虛位移原理PPT

1、工程力學（C）(20)8.4 虛位移原理虛位移原理具有雙面理想約束的質點系，在某一位置能繼續(xù)保持靜止平衡的充要條件是：虛位移原理是分析（靜）力學的基本原理。虛位移原理可用于求解剛體系統(tǒng)的靜止平衡問題。作用于質點系的主動力在該位置任何一組虛位移上做的虛功之和等于零。即：（8.32）虛功方程對于理想約束、且無彈簧連接的剛體系統(tǒng)：對于有彈簧連接的剛體系統(tǒng)或變形體：對于非理想約束，可將其約束力視為主動力。若系統(tǒng)全部為有勢力作功時，虛功方程為（8.33）比較7 與8 ：條件應用的系統(tǒng)平衡的含義7 力系的平衡 單個剛體（充要條件）相對慣性系靜止或勻速直線運動 剛體系統(tǒng)（必要條件）8 虛位移原理 剛體系統(tǒng)（

2、充要條件）相對慣性系靜止2. 虛位移原理的應用（8.32）虛功方程（1）對自由度為k的系統(tǒng)（機構）有k個獨立的廣 義坐標、k個獨立的廣義虛位移虛功方程（8.34）k個獨立方程已知平衡位置，求此時各主動力之間關系已知各主動力，求平衡時的位置j=1,k（2）對自由度為零的系統(tǒng)（靜定結構）求約 束處的約束力自由度為零，系統(tǒng)無虛位移解除一個約束，代之以相應的待求約束力（視為未知大小的主動力）系統(tǒng)變?yōu)閗=1的機構，按(1)求解未知約束力若求多個約束力，可依次解除相應約束，每次求出一個約束力解題指導（1）對系統(tǒng)，正確寫出虛功方程：（8.32）是全部作功的力的虛功之和正確找出全部作功之力，正確寫出虛功（2）

3、虛功方程 中的虛位移，必須表示為獨立的虛位移的形式（3）整理虛功方程，令虛功方程中各獨立虛位移前面的系數(shù)為零。例 題 58 虛位移原理 例題 桿OD、CE、CB、DB，彈簧AB，剛度為k，彈簧未變形時 ，OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求當角為平衡位置時，P？解：1.分析拆除彈簧AB，用 、 表示彈簧對剛體系統(tǒng)的作用系統(tǒng)為理想約束系統(tǒng)，各鉸處的約束力不作功 。例 題 58 虛位移原理 例題系統(tǒng)自由度為1，可選為廣義坐標。2.列虛功方程系統(tǒng)中作功的力：主動力 ，彈簧力，彈簧伸長量故彈簧力的大小為方法一llllll例 題 58 虛位移原理 例題建立坐標系Oxy,各力的虛功表示為：xy利用解

4、析法建立虛位移的關系：求變分llllll例 題 58 虛位移原理 例題xyllllll系統(tǒng)的虛功方程為即由于例 題 58 虛位移原理 例題方法二不拆除彈簧（彈簧包括在系統(tǒng)內，有內力作功）虛功方程為xyllllll由同理可得例 題 68 虛位移原理 例題 AB、BC、CD為三根等長、等重的均質桿，與鉛垂墻壁連成正方形ABCD，并用柔繩EH拉住，E、H分別為AB、BC的中點，各桿重Q，求柔繩的拉力。例 題 68 虛位移原理 例題解：1.分析系統(tǒng)的自由度為0,靜定結構主動力：且2.列虛功方程(幾何法）G拆除繩EH，自由度為1，用表示繩索對結構的作用力。例 題 68 虛位移原理 例題且代入上式G此機構

5、中，桿AB，DC為定軸轉動，桿BC為平動，可判斷E，G，H各點的虛位移方向。（拉力）例 題 78 虛位移原理 例題 桿AB、CD由光滑鉸鏈C相連，在AB桿的B端作用一鉛垂力 ，在CD桿上作用一力偶，其力偶矩為M，不計桿重，求A端的約束反力。例 題 78 虛位移原理 例題解：系統(tǒng)的自由度為0可依次拆除A端的幾個約束，將相應約束力看作主動力求解。例 題 78 虛位移原理 例題(1)求去掉A端的轉動約束，用約束力偶矩MA代替。系統(tǒng)的自由度為1主動力：AB定軸轉動，CD一般平面運動，瞬心為P，PAB的虛轉角CD的虛轉角為則例 題 78 虛位移原理 例題列虛功方程：代入（）例 題 78 虛位移原理 例題

6、(2)求去掉A端的水平約束，用約束力FAx 代替。系統(tǒng)的自由度為1主動力AB、CD只能作平動例 題 78 虛位移原理 例題(3)求去掉A端的鉛垂約束系統(tǒng)自由度為1主動力：AB平動，CD瞬心為PP設CD的虛轉角為則有列虛功方程：例 題 78 虛位移原理 例題即（）9.5 質點系平衡的廣義力1. 廣義力 以廣義力表示的系統(tǒng)平衡條件虛功方程各 之間要滿足約束條件，故不是獨立的，可用廣義虛位移 表示為稱為廣義坐標 對應的廣義力令（8.35)因此，虛功方程可寫為2. 廣義力的計算由于各個 獨立系統(tǒng)的平衡條件：（8.36）分別計算k個廣義力，計算 時，選取一組特殊的廣義虛位移，令但而這組虛位移下系統(tǒng)的虛功

7、為：則j=1k (8.37)3. 有勢力場質點系的平衡問題設系統(tǒng)的主動力全部為有勢力，則系統(tǒng)存在勢能V或選取廣義坐標與 相應的廣義力：各有勢力直角坐標下的投影Fi與勢能的關系則系統(tǒng)的元功選取直角坐標 xix2x1x3(xi1,xi2,xi3)平衡條件：或4.有勢力場中質點系平衡的穩(wěn)定性例如：考慮自重的桿的平衡問題。即對于保守系統(tǒng)，質點系的平衡位形一定出現(xiàn)在勢能取駐值（ 或 ）的位形處。以下僅討論單自由度系統(tǒng)：設在處系統(tǒng)平衡。將在處臺勞展開當q在 附近時，略去二階以上小量注意到，因 處于平衡位置，所以則在平衡位置處勢能取駐值包括以下幾種情況：(1)取極小值(2)取極大值(3)拐點(4)不變化q對

8、應的廣義力則(a) 當 時，有勢能V在 處取極小值，廣義力Q與廣義位移的增量 的符號相反。Q可使質點恢復到平衡位置。是質點系的穩(wěn)定平衡位置。故當 時，(b)當 時，有勢能V在 處取極大值，廣義力Q與廣義位移的增量 的符號相同。Q可使質點離開平衡位置。q對應的廣義力(c)當 時，需考察V=V(q)更高階導數(shù)(d)當V=V(q0)=const時，廣義力為零，隨遇平衡是質點系的不穩(wěn)定平衡位置。故 時，穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡在穩(wěn)定的平衡位形處，質點系的總勢能為最小，稱為最小勢能原理。 三鉸剛架受力如圖，求C端的約束力。例 題 88 虛位移原理 例題系統(tǒng)的自由度為2。主動力：例 題 88 虛位移原理

9、 例題解：此為靜定結構，自由度為0， C端約束力有 ，去掉C端約束，計算這兩個廣義坐標相應的廣義力Q1和Q2：取一組廣義坐標:為AB繞A點定軸轉動的方位角為BC相對于AB繞B點定軸轉動的方位角例 題 88 虛位移原理 例題計算系統(tǒng)的虛功：(1)令此時BC相對于AB靜止，整個系統(tǒng)繞A定軸轉動：yxAB不動， BC以B點為基點定軸轉動：例 題 88 虛位移原理 例題yx（2）令系統(tǒng)的虛功為：( )( )yx例 題 88 虛位移原理 例題（3）廣義力平衡條件均質桿OA、OB以光滑鉸鏈連接，OA桿O端與固定鉸支座鉸接。兩桿長分別為 、 ，重分別為 、 ，現(xiàn)在B端作用一水平力 ,試求平衡時角 、 各為多

10、少？例 題 98 虛位移原理 例題解：系統(tǒng)自由度為2，主動力：(1)廣義坐標：計算廣義力例 題 98 虛位移原理 例題(2)令相當于OAB為剛體繞O點轉動，O為基點。例 題 98 虛位移原理 例題(3)令相當于剛體OA不動，剛體AB繞A點轉動，A為基點。例 題 98 虛位移原理 例題(4)平衡條件例 題 98 虛位移原理 例題由由地震儀的示意圖如圖。彈簧系數(shù)為k，AC水平時，兩彈簧具有初始壓力 。求BD處于鉛直位置，且為穩(wěn)定平衡時，k應為多大？例 題 108 虛位移原理 例題解：單自由度系統(tǒng)取 為廣義坐標，(即BD與鉛直軸夾角 )。拆除彈簧,用彈簧力代替。主動力：都為有勢力。設AC在水平位置時兩彈簧的初壓縮量例 題 108 虛位移原理 例題 的零勢點取為B，彈簧的零勢點取其自然狀態(tài)。系統(tǒng)的勢能：由顯然時有=0為平衡位置例 題 108 虛位移原理 例題當時：穩(wěn)定平衡的條件為：例 題 108 虛位移原理 例題由 求導：例 題 118 虛位移原理 例題OrOrrOrO放在固定半圓柱體上的均質半圓柱和均質半圓柱薄殼（半