ch2第二章隨機(jī)變量及其分布

1、2021-11-1613.4.91第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布2021-11-1613.4.92., 1, 0)(HeTeeXX.2101XPXP2021-11-1613.4.93SteteXX,)(, 0XR25001000 X2021-11-1613.4.94SeX(e)R2021-11-1613.4.95)(|LeXePLXP2021-11-1613.4.962021-11-1613.4.972021-11-1613.4.98 1、離散型隨機(jī)變量的分布律；、離散型隨機(jī)變量的分布律； 2、隨機(jī)變量的分布函數(shù)概念：、隨機(jī)變量的分布函數(shù)概念： 3、分布函數(shù)的性質(zhì)：、分布函數(shù)的

2、性質(zhì)： 4、常見的離散型隨機(jī)變量介紹：、常見的離散型隨機(jī)變量介紹：兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布：二項(xiàng)分布：poisson分布分布:幾何分布（簡(jiǎn)介）：幾何分布（簡(jiǎn)介）：2021-11-1613.4.99)(xXPxFxxX隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)實(shí)數(shù)點(diǎn)實(shí)數(shù)點(diǎn)2021-11-1613.4.9102021-11-1613.4.911),(arctan)(xxBAxF, 02)arctan(lim)(BAxBAFx, 12)arctan(lim)(BAxBAFx.1,21BA).(arctan121)(xxxF2021-11-1613.4.912) 1() 1 (11FFXP)4(1214121.212021-11-

3、1613.4.913nxxx,21), 2 , 1(kxXPpkk2021-11-1613.4.914 數(shù)列數(shù)列:);, 2 , 1(kxXPpkk1x2xnxX1p2pnpkp表格表格:矩陣矩陣:nnpppxxxX2121 圖形圖形:在隨機(jī)變量每個(gè)可能取值的點(diǎn)處畫一長(zhǎng)度為相在隨機(jī)變量每個(gè)可能取值的點(diǎn)處畫一長(zhǎng)度為相應(yīng)概率值的線段。應(yīng)概率值的線段。P.36:圖圖2-12021-11-1613.4.9151kkp ), 2 , 1(0kpk 11kkp.)(xxkkpxF), 2 , 1)(0()(kxFxFpkkk2021-11-1613.4.9162021-11-1613.4.917,21kx

4、xx,21kppp1x2x3xkxx1p2p3pkp如何計(jì)算離散如何計(jì)算離散隨機(jī)變量落在隨機(jī)變量落在一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率？概率？2021-11-1613.4.918;1)(01pAPXPkA).4 , 3 , 2 , 1()(kpAPk 解解設(shè)設(shè)X X是是“汽車首次停下已經(jīng)通過的信號(hào)燈的盞汽車首次停下已經(jīng)通過的信號(hào)燈的盞數(shù)數(shù)”, ,則則X X為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量, ,其可能取值為其可能取值為0,1,2,3,4;0,1,2,3,4;現(xiàn)求現(xiàn)求X X取取各值的概率各值的概率. .);1 ()()()(12121ppAPAPAAPXP2021-11-1613.4.919);1 ()()()()

5、(22321321ppAPAPAPAAAPXP);1 ()()()()()(3343214321ppAPAPAPAPAAAAPXP.)()()()()(4443214321pAPAPAPAPAAAAPXP013X24p1)1 (pp )1 (3pp)1 (2pp4pkp2021-11-1613.4.920 【解解】由于由于X表示取出的表示取出的3只球的最大號(hào)碼只球的最大號(hào)碼,故故X的所的所有可能取值為有可能取值為3,4,5。,10133522CCXP必取必取3號(hào)球號(hào)球,只能再取只能再取1,2號(hào)球號(hào)球,10343523CCXP必取必取4號(hào)球號(hào)球,再?gòu)脑購(gòu)?,2,3號(hào)球中取號(hào)球中取2只只,1065

6、3524CCXP必取必取5號(hào)球號(hào)球,再?gòu)脑購(gòu)?,2,3,4號(hào)球中取號(hào)球中取2只只由古典概率可得：由古典概率可得：2021-11-1613.4.921Xpk3450.10.30.6即所求分布律為即所求分布律為: 由分布函數(shù)概念可知：由分布函數(shù)概念可知：分布函數(shù)是累積和。因此，分布函數(shù)是累積和。因此，對(duì)離散型隨機(jī)變量由分布列求分布函數(shù)時(shí)需分段考慮，對(duì)離散型隨機(jī)變量由分布列求分布函數(shù)時(shí)需分段考慮，X X的所有可能取值就是分界點(diǎn)，即應(yīng)該就的所有可能取值就是分界點(diǎn)，即應(yīng)該就x x分別位于區(qū)間分別位于區(qū)間（-，3 3），），33，4 4），），44，5 5），），55，+ + ）來分別計(jì)）來分別計(jì)算事件算

7、事件XxXx的概率。的概率。 )(xXPxF 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),) 3 ,(x; 0)( P2021-11-1613.4.922)(xXPxF 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),) 4 , 3 x; 1 . 03XP)(xXPxF 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),) 5 , 4x)43(XXP43XPXP; 4 . 03 . 01 . 0)(xXPxF 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),), 5 x. 1)(SP)543(XXXP2021-11-1613.4.923. 5, 1, 54, 4 . 0, 43, 1 . 0, 3, 0)(xxxxxFOx)(xF 分布函數(shù)的圖形為分布函數(shù)的圖形為:53414 . 01 . 02021-11-1613.4.924 【

8、例例3】設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 【解解】由概率可加性與分布函數(shù)定義可得分布函數(shù)由概率可加性與分布函數(shù)定義可得分布函數(shù)求求X的分布函數(shù)和概率的分布函數(shù)和概率PX0.5,P1.5X 2.5,P2 X 3.1X23kp25. 05 . 025. 0. 3, 1, 32,75. 0, 2125. 0, 1, 0)(xxxxxF2021-11-1613.4.925 由分布列求分布函數(shù)時(shí)：用由分布列求分布函數(shù)時(shí)：用X X可能取的值可能取的值kxxx,21分分(-(-，+）為）為k+1個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間), ,),),),(32211kxxxxxx分別就分別就x落在上述各區(qū)間內(nèi)計(jì)算落在上述各區(qū)

9、間內(nèi)計(jì)算Xx的值概率的值概率累積和累積和即求出即求出F(x)的值；的值； 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X落在區(qū)間落在區(qū)間I內(nèi)的概率可以利用內(nèi)的概率可以利用分分布列或分布函數(shù)計(jì)算，即含于布列或分布函數(shù)計(jì)算，即含于I內(nèi)點(diǎn)的概率之和或分布內(nèi)點(diǎn)的概率之和或分布函數(shù)在函數(shù)在I上的增量，必要時(shí)加減端點(diǎn)概率值。上的增量，必要時(shí)加減端點(diǎn)概率值。2021-11-1613.4.926 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是一個(gè)的分布函數(shù)是一個(gè)右連續(xù)右連續(xù)的的階梯函數(shù)階梯函數(shù)，其，其定義域定義域是是(-,+),(-,+),值域值域是是0,10,1。) 10 ;, 2 , 1 , 0()1 (pnkppCkXPk

10、nkkn1、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布).,(pnBX則稱則稱X X服從參數(shù)服從參數(shù)n n，p p的二項(xiàng)分布，記為的二項(xiàng)分布，記為2021-11-1613.4.927. 1)1 ()1 () 2(; 0) 1 (00nknknkknnkppppCkXPkXP二項(xiàng)式二項(xiàng)式公式公式 二項(xiàng)分布分布律的圖形二項(xiàng)分布分布律的圖形:1 234xkXPO2021-11-1613.4.928AA,),10()(ppAP),(pnBX), 2 , 1 , 0()1 (nkppCkXPknkknknC2021-11-1613.4.9293213213212AAAAAAAAAX)(2321321321AAAAAAAAAPX

11、P)()()(321321321AAAPAAAPAAAP)()()()()()(321321APAPAPAPAPAP)()()(321APAPAP23223)1 (ppC2021-11-1613.4.930 (1).(1).恰有恰有2 2個(gè)設(shè)備被使用個(gè)設(shè)備被使用的概率為的概率為 ;0729.09.01.023225CXP2021-11-1613.4.931533kkXPXP (2).(2).至少有三個(gè)設(shè)備被使用至少有三個(gè)設(shè)備被使用的概率為的概率為 =0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.=0.0081+0.00045+0.00001=0.00856.0555144523

12、359 . 01 . 09 . 01 . 09 . 01 . 0CCC (3). 至多有三個(gè)設(shè)備被使用至多有三個(gè)設(shè)備被使用的概率為的概率為 541330XPXPkXPXPk5554451 . 09 . 01 . 01CC =1-0.00045-0.00001=0.99954.2021-11-1613.4.932 (4). 至少有一個(gè)設(shè)備被使用至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率為的概率為50059 . 01 . 01011CXPXP = 1-0.59049=0.40951. 請(qǐng)看教材請(qǐng)看教材P.41:例例3.!)1 (keppCkknkkn 學(xué)會(huì)查學(xué)會(huì)查附表附表3:泊松分布表泊松分布表.2021-11-

13、1613.4.933.01. 0 NXP 由由泊松公式泊松公式得得: :.01. 0!313NkkkeNXP2021-11-1613.4.934 學(xué)查學(xué)查附表附表3:泊松分布表泊松分布表.P.296 在在P.297找到找到=np=3000.01=3一列一列,向下找到第向下找到第一個(gè)小于一個(gè)小于0.01的值為的值為0.003803,橫向左找到橫向左找到x=9,即即N+1=9,得得: N=8. 答答:至少需配備至少需配備8個(gè)維修工人個(gè)維修工人. 請(qǐng)自學(xué)請(qǐng)自學(xué)P.45:例例5.注意其實(shí)際意義注意其實(shí)際意義. 上面例子告訴我們，利用重要隨機(jī)變量分布律也上面例子告訴我們，利用重要隨機(jī)變量分布律也可求隨機(jī)

14、事件的概率！可求隨機(jī)事件的概率！2021-11-1613.4.935 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X所有可能取的值為所有可能取的值為0,1,2,0,1,2,，且其分布律為且其分布律為), 2 , 1 , 0(!kkekXPk).(PX 容易驗(yàn)證泊松分布的分布律滿足：容易驗(yàn)證泊松分布的分布律滿足：; 0) 1 (kXP. 1!) 2(000eekekekXPkkkkk 泊松分布有著廣泛的應(yīng)用泊松分布有著廣泛的應(yīng)用P.442021-11-1613.4.936002479. 0! 060660eeXP)., 2 , 1 , 0(!6kkekXPkk2021-11-1613.4.937X-1-2-3-4-

15、5ex0.36790.13530.049790.01830.0067X-6-7-8-9-10ex0.0024790.0009120.0003350.0001230.0000452021-11-1613.4.938靶子靶子X彈著點(diǎn)彈著點(diǎn) 【解解】只能按分布函數(shù)定義來求只能按分布函數(shù)定義來求. 1、當(dāng)、當(dāng)x0時(shí)時(shí),Xx為為不可能事不可能事件件(因?yàn)閺椫c(diǎn)與圓心的距離不可因?yàn)閺椫c(diǎn)與圓心的距離不可能為負(fù)能為負(fù)),故故; 0)()(PxXPxF 2、當(dāng)、當(dāng)0 x 2時(shí)時(shí),由題意得由題意得,)(2xkxXPxF 取取x=2以確定以確定k的值的值:,42212kkXP,41k射擊射擊均能均能中靶中靶202

16、1-11-1613.4.939 故故;4)(2xxXPxF 3、當(dāng)、當(dāng)x2時(shí)時(shí),Xx為為必然事件必然事件,故故; 1)()(SPxXPxF 綜上得綜上得X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:. 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF)(xFxO1212021-11-1613.4.940 此外此外,易驗(yàn)證易驗(yàn)證:對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有均有xdttfxF)()(其中非負(fù)函數(shù)其中非負(fù)函數(shù)., 0, 20,2)(其它tttf2021-11-1613.4.9412021-11-1613.4.942,)()(xdttfxF2021-11-1613.4.943 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨

17、機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 分布函數(shù)分布函數(shù) 概率分布概率分布 概率密度概率密度概率密度概率分布)()()(tfdttfppxXPxFxkxxkk2021-11-1613.4.944);(0)(. 1xxf; 1)(. 2dxxf);()()(. 3aFbFdxxfbXaPba);()()(. 4xdttfxFx).)()()(. 5的連續(xù)點(diǎn)為xfxxfxF 求概率求概率 由概率密度求分布函數(shù)由概率密度求分布函數(shù) 由分布函數(shù)求概率密度由分布函數(shù)求概率密度 確定待定參數(shù)確定待定參數(shù) 2021-11-1613.4.945概率密度的形象化解釋概率密度的形象化解釋)()()(aFbFdxxfbXaPba)

18、1|(|)()(xxxfdxxfxxx2021-11-1613.4.946, 0, 11,12)(2其它xxxf 【解解】注意到概率密度注意到概率密度f(x)在在(-,+)上為分段函數(shù)上為分段函數(shù),其分段區(qū)間為其分段區(qū)間為(- ,-1,(-1,1,(1,+);而分布函數(shù)為累積而分布函數(shù)為累積和和,故應(yīng)就故應(yīng)就x在上述不同區(qū)間上積分求在上述不同區(qū)間上積分求F(x).1x; 00)()(xxdtdttfxF2021-11-1613.4.94711xxdttfxF)()(;21arcsin112xxx.arcsin2222222Caxaxaxdxxaxdttdt1211202021-11-1613.

19、4.9481xxdttfxF)()(xdtdttdt111210120; 1.12112112t dt2021-11-1613.4.949. 1, 1, 11,21arcsin11, 1, 0)(2xxxxxxxF2021-11-1613.4.950, 0, 0, 0,)1 (1)(xxexxFx;21,21,1XPXPXP) 1 (1FXP 【解解】（1）由分布函數(shù)求概率公式得：）由分布函數(shù)求概率公式得：1) 11 (1e;211e) 1() 2(21FFXP0) 21 (1 2e;312e2021-11-1613.4.95121121XPXP)21(1 F)211 (121e.23121e

20、 （2）對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即得概率密度：）對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即得概率密度：, 0, 0, 0,)1 (1)(xxexxFx. 0, 0, 0,)()(xxxexFxfx2021-11-1613.4.952 P(A)=0 A=.2021-11-1613.4.953, 0,1)(其它bxaabxf).,(baUX., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF2021-11-1613.4.954, 0, 0,)(其它xexfx., 0, 0,1)(其它xexFx).(eX2021-11-1613.4.955., 0, 0,51)(5其它xexfxdxedxxfXPpx1010551)(102021-11-

21、1613.4.956.13533528. 0|2105eex)5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0()1 (5225keeCkYPkkk52)1 (1011eYPYP48332437. 0186466472. 015.51657563. 02021-11-1613.4.95702442KKxx., 0, 50,51)(其它kkf02442KKxx0) 1)(2(16)2(44)4(2KKKK2021-11-1613.4.9581K2K2 1)2 1(KPKPKKP53510521dxdx2021-11-1613.4.959),(21)(222)(xexfx).,(2NX).(21)(22

22、2)(xdxexFxx2021-11-1613.4.960,21)(22xex.21)(22xtdtex;21)()(max fxf2021-11-1613.4.961).(1)(xx).(1),(xx2021-11-1613.4.962 設(shè)設(shè)r.v. ,r.v. ,則則r.v.r.v.),(2NX).1 ,0( NXZxxF)(2021-11-1613.4.963.abbXaP)10(zXPz)10(1)(z2021-11-1613.4.964)10(1)(zXPz.645.105.0z.575.2005.0z2021-11-1613.4.96596.1025.0z2021-11-1613.

23、4.966 (7(7、利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)、利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)可以計(jì)算概率積分：可以計(jì)算概率積分：12122dtet222dtet2022dtet202dxex (8(8、正態(tài)分布的、正態(tài)分布的“3-3-原則原則”;6826. 01) 1 (2) 1() 1 (|XP;9544. 01) 2(2) 2() 2(2|XP.9974. 01) 3 (2) 3() 3 (3|XP2021-11-1613.4.96723223552XP )5 . 0(1) 1 (5 . 015328. 06915. 018413. 02342310104XP15 . 325 . 35 . 39996. 019998

24、. 022021-11-1613.4.968221212XPXPXP5 . 25 . 015.05.216977. 06915. 09938. 01,1cXPcXPcXP,2123 ccXP3c, 023c2021-11-1613.4.9692021-11-1613.4.970), 2 , 1 , 0(kxXPpkk;,21kyyy),(jiyyji2021-11-1613.4.971);, 2 , 1()()(kxXPxgXgPyYPkkk),()()(mjikxgxgxgymjikxXPxXPxXPyYP2021-11-1613.4.972X-1012pk0.20.30.10.4pk0.2

25、0.30.10.4X-10122021-11-1613.4.973X-1-2-101pk0.20.30.10.4X2-1-103pk0.30.30.4110102XPXPXPYP. 3 . 01 . 02 . 02021-11-1613.4.974)()(yXgPyYPyFY)(xfX)(yfYdxxfIXPyIXy)()(yfY2021-11-1613.4.975),)(xxfX)(yFY)(2yXPyYPyFY, 0, 0),(yyXyPyP, 0,)(, 0, 0ydxxfyyyX2021-11-1613.4.976)()(yFyfYY, 0),21()(21)(, 0, 0yyyfyyfyXX. 0),()(21, 0, 0yyfyfyyXX,21)(22xex2021-11-1613.4.977.0, 0, 0,21)(221yyeyyfyY).()()()()()()(xaxafxbxbfdttfxbxa2021-11-1613.4.978., 0, 10, 1)(其它