工程力學(xué)第四章

1、第第4 4章章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動4.1 4.1 轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系小小 結(jié)結(jié)返回第第4 4章章 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體的運動形式很多，在機械中常見的有平動、繞固定軸轉(zhuǎn)剛體的運動形式很多，在機械中常見的有平動、繞固定軸轉(zhuǎn)動和平面運動。動和平面運動。 由于剛體的任何復(fù)雜運動都可以分解為平動和轉(zhuǎn)動，所以平由于剛體的任何復(fù)雜運動都可以分解為平動和轉(zhuǎn)動，所以平動和繞定軸轉(zhuǎn)動是剛體運動的基本形式。本章只研究剛體繞動和繞定軸轉(zhuǎn)動是剛體運動的基本形式。本章只研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動。定軸轉(zhuǎn)動。下一頁 返回4.

2、1 4.1 轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度4.1.1 4.1.1 轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動方程剛體轉(zhuǎn)動時，體（或其延伸部分）有一條直線始終保持不動，剛體轉(zhuǎn)動時，體（或其延伸部分）有一條直線始終保持不動，其余各點都繞此直線作圓周運動。這種運動稱為剛體繞固定其余各點都繞此直線作圓周運動。這種運動稱為剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動。固定不動的直線稱為轉(zhuǎn)動軸。軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動。固定不動的直線稱為轉(zhuǎn)動軸。為了確定剛體任一瞬時在空間的位置，現(xiàn)設(shè)某一剛體繞固定為了確定剛體任一瞬時在空間的位置，現(xiàn)設(shè)某一剛體繞固定軸軸OzOz轉(zhuǎn)動，如轉(zhuǎn)動，如圖圖4-14-1所示。過剛體轉(zhuǎn)軸作平面所示。過剛體轉(zhuǎn)軸作平面和平面和

3、平面，平，平面面與固定參考體保持不動，平面與固定參考體保持不動，平面聯(lián)結(jié)在剛體上與剛體一聯(lián)結(jié)在剛體上與剛體一起繞定軸轉(zhuǎn)動，兩平面之間夾角起繞定軸轉(zhuǎn)動，兩平面之間夾角稱為轉(zhuǎn)角。顯然剛體在空稱為轉(zhuǎn)角。顯然剛體在空間的位置，可由轉(zhuǎn)角間的位置，可由轉(zhuǎn)角來確定，對應(yīng)一個轉(zhuǎn)角來確定，對應(yīng)一個轉(zhuǎn)角，剛體便有，剛體便有一個確定的位置。一個確定的位置。 下一頁上一頁返回4.1 4.1 轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角隨時間而變化，是時間隨時間而變化，是時間t t的單值連續(xù)函數(shù)，的單值連續(xù)函數(shù)，即即 (4.1)(4.1)式式(4.1)(4.1)稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)

4、動方程，它反映了剛體的轉(zhuǎn)稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方程，它反映了剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律。動規(guī)律。轉(zhuǎn)角的單位用弧度轉(zhuǎn)角的單位用弧度(rad(rad) )表示，規(guī)定從轉(zhuǎn)軸的正向朝負(fù)向看去，表示，規(guī)定從轉(zhuǎn)軸的正向朝負(fù)向看去，逆時針轉(zhuǎn)動時，逆時針轉(zhuǎn)動時，角為正；順時針轉(zhuǎn)動時，角為正；順時針轉(zhuǎn)動時，角為負(fù)。角為負(fù)。下一頁上一頁返回( ) t4.1 4.1 轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度4.1.2 4.1.2 角速度和線速度角速度和線速度角速度是表示剛體轉(zhuǎn)動快慢和轉(zhuǎn)動方向的物理量。設(shè)在瞬時角速度是表示剛體轉(zhuǎn)動快慢和轉(zhuǎn)動方向的物理量。設(shè)在瞬時t t，剛體的轉(zhuǎn)角為；在瞬時剛體的轉(zhuǎn)角為；在瞬時t t ，

5、剛體的轉(zhuǎn)角為，剛體的轉(zhuǎn)角為 ，如，如圖圖4-24-2所示。則在所示。則在時間內(nèi)，剛體轉(zhuǎn)過了角，則比值的極值稱為剛體在時間內(nèi)，剛體轉(zhuǎn)過了角，則比值的極值稱為剛體在t t瞬時的瞬時瞬時的瞬時角速度，簡稱角速度，以角速度，簡稱角速度，以表示。有表示。有 (4.2)(4.2)式式(4.2)(4.2)表明，剛體的角速度等于轉(zhuǎn)角對時間的一階導(dǎo)數(shù)。角速表明，剛體的角速度等于轉(zhuǎn)角對時間的一階導(dǎo)數(shù)。角速度的正負(fù)號表示剛體的轉(zhuǎn)動方向。當(dāng)時，剛體往轉(zhuǎn)角的正向轉(zhuǎn)度的正負(fù)號表示剛體的轉(zhuǎn)動方向。當(dāng)時，剛體往轉(zhuǎn)角的正向轉(zhuǎn)動，即逆時針轉(zhuǎn)動；當(dāng)時，剛體往轉(zhuǎn)角的負(fù)向轉(zhuǎn)動，即順時針動，即逆時針轉(zhuǎn)動；當(dāng)時，剛體往轉(zhuǎn)角的負(fù)向轉(zhuǎn)動，即順

6、時針轉(zhuǎn)動。角速度的單位為弧度轉(zhuǎn)動。角速度的單位為弧度/ /秒秒(rad/s(rad/s) )或簡寫為或簡寫為1/1/秒秒(1/s)(1/s)。下一頁上一頁返回0lim( )tdttdt 4.1 4.1 轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度工程上常用轉(zhuǎn)速工程上常用轉(zhuǎn)速n n表示轉(zhuǎn)動的快慢，轉(zhuǎn)速表示轉(zhuǎn)動的快慢，轉(zhuǎn)速n n的單位為轉(zhuǎn)的單位為轉(zhuǎn)/ /分分(rpm)(rpm)，n n與與之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為物理學(xué)中曾學(xué)過，繞定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任意一點速度的大小，物理學(xué)中曾學(xué)過，繞定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)任意一點速度的大小，等于角速度與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積，其方向與轉(zhuǎn)動半徑垂直，等于角速度與該點轉(zhuǎn)動半徑的

7、乘積，其方向與轉(zhuǎn)動半徑垂直，并與剛體轉(zhuǎn)向一致，如并與剛體轉(zhuǎn)向一致，如圖圖4-34-3所示。由于速度方向沿圓周切線，所示。由于速度方向沿圓周切線，所以又稱為線速度或圓周速度。線速度所以又稱為線速度或圓周速度。線速度v v與角速度與角速度的關(guān)系為的關(guān)系為 v v= =rr 式式(4.4)(4.4)中，中，r r為轉(zhuǎn)動半徑。為轉(zhuǎn)動半徑。下一頁上一頁返回26030nn(4.3)(4.3) (4.4)(4.4) 4.1 4.1 轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度轉(zhuǎn)動方程、角速度和線速度在工程中，一般知道輪子的轉(zhuǎn)速在工程中，一般知道輪子的轉(zhuǎn)速n n和直徑和直徑d d，則將式，則將式(4.3)(4.3)及及r r=

8、=d d/2/2代入式代入式(4.4)(4.4)得輪緣上一點的線速度為得輪緣上一點的線速度為 (4.5)(4.5)式式(4.5)(4.5)中中d d的單位為的單位為m m，n n的單位為的單位為rpmrpm。由于轉(zhuǎn)動剛體上各點速度的大小都與轉(zhuǎn)動半徑成正比，所以由于轉(zhuǎn)動剛體上各點速度的大小都與轉(zhuǎn)動半徑成正比，所以在轉(zhuǎn)動半徑上各點速度分布規(guī)律呈如在轉(zhuǎn)動半徑上各點速度分布規(guī)律呈如圖圖4-44-4所示的三角形分布，所示的三角形分布，即線性分布。即線性分布。上一頁 返回)m/s(6030dnrnv4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系4.2.1 4.2.1 功率功率力在單位時間

9、內(nèi)所做的功稱為功率，用符號力在單位時間內(nèi)所做的功稱為功率，用符號P P表示。根據(jù)物理表示。根據(jù)物理學(xué)知，不變力的功率等于力學(xué)知，不變力的功率等于力F F在其作用點速度在其作用點速度v v的乘積（設(shè)力的乘積（設(shè)力F F與速度方向一致），即與速度方向一致），即 P P= =FvFv對于轉(zhuǎn)動的剛體，如在其上某點對于轉(zhuǎn)動的剛體，如在其上某點A A作用一個切向力作用一個切向力F F，則，則A A點的點的線速度線速度v v= =rr，如，如圖圖4-54-5所示。則所示。則 P P= =FvFv= =F rF r= =MM (4.6)(4.6)下一頁 返回4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與

10、轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系式式(4.6)(4.6)中中M M= =FrFr，為力，為力F F對剛體轉(zhuǎn)軸對剛體轉(zhuǎn)軸O O點之矩，即轉(zhuǎn)矩的功率點之矩，即轉(zhuǎn)矩的功率等于力對轉(zhuǎn)動軸之矩與剛體的角速度的乘積。等于力對轉(zhuǎn)動軸之矩與剛體的角速度的乘積。功率的單位為瓦特，代號為功率的單位為瓦特，代號為W W，1 W=1 J/s=1 Nm/s1 W=1 J/s=1 Nm/s。工程。工程中常用中常用kW(kW(千瓦千瓦) )作功率的單位，作功率的單位，1 kW=1000 W1 kW=1000 W。下一頁上一頁返回4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系4.2.2 4.2.2 功率、轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系功

11、率、轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系在機械傳動中常要根據(jù)給定的功率和轉(zhuǎn)速來計算轉(zhuǎn)矩的大小。在機械傳動中常要根據(jù)給定的功率和轉(zhuǎn)速來計算轉(zhuǎn)矩的大小。將式將式(4.3)(4.3)代入式代入式(4.6),(4.6),則可導(dǎo)出轉(zhuǎn)動物體的功率則可導(dǎo)出轉(zhuǎn)動物體的功率P P(kW(kW) )、轉(zhuǎn)、轉(zhuǎn)速速n n(rpm(rpm) )與轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)矩M M(Nm(Nm) )的關(guān)系為的關(guān)系為 (4.7)(4.7)則有則有下一頁上一頁返回9550100030MnnMMPnPM9550(4.8)(4.8) 4.2 4.2 功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系功率、轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)矩間的關(guān)系式式(4.8)(4.8)中，中，P P的單位為的單位為kWkW，M

12、 M的單位為的單位為NmNm，n n的單位為的單位為rpmrpm。由以上各式可見，當(dāng)功率由以上各式可見，當(dāng)功率P P一定時，一定時，F(xiàn) F與與v v成反比，或成反比，或M M與與成成反比。例如，汽車上坡時需要較大的驅(qū)動力矩反比。例如，汽車上坡時需要較大的驅(qū)動力矩M M或較大的牽引或較大的牽引力，駕駛員就用低速檔，使汽車的速度減小，以便在一定功力，駕駛員就用低速檔，使汽車的速度減小，以便在一定功率的情況下產(chǎn)生較大的牽引力。率的情況下產(chǎn)生較大的牽引力。上一頁 返回小小 結(jié)結(jié)(1) (1) 剛體運動時，體內(nèi)有一條直線始終保持不動，其余各點剛體運動時，體內(nèi)有一條直線始終保持不動，其余各點都繞此直線作圓周運動，這種運動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。都繞此直線作圓周運動，這種運動稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。(2) (2) 剛體轉(zhuǎn)動的快慢用角速度或轉(zhuǎn)速表示，二者的關(guān)系是剛體轉(zhuǎn)動的快慢用角速度或轉(zhuǎn)速表示，二者的關(guān)系是(3) (3) 轉(zhuǎn)動剛體上任意一點速度等于該剛體角速度與該點轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動剛體上任意一點速度等于該剛體角速度與該點轉(zhuǎn)動半徑的乘積半徑的乘積( (v v= =rr) )，速度方向沿圓周切線方向。剛體定軸轉(zhuǎn)，速度方向沿圓周切線方向。剛體定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上各點速度與該點轉(zhuǎn)動半徑成正比。輪緣上的一動時，剛體上各點速度與該點轉(zhuǎn)動半徑成正比。輪緣上的一點線速度點線