數(shù)學(xué)美學(xué)(五)

1、第五節(jié) 數(shù)學(xué)與音樂(lè) 2500年前的一天，古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯外出散步，經(jīng)過(guò)一家鐵匠鋪，發(fā)現(xiàn)里面?zhèn)鞒龅拇蜩F聲響，要比別的鐵匠鋪更加協(xié)調(diào)、悅耳他走進(jìn)鋪?zhàn)?，量了又量鐵錘和鐵砧的大小,發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律，音響的和諧與發(fā)聲體體積的一定比例有關(guān)爾后，他又在琴弦上做試驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)只要按比例劃分一根振動(dòng)著的弦，就可以產(chǎn)生悅耳的音程就這樣，畢達(dá)哥拉斯在世界上第一次發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)和數(shù)學(xué)的聯(lián)系 中國(guó)古代的音樂(lè)研究和創(chuàng)作中也很早就有了數(shù)學(xué)的應(yīng)用呂氏春秋大樂(lè)中說(shuō)：“音樂(lè)之所由來(lái)者遠(yuǎn)矣：生于度量，本于太一”所謂“生于度量”，即是說(shuō)音律的確定，需要數(shù)學(xué)管子地員篇中記載的確定音律的方法“三分損益法”就是數(shù)學(xué)方法的具體應(yīng)用 我國(guó)明

2、代數(shù)學(xué)家、音樂(lè)理論家朱載堉（1536-1611）所創(chuàng)造的十二平均律，實(shí)際上是將指數(shù)函數(shù)應(yīng)用于音律的確定 法國(guó)數(shù)學(xué)家、神學(xué)家梅審（Mersenne，1588-1648），總結(jié)出了弦振動(dòng)的四條基本規(guī)律：（1）弦振動(dòng)的頻率與弦長(zhǎng)成反比這就是說(shuō)，對(duì)密度、粗細(xì)、張力都不變的弦，增加它的長(zhǎng)度會(huì)使頻率降低，反之會(huì)使頻率增加（2）弦振動(dòng)的頻率與作用在弦上的張力的平方根成正比演奏家在演出前，對(duì)樂(lè)器的弦調(diào)音時(shí)，把弦時(shí)而拉緊，時(shí)而放松，就是調(diào)整弦的張力（3）弦振動(dòng)的頻率與弦的直徑成反比在弦長(zhǎng)、張力固定的情況下，直徑越粗，頻率越低例如，小提琴的四條弦，細(xì)的奏高音，粗的奏低音（4）弦振動(dòng)的頻率與弦的密度的平方根成反比一

3、切弦樂(lè)器的制造都離不開(kāi)這四條基本定律19世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉（Fourier，1768-1830）建立的關(guān)于聲音的數(shù)學(xué)分析代表了用數(shù)學(xué)方法研究音樂(lè)理論的最高成就他證明了所有樂(lè)聲器樂(lè)和聲樂(lè)都可以用數(shù)學(xué)式來(lái)表示和描述，這些數(shù)學(xué)式是簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)的和 任何樂(lè)音都是周期函數(shù)，所以它們均可表示為簡(jiǎn)單的周期函數(shù)之和比如小提琴奏出的樂(lè)聲，其基本公式是 ：( ) 0.06sin10000.02sin20000.01sin3000f tttt黃金分割應(yīng)用于作曲則是數(shù)學(xué)對(duì)音樂(lè)的影響的另一個(gè)顯著領(lǐng)域 20世紀(jì)，某些音樂(lè)流派開(kāi)始打破以往的規(guī)范形式，而采用新的自由形式匈牙利的巴托克（1881-1945）就曾探索將黃

4、金分割法用于作曲中在一些樂(lè)曲的創(chuàng)作技法上，將高潮，或者是音程、節(jié)奏的轉(zhuǎn)折點(diǎn)安排在全曲的黃金分割點(diǎn)處例如要?jiǎng)?chuàng)作89節(jié)的樂(lè)曲，其高潮便在55節(jié)處，如果是55節(jié)的樂(lè)曲，高潮便在34節(jié)處 樂(lè)音體系中有七個(gè)獨(dú)立名稱(chēng)的音級(jí)稱(chēng)為基本音級(jí)，分別用C，D，E，F(xiàn)，G，A，B標(biāo)記，叫做音名比之高八度的則有小字一組c1-b1，再高八度則有小字二組c2-b2等如果以C為起點(diǎn)，則G就是五度音， c1則是八度音C-c1構(gòu)成八度音級(jí)，實(shí)際上只包含5個(gè)全音和2個(gè)半音，相當(dāng)于6個(gè)全音或12個(gè)半音 樂(lè)音體系中各音的絕對(duì)準(zhǔn)確高度及其相互關(guān)系叫做音律音律是在長(zhǎng)期的音樂(lè)實(shí)踐發(fā)展中形成的，并成為確定調(diào)式音高的基礎(chǔ)在歷史發(fā)展過(guò)程中，曾采用

5、過(guò)各種各樣的方法來(lái)確定樂(lè)音體系中各音的高度，其中為大家所熟知的有“純律”、“五度相生律”和“十二平均律”三種目前被世界各國(guó)所廣泛采用的是“十二平均律”但“純律”和“五度相生律”在音樂(lè)生活中仍繼續(xù)發(fā)生著影響 音樂(lè)必須有美的音調(diào)，美的音調(diào)必然是和諧的音調(diào)的基礎(chǔ)則是聲波，聲波實(shí)際上是振動(dòng)物體對(duì)周?chē)目諝獍l(fā)生作用而產(chǎn)生的樂(lè)音通常是由弦的振動(dòng)或空氣柱的振動(dòng)引起的描述樂(lè)音的一個(gè)最基本的量是音高，為了說(shuō)明音高，需要引進(jìn)頻率的概念 頻率頻率指的是物體在單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)通常以秒作為單位時(shí)間，物體每秒振動(dòng)多少次稱(chēng)為多少赫茲或多少赫例如一條緊繃的弦每秒振動(dòng)100次，就說(shuō)它的頻率是100赫茲 五度相生律五度相生律

6、 用五度相生法確定音律是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開(kāi)創(chuàng)的他們發(fā)現(xiàn)，最和諧的音調(diào)是由比1234確定的，從12得到八度音，23得到五度音，34得到四度音 將兩根質(zhì)料相同的弦水平放置，使它們繃緊，并保持相同的張力假定一根弦的長(zhǎng)度為1，另一根弦的長(zhǎng)度為前者的2/3，然后使兩根弦同時(shí)發(fā)音，若前者發(fā)的音是C，則后者發(fā)的音是比前者高五度的G再取后者長(zhǎng)度的2/3，就得到比G高五度的音d1把新弦長(zhǎng)放大一倍，就得到D若長(zhǎng)為1的弦發(fā)音是C，則取該弦長(zhǎng)的3/4時(shí)，就得到比之高四度的音F 五度相生法頻率比的公式是（m，n是整數(shù)）：322nmk12k用五度相生法生成的（大調(diào)式）七音階表 音名 CDEFGABc1m012-1012-1

7、n024-11350頻率比19/881/644/3 3/227/16243/1282三分損益法 三分損益法包含兩層含義： “三分損一”將原有長(zhǎng)度分作三等分，然后減去其中的一分，即三分之二，所生之音是原長(zhǎng)度音上方的五度音 “三分益一”將原有長(zhǎng)度分作三等分，然后添加其中的一分，即三分之四，所生之音是原長(zhǎng)度音下方的四度音 純律純律純律中任何兩個(gè)音的頻率都成整數(shù)比這種音律源于號(hào)角，因?yàn)樗梢源党龃笳{(diào)音階中的三和弦(簡(jiǎn)譜中的1 3 5)，它們的頻率之比為4:5:6大調(diào)音階中的其它三和弦也可以用這種方法得到，例如簡(jiǎn)譜中的4 6 1和5 7 2這種音律在演奏和聲時(shí)很有優(yōu)勢(shì)，因?yàn)轭l率的整數(shù)比可以產(chǎn)生最好的結(jié)合

8、銅管樂(lè)器指法不變時(shí)遵循純律 ，所以在演奏和聲時(shí)，要盡可能地使用同樣的指法然而沒(méi)有一種樂(lè)器是按照純律定音的 十二平均律十二平均律 三分損益律和五度相生律一樣，其缺點(diǎn)是，由于一個(gè)音階內(nèi)各音級(jí)的頻率比不相等，從而使得轉(zhuǎn)調(diào)比較困難朱載堉在律呂精義中提出了“新法密律”的計(jì)算方法，也就是創(chuàng)造了十二平均律，從而克服了這一缺點(diǎn) 將八度分成十二個(gè)均等的部分（半音）的音律叫做十二平均律十二平均律早在古希臘時(shí)便有人提出了，但并未加以科學(xué)的計(jì)算世界上最早根據(jù)數(shù)學(xué)來(lái)制訂十二平均律的是我國(guó)明朝的音樂(lè)家朱載堉 十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，并把八度分成12個(gè)半音，使相鄰兩個(gè)半音的頻率比是常數(shù)設(shè)C的頻率是b，則 c1的頻率就是2b如果前后兩個(gè)半音的頻率比是q，那么各半音的頻率就構(gòu)成了以q為公比的等比數(shù)列于是 122bb q1221.059463q 根據(jù)十二平均律，各音級(jí)的頻率 構(gòu)成一個(gè)指數(shù)函數(shù)因此，鋼琴的弦和風(fēng)琴的管外形輪廓都是