生活中的優(yōu)化問題舉例PPTPPT課件

1、 生活中經常遇到求生活中經常遇到求利潤最大利潤最大、用用料最省料最省、效率最高效率最高等問題，這些問題等問題，這些問題通常稱為通常稱為優(yōu)化問題優(yōu)化問題，通過前面的學習，通過前面的學習，知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档闹?，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運用導數(shù)，解決有力工具，本節(jié)我們運用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題。一些生活中的優(yōu)化問題。第1頁/共27頁問題問題1: 1:海報版面尺寸的設計海報版面尺寸的設計第2頁/共27頁 例例1 學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳，現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報，宣傳，現(xiàn)讓你設計一張如

2、圖所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為要求版心面積為128dm2,上下邊各空上下邊各空2dm,左右空左右空1dm,如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最如何設計海報的尺寸，才能使四周空白面積最??？??？,128dmx128)2128)(4()( xxxs解：設版心的高為解：設版心的高為xcm,則寬為則寬為此時四周空白面積為：此時四周空白面積為：0,85122 xxx求導數(shù)，有求導數(shù)，有,5122)( 2xxS , 05122)( 2 xxs令令解得，解得，x=16 (x=-16舍去）舍去）816128128 x于是寬為于是寬為第3頁/共27頁; 0)( ,)16, 0( xsx時時當當; 0)

3、( ,),16( xsx時時當當因此，因此，x=16是函數(shù)是函數(shù)s(x)的極小值點，也的極小值點，也是最小值點。是最小值點。 所以，當版心高為所以，當版心高為16dm,寬寬為為8dm時，能使四周空白面積最小。時，能使四周空白面積最小。答：當版心高為答：當版心高為16dm,寬為寬為8dm時，海報時，海報四周空白面積最小。四周空白面積最小。第4頁/共27頁練習練習1、一條長為、一條長為l的鐵絲截成兩段，分別的鐵絲截成兩段，分別 彎成兩個正方形，要使兩個正方形彎成兩個正方形，要使兩個正方形 的面積和最小，兩段鐵絲的長度分的面積和最小，兩段鐵絲的長度分 別是多少？別是多少？則兩個正方形面積和為2221

4、)4()4(xlxssS)22(16122llxx解：設兩段鐵絲的長度分別為x,l-x,其中0 x2時，時，f(r)0,它表示它表示f(r)單調遞單調遞增，即半徑越大，利潤越高；增，即半徑越大，利潤越高；當當r2時，時，f(r)0,它表示它表示f(r)單調遞減，即單調遞減，即半徑越大，利潤越低。半徑越大，利潤越低。（1）半徑為）半徑為2時，利潤最小。這時時，利潤最小。這時f(2)0;當x(40,60)時,V(x)0.函數(shù)V (x)在x=40處取得極大值,這個極大值就是函數(shù)V (x)的最大值.32)(16000)24060(40)40(cmV答 當箱箱底邊長為40cm時,箱子容積最大, 最大值為

5、16000cm3第11頁/共27頁 2、若函數(shù)、若函數(shù) f ( x )在定義域內在定義域內只有一個極值點只有一個極值點x0 ，則不需與端點比較，則不需與端點比較， f ( x0 )即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.說明說明1、設出變量找出函數(shù)關系式；、設出變量找出函數(shù)關系式；(所說區(qū)間的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間)確定出定義域；所得結果符合問題的實際意義第12頁/共27頁練習3:某種圓柱形的飲料罐的容積一定時,如何確定它的高與底半徑,使得所用材料最省?Rh解 設圓柱的高為h,底面半徑為R.則表面積為 S(R)=2Rh+2R2.又V=R2h(定值),.2RVh則2222)(RRVR

6、RS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR 解得3222VRVh從而即h=2R.可以判斷S(R)只有一個極值點,且是最小值點.答 罐高與底的直徑相等時, 所用材料最省.第13頁/共27頁3例磁盤的最大存儲量問題 ?1儲、檢索信息的嗎儲、檢索信息的嗎你知道計算機是如何存你知道計算機是如何存 ?2 你知道磁盤的結構嗎你知道磁盤的結構嗎 ?3信息信息盤存儲盡可能多的盤存儲盡可能多的如何使一個圓環(huán)狀的磁如何使一個圓環(huán)狀的磁 問題3:如何使一個圓形磁盤儲存更多信息?第14頁/共27頁第15頁/共27頁解解:存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù).設存儲區(qū)的半徑介于設存儲區(qū)的半徑介于r與與R之間之間,由

7、于磁道之間的寬由于磁道之間的寬度必須大于度必須大于m,且最外面的磁道不存儲任何信息且最外面的磁道不存儲任何信息,所以磁道數(shù)最多可達所以磁道數(shù)最多可達(R-r)/m。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為了獲得最大的存由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為了獲得最大的存儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比儲量，最內一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特數(shù)可達到特數(shù)可達到 ,nr2nrmrRrf 2)( 所以，磁道總存儲量為：所以，磁道總存儲量為：)(2rRrmn (1) 它是一個關于它是一個關于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式可以判斷，不是析式可以判斷，不是r越小，磁盤的存儲量越小，磁盤

8、的存儲量越大。越大。第16頁/共27頁解：存儲量=磁道數(shù)每磁道的比特數(shù))(22)(rRrmnnrmrRrf(2) 為求f(r)的最大值，先計算0)( rf)2(2)(rRmnrf第17頁/共27頁0)(,2;0)(,2rfRrrfRr時當時當0)( rf令mnR，Rr2,2,2最大存儲量為磁盤具有最大存儲量時當因此2Rr 解得解得第18頁/共27頁如何解決優(yōu)化問題?優(yōu)化問題優(yōu)化問題的答案用函數(shù)表示的數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題第19頁/共27頁優(yōu)化問題優(yōu)化問題用函數(shù)表示數(shù)學問題用函數(shù)表示數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題用導數(shù)解決數(shù)學問題優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型解決數(shù)學模型解

9、決數(shù)學模型作答作答利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：這節(jié)課這節(jié)課,我們來繼續(xù)學習幾個優(yōu)化問題的例子我們來繼續(xù)學習幾個優(yōu)化問題的例子第20頁/共27頁1答案答案例例4 4：如圖如圖,鐵路線上鐵路線上AB段長段長100km,工廠工廠C到鐵路的距離到鐵路的距離CA=20km.現(xiàn)在要在現(xiàn)在要在AB上某一處上某一處D,向向C修修一條公路一條公路.已知鐵路每噸千米與已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運費之比為公路每噸千米的運費之比為3:5.為了使原料為了使原料從供應站從供應站B運到工廠運到工廠C的運費最省的運費最省,D應修在何處應修在何處?B D AC解解:設設DA=xkm,那么

10、那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又設鐵路上每噸千米的運費為又設鐵路上每噸千米的運費為3t元元,則公路上每噸千則公路上每噸千米的運費為米的運費為5t元元.這樣這樣,每噸原料從供應站每噸原料從供應站B運到工廠運到工廠C的總運費為的總運費為25354003 (100)(0100).yt CDt BDtxtxx 第21頁/共27頁25354003 (100)(0100).yt CDt BDtxtxx 令令 ,在在 的范圍內有唯一解的范圍內有唯一解x=15.25(3) 0400 xytx 0100 x 所以所以,當當x=15(km),即即D點選在距點選在距A點點1

11、5千米時千米時,總運費最省總運費最省.注注:可以進一步討論可以進一步討論,當當AB的距離大于的距離大于15千米時千米時,要找的要找的 最優(yōu)點總在距最優(yōu)點總在距A點點15千米的千米的D點處點處;當當AB之間的距離之間的距離 不超過不超過15千米時千米時,所選所選D點與點與B點重合點重合.解解:設設DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又設鐵路上每噸千米的運費為又設鐵路上每噸千米的運費為3t元元,則公路上每噸千米的運費為則公路上每噸千米的運費為5t元元.這樣這樣,每噸原料從供應站每噸原料從供應站B運到工廠運到工廠C的總運費為的總運費為B D AC

12、第22頁/共27頁10005003. 010236xxx)(xC例5 5在經濟學中，生產x單位產品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。（1）、如果C(x)，那么生產多少單位產品時，邊際 (邊際成本：生產規(guī)模增加一個單位時成本的增加量)（2）、如果C(x)=50 x10000，產品的單價P100 0.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？第23頁/共27頁變式變式已知已知: :某商品生產成本與產量某商品生產成本與產量q q的函數(shù)關系式為的函數(shù)關系式為NoImage100 4Cq , , 價格價格p p與產量

13、與產量q q的函數(shù)關系式為的函數(shù)關系式為1258pq 求產量求產量 q q 為何值時，利潤為何值時，利潤 L L 最大？最大？1(25)(1004 )8LpqCq qq解解：利利潤潤21211008qq 121,0,4LqL 令令84q 求求得得0L 當當時時, q84, q84,0L 當當時時, q84, q84,84qL當當產產量量 為為時時，利利潤潤 最最大大21211008qq 1(25)(1004 )8LpqCq qq另另解解：利利潤潤2184124bqLa 當當時時， 的的值值最最大大第24頁/共27頁【解】設位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x 0，y 0，則另一個在拋

14、物線上的頂點為（x，y），在x軸上的兩個頂點為（x，0）、（x，0），其中0 x 2設矩形的面積為S，則S 2 x（4x2），0 x 2由S（x）86 x20，得x ，易知x 是S在（0，2）上的極值點，即是最大值點，所以這種矩形中面積最大者的邊長為和233233第25頁/共27頁 ( (課本第課本第3737頁頁B B組第組第1 1題題) )某賓館有個房間供游客居住，當每個房間每天的某賓館有個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為元時，房間會全部住滿；房間的單價每定價為元時，房間會全部住滿；房間的單價每增加元，就會有一個房間空閑如果游客居住房增加元，就會有一個房間空閑如果游客居住房間，賓館每天每間需花費元的各種維修費房間間，賓館每天