湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院單招數(shù)學(xué)模擬試題(附答案解析)

1、一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分1若復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)（ ） a（a）（b）（c）（d）2.已知 ，猜想的表達(dá)式為（ ）. a. b. c. d.3等比數(shù)列中，則“”是“”的 b（a）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件（c）充分必要條件（d）既不充分也不必要條件4從甲、乙等名志愿者中選出名，分別從事，四項不同的工作，每人承擔(dān)一項若甲、乙二人均不能從事工作，則不同的工作分配方案共有 b（a）種（b）種（c）種（d）種5.已知定義在上的函數(shù)的對稱軸為，且當(dāng)時，.若函數(shù)在區(qū)間（）上有零點，則的值為 a（a）或 （b）或 （c）或 （d）或6已知函數(shù)，其中若對于任意的，都

2、有，則的取值范圍是 d（a）（b）（c）（d）7.已知函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，則 ba當(dāng)時， b. 當(dāng)時，c. 當(dāng)時， d. 當(dāng)時，8如圖，正方體中，為底面上的動點，于，且，則點的軌跡是 a（a）線段（b）圓?。╟）橢圓的一部分（d）拋物線的一部分第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9設(shè)等差數(shù)列的公差不為，其前項和是若，則_510.的展開式中的系數(shù)是 1601設(shè).若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為,則_.12在直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于原點對稱點在拋物線上，且直線與的斜率之積等于，則_13. 數(shù)列的通項公式，前項和為，則 _。301814記實數(shù)中的最大

3、數(shù)為，最小數(shù)為.設(shè)的三邊邊長分別為，且，定義的傾斜度為（）若為等腰三角形，則_；1（）設(shè)，則的取值范圍是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15.（本小題共14分）已知函數(shù) （）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（）討論的單調(diào)性； （iii）若存在最大值，且，求的取值范圍（18）（共14分）解：（）當(dāng)時， 所以又，所以曲線在點處的切線方程是，即（）函數(shù)的定義域為， 當(dāng)時，由知恒成立，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)時，由知恒成立，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增 當(dāng)時，由，得，由，得，此時在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 （iii）由（）知函數(shù)的定義域為，當(dāng)或時，在區(qū)間上

4、單調(diào)，此時函數(shù)無最大值 當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時函數(shù)有最大值 最大值因為，所以有，解之得所以的取值范圍是 16（本小題滿分13分）已知函數(shù)的一個零點是 （）求實數(shù)的值； （）設(shè)，求的單調(diào)遞增區(qū)間 （）解：依題意，得， 1分 即 ， 3分解得 5分（）解：由（）得 6分 7分 8分 9分 10分由 ，得 ， 12分所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為， 13分117. （本小題滿分13分）已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數(shù)列bn的通項公式bn;(2)設(shè)數(shù)列an的通項an=loga(1+)(其中a0且a1)記sn是數(shù)列an的前n項和，試比較sn與l

5、ogabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.(1)解：設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得,bn=3n2(2)證明：由bn=3n2知sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是，比較sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)(1+)與的大小.取n=1，有(1+1)=取n=2，有(1+1)(1+推測：(1+1)(1+)(1+) (*)當(dāng)n=1時，已驗證(*)式成立.假設(shè)n=k(k1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)(1+)則當(dāng)n=k+1時，,即當(dāng)n=k+1時，(*)式成立由知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立.于

6、是，當(dāng)a1時，snlogabn+1,當(dāng) 0a1時，snlogabn+118（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求的極值；（）若存在區(qū)間，使和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，求的取值范圍18.（本小題滿分13分）（）解：的定義域為， 1分且 2分 當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減 從而沒有極大值，也沒有極小值 3分 當(dāng)時，令，得 和的情況如下：故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為從而的極小值為；沒有極大值 5分（）解：的定義域為，且 6分 當(dāng)時，顯然 ，從而在上單調(diào)遞增 由（）得，此時在上單調(diào)遞增，符合題意 8分 當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不合題意9分 當(dāng)時，令，得和的情況如下表：當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞增，由于

7、在上單調(diào)遞減，不合題意 11分當(dāng)時，此時在上單調(diào)遞減，由于在上單調(diào)遞減，符合題意 綜上，的取值范圍是 13分19（本小題滿分14分）如圖，橢圓的左焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的一個頂點時，其傾斜角恰為 （）求該橢圓的離心率；（）設(shè)線段的中點為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點記的面積為，（為原點）的面積為，求的取值范圍19（本小題滿分14分）（）解：依題意，當(dāng)直線經(jīng)過橢圓的頂點時，其傾斜角為 1分設(shè) ，則 2分將 代入 ，解得 3分所以橢圓的離心率為 4分（）解：由（），橢圓的方程可設(shè)為 5分設(shè)，依題意，直線不能與軸垂直，故設(shè)直線的方程為，將其代入，整理得 7分則 ， 8分因為 ，所以 ， 9分因為 ，所以 11分 13分所以的取值范圍是 14分（20）（本小題共13分）設(shè)是由個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組，記作：.其中 稱為數(shù)組的“元”，稱為的下標(biāo). 如果數(shù)組中的每個“元”都是來自 數(shù)組中不同下標(biāo)的“元”，則稱為的子數(shù)組. 定義兩個數(shù)組，的關(guān)系數(shù)為. （）若，設(shè)是的含有兩個“元”的子數(shù)組，求的最大值；（）若，且，為的含有三個“元”的子數(shù)組，求的最大值.（20）（共13分）解：（）依據(jù)題意，當(dāng)時，取得最大值為2 （）當(dāng)