx xxC可見 是酉矩陣的充要條件是即是中的標(biāo)準(zhǔn)正交基第150頁/共188頁1, n nHA BUUAUUAUBABC設(shè)若存在酉矩陣使得則稱 與 酉相似.第151頁/共188頁12112,* ,n nn nHnnAUUAUUAUTAAT CC設(shè)若存在酉矩陣,使得其中是 的特征值，即 可酉相似于一個(gè)上三角矩陣 .第152頁/共188頁11111212,n nnnnn nAAPAPP PPPP

41、PPPCCC設(shè)是 的一個(gè)特征值， 為 的屬于 的單位特征向量，將 擴(kuò)充為中一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 令則是一個(gè)酉矩陣，且11212,HHHnHnPPP APP APA P PPP第153頁/共188頁111212122212HHHnHHHnHHHnnnnP APP APP APP APP APP APP APP APP AP1 11121121222112HHHnHHHnHHHnnnnP PP APP APP PP APP APP PP APP AP第154頁/共188頁1121222200HHnHHnHHnnnP APP APP APP APP APP AP從而由歸納法可以證明。第155頁/共188頁

42、, ,n nHHAAA AAAAC設(shè)若 滿足則稱 為正規(guī)矩陣.以下矩陣都是正規(guī)矩陣： 1 ,;n nTAAAR實(shí)對(duì)稱陣：第156頁/共188頁 2 ,;n nTAAA R實(shí)反對(duì)稱陣： 3 ,;n nTTAA AAAIR實(shí)正交矩陣： 4 ,;n nHAAACHermite矩陣： 5 ,;n nHAAA C反Hermite矩陣： 6 ,;n nHHAA AAAIC酉矩陣：0110000iAi如是正規(guī)矩陣.第157頁/共188頁, ,n nHHAAA AAAAC設(shè)則 可以酉相似對(duì)角化的充要條件是即 為正規(guī)矩陣.121n nn nHnAUUAUUAUCC設(shè)可以酉相似對(duì)角化,即存在酉矩陣使得 第158頁

43、/共188頁12HHnUA U從而，21222HHHnHHHUA UUAUUAUUA U故，第159頁/共188頁HHHHHHHHHHUA UUAUUA AUUAUUA UUAA U因此， HHA AAA即， HHA AAA設(shè)Schurn nUC由分解定理，存在酉矩陣使得第160頁/共188頁11121222nnHnntttttUAUt11122212HHnnnntttUA Uttt則，第161頁/共188頁1111121122222212nnnnnnnnHHHHHHHHttttttttttttUA UUAUUA AUUAUUA U于是，1112111222122212nnnnnnnntttt

44、tttttttt第162頁/共188頁2222111112122222122222232222212nnnnnnnnttttttttttttt11220,ijHnntijttUAUt故，即A也就是 可以酉相似對(duì)角化.第163頁/共188頁 Hermite2Hermite.n nHAAAAAAAAxAxC設(shè)是正規(guī)矩陣，則1是矩陣的特征值全是實(shí)數(shù)；是反矩陣的特征值是0或純虛數(shù)；3是酉矩陣的特征值的模是1；4是 的特征值， 是對(duì)應(yīng) 的特征向量，則 是的特征值,對(duì)應(yīng) 的特征向量仍為第164頁/共188頁2n nnAAnU C1設(shè)是一個(gè)正規(guī)矩陣，, ,是 的個(gè)特征值，則存在酉矩陣使得121HnUAUUAU 第165頁/共188頁 HermiteHAAA1是矩陣1122HHnnHAUUUUA1,2,1,2, ,iiiinR inA = ,即 的特征值全是實(shí)數(shù)；第166頁/共188頁 HermiteHAAA 2是矩陣1122HHnnHAUUUUA 1,2,Re0,1,2,iiiininA = ,即