ch4_4雙線性變換法

1、數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理 如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器?W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)頻率頻率變換變換設計模擬設計模擬濾波器濾波器AF到到DF的轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換利用利用AF-BW filter及脈沖響應不變法設計一及脈沖響應不變法設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 。01-18-16-14-12-10-8-6-4-20Normalized frequencyGain,dBAs = 14.2dB)(sH) (sH)(zH

2、wwW/,/TT)2arctan(2TTwwT wW,)2tan(2WwT模擬頻率與數(shù)字頻率的關系為 T/p )2tan(2WwT)2cos()2sin(2j)2tan(2jjWWWwTTwjsWjez11112zzTssTsTz/2/22j2j2j2jeeee2WWWWTWWjje1e12TWWwjje1e12jT雙線性變換雙線性變換 11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令令s= +jw w，則有，則有1) 1) 0,0,|z| 0,0,|z|1S域虛軸映射到域虛軸映射到z域單位圓上域單位圓上S域右半平面映射到域右半平面映射到z域單位圓外域單位圓外) 2/tan

3、(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww)2(tan2Tw雙線性變換法雙線性變換法適合設計幅度響應為分段常數(shù)的數(shù)字濾波器。幅度響應不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真幅度響應不是常數(shù)時會產(chǎn)生幅度失真無混疊無混疊1. 1. 將數(shù)字濾波器的頻率指標將數(shù)字濾波器的頻率指標 W Wk 轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為 模擬濾波器的頻率指標模擬濾波器的頻率指標 w wk 2. . 由模擬濾波器的指標設計模擬濾波器的由模擬濾波器的指標設計模擬濾波器的H(s)。3. 利用雙線性變換法，將利用雙線性變換法，將H(s)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzHW Wp,W Wsw wp,w w

4、sH(s)H(z)設計模擬設計模擬濾波器濾波器雙線性變換雙線性變換：AF分子、分母多項式的系數(shù)向量分子、分母多項式的系數(shù)向量Fs：抽樣頻率：抽樣頻率：DF分子、分母多項式的系數(shù)向量分子、分母多項式的系數(shù)向量利用利用MATLAB)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指標標W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應不變法設計的脈沖響應不變法設計的DF比較。比較。設雙線性變換中的參數(shù)為設雙線性變換中的參數(shù)為T(1) 將將DF的頻率指標轉(zhuǎn)換為的

5、頻率指標轉(zhuǎn)換為AF的頻率指標的頻率指標)2tan(2ppWwT(2) 設計設計3dB截頻為截頻為w wp的一階的一階BW型模擬低通濾波器，即型模擬低通濾波器，即N=1, w wc = w wp1/1)(cwssH1/1pws故故1)2/tan(21pWsT 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指標標W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應不變法設計的脈沖響應不變法設計的DF比較。比較。設雙線性變換中的參數(shù)為設雙線性變換中的參數(shù)為T(3) 用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用雙線性

6、變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器參數(shù)參數(shù)T的取值和最終的設計結果無關。的取值和最終的設計結果無關。 為簡單起見，一般取為簡單起見，一般取T=2 1)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW11112zzTs112697. 01366. 0366. 0zz 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指標標W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應不變法設計的脈沖響應不變法設計的DF比較。比較。雙線性變換法設計的雙線性變換

7、法設計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為112697. 01)366. 0366. 0)(zzzH雙脈沖響應不變法設計的脈沖響應不變法設計的DF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為1ppe1e1)(zzHWW脈令令z=ejW W ，可分別獲得兩者的幅度響應。，可分別獲得兩者的幅度響應。1/3e1/3z 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足指標標W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應不變法設計的脈沖響應不變法設計的DF比較。比較。H雙雙(z)和和H脈脈(z)幅度響應比較的幅度響應比較的MATLAB實現(xiàn)實

8、現(xiàn)Wp=pi/3;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1 -exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid; 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設計滿足型模擬低通濾

9、波器和雙線性變換法設計滿足指標指標W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應不變法設計的并與脈沖響應不變法設計的DF比較。比較。脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法 脈沖響應不變法存在頻脈沖響應不變法存在頻譜混疊，所設計的譜混疊，所設計的DF不滿不滿足給定指標。而雙線性變足給定指標。而雙線性變換法不存在頻譜混疊，所換法不存在頻譜混疊，所設計的設計的DF滿足給定指標。滿足給定指標。 利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2d

10、B, As 15dB (1) 將數(shù)字低通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標將數(shù)字低通指標轉(zhuǎn)換成模擬低通指標，取，取T=2 Ap2db, As15db (2) 設計模擬低通濾波器設計模擬低通濾波器 （BW型）型）)/lg(2)110110(lgps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.585 1 12)(1)(c2cLwwsssH9324. 0)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT3342. 05827. 03342. 02ss利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2

11、p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (3) 用用雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器 11112)()(zzTssHzH21213237. 02606. 018157. 05315. 08157. 0zzzz利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP

12、 specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)利用利用AF-BW

13、filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%com

14、puter Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized freq

15、uencyGain,dbAp= 0.3945As= 15.0000利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設計一設計一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dB將將雙線性變換法與脈沖響應不變法所雙線性變換法與脈沖響應不變法所設計設計DF的結果比較。的結果比較。雙線性變換雙線性變換Ap= 0.3945As= 15.0000脈沖響應不變法脈沖響應不變

16、法雙線性變換法雙線性變換法脈沖響應不變脈沖響應不變Ap= 1.1187As= 12.3628W Wp,W Wsw wp,w wsH(z)w =W/T脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法H(s)模擬頻模擬頻率變換率變換設計原型設計原型低通濾波器低通濾波器sp,ww)(LsH復頻率變換復頻率變換)2tan(2Tw 脈沖響應不脈沖響應不變法不能設計變法不能設計和和數(shù)字濾數(shù)字濾波器波器1e111zpsTpll11112zzTsW Wp,W WsH(z)w =W/T脈沖響應不變法脈沖響應不變法雙線性變換法雙線性變換法數(shù)字頻數(shù)字頻率變換率變換設計原型設計原型低通濾波器低通濾波器sp,ww)

17、(LsH)2tan(2WwT1e111zpsTpll11112zzTssp,WW)(LzHz域域變換變換試設計滿足下列指標的試設計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。 脈沖響應不變法不適合設計數(shù)字帶阻濾波器，脈沖響應不變法不適合設計數(shù)字帶阻濾波器，因此采用雙線性變換法設計。因此采用雙線性變換法設計。 (1) 將數(shù)字帶阻濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指標將數(shù)字帶阻濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指

18、標 )2tan(2WwT取取T=2，利用，利用得模擬帶阻指標為得模擬帶阻指標為w wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 試設計滿足下列指標的試設計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(2) 將模擬帶阻濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標將模擬帶阻濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標 21s2swwB9499.

19、92s1s0www3714. 0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB, As 10dB 1sww wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 模擬帶阻指標模擬帶阻指標試設計滿足下列指標的試設計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(3) 設計原型設計原型BW型模擬低通濾波器型模擬低通

20、濾波器 Ap 1dB, As 10dB 1,3714. 0spww原型模擬低通指標原型模擬低通指標2)/(lg2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN5774. 0) 110()2/(11 . 0scsNAww原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 12)(1)(c2cLwwsssH3333. 08165. 03333. 02ss試設計滿足下列指標的試設計滿足下列指標的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB (4) 由復頻率變換將原型模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器由復頻率變換將原型模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器 3333. 08165. 03333. 0)(2LsssH202)()(LBSwsBsssHsH9801485210899. 4980119823424ssssss(5) 由雙線性變換模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器由雙線性變換模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器 11112)()(zzTssHzH432143219067. 06412. 35601. 58241. 319522. 07327. 3