人教版九上數(shù)學(xué)之《一元二次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識(shí)講解(基礎(chǔ))

1、一元二次方程全章復(fù)習(xí)與鞏固一知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解一元二次方程及有關(guān)概念；2掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次解一元二次方程;3.掌握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】陰懇問闌勺冷¥字ITt三茲蒐卜一元二次方程一 一無二次方程聲法L 元二次方程的 1定5形式一方程.的有關(guān)處程的解I .I廠直接升平方料一竝方d-闔£為法Tt二次方程根的判別式Zl =典磁及4質(zhì)I J分析實(shí)際問叛的數(shù)童1矣系列一充三次方程實(shí)踴問題卜_|與系數(shù)的頭系【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元二次方程的有關(guān)概念1. 一元二次方程的概念：通過化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并

2、且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元 二次方程.2. 一元二次方程的一般式：a2 + + c, = 0 O）3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要點(diǎn)詮釋：判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程時(shí)，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程； 其次再將整式方程整理化簡(jiǎn)使方程的右邊為0,看是否具備另兩個(gè)條件：一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最 高次數(shù)為2.對(duì)有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個(gè)特點(diǎn)，不要忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為0 要點(diǎn)二、一元二次方程的解法1. 基本思想一元二次方程 降次 一元一次方程2 基本解法 直

3、接開平方法、配方法、公式法、因式分解法.要點(diǎn)詮釋：解一元二次方程時(shí)，根據(jù)方程特點(diǎn)，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解 法，再考慮用公式法.要點(diǎn)三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1. 一元二次方程根的判別式一元二次方程a2 + bx+c = O(aO)中，-4ac 叫做一元二次方程a2 + bx+c = O(aO)的根的判別式，通常用“”來表示，即厶= b24ac()當(dāng)0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;()當(dāng)二0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(A)當(dāng)0時(shí),-元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.【高清ID號(hào)：388528關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：根系關(guān)系】2. 一元二次

4、方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2 + bx+c = 0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x，X ,1 2bC那么 X +X, XX =12 a 1 2 a注意它的使用條件為ao, o.要點(diǎn)詮釋：1一元二次方程=的根的判別式正反都成立.利用其可以解決以下問題:(1) 不解方程判定方程根的情況；(2) 根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；(3) 解與根有關(guān)的證明題.2. 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：(1) 已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；(2) 已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；(3) 已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程.要點(diǎn)四、列一元二次方程解

5、應(yīng)用題1. 列方程解實(shí)際問題的三個(gè)重要壞節(jié)：一是整體地、系統(tǒng)地審題；二是把握問題中的等量關(guān)系；三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.2. 利用方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.3. 解決應(yīng)用題的一般步驟：審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程）；解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）；答（寫出答案，切忌答非所問）4. 常見應(yīng)用題型 數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤（銷售）問題、形積問題等.要點(diǎn)詮釋：列方程解應(yīng)用題就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方

6、程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí) 際問題的解決.【典型例題】類型一、一元二次方程的有關(guān)概念1. （2016詔安縣校級(jí)模擬）關(guān)于X的一元二次方程（a- 1） x2+x+a2 -1 =0的一個(gè)根是0,則a的值 為（）A. 1 B. -1 C1或D.丄2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)方程的解的定義，把X=O代入方程，即可得到關(guān)于a的方程，再根據(jù)一元二次方程的 定義即可求解【答案】B；【解析】解：根據(jù)題意得:a2-1=0fia-10,解得：a=-1.故選B.【總結(jié)升華】本題主要考查了一元二次方程的解的定義，特別需要注意的條件是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.舉一反三：【高清ID號(hào)：388528關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：

7、利用定義求字母的值】【變式】關(guān)于X的方程（決-2a-8）2 + （日+ 2）x-1 = 0,當(dāng)曰時(shí)為一元一次方程；當(dāng)日時(shí)為一元二次方程.【答架】曰二4； 34且曰工-2類型二、一元二次方程的解法2用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?#176;52 一軌(2) (X+S)2+x+il（3） 2x2-4XT二0；【答案與解析】(4) (1-2)X2= (l+2)x原方程可化為o5x2-13.2 3用直接開平方法，得方程的根為原方程可化為x2+2qx+/二42+2ax+ 414用直接開平方法，得原方程的根為 1 1 X = a, X 二一a.1 2 2 2 a=2, b=-4, C=-Ib2-4ac= (-

8、4)2-4×2× (-l)=24>0士府 4±2vr62±6 2×24(4) 將方程整理，得(I-)X2-(1+/2) x=O用因式分解法，得x(l-池)x-(1+J)二O x=0, x2=-3-2 J2 【總結(jié)升華】在以上歸納的幾種解法中，因式分解法是最簡(jiǎn)便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以 運(yùn)用 這種方法，所以要善于及時(shí)觀察標(biāo)準(zhǔn)的二次三項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)是否能直接因式分解，凡能 直接因式分解的，應(yīng)首先采取這種方法公式法是可以解任何類型的一元二次方程，但是計(jì)算過程較繁 瑣，所以只有選擇其他解法不順利時(shí)，才考慮用這種解法.雖然先配方，再

9、開平方的方法也適用于任何 類型的一元二次方程，但是對(duì)系數(shù)復(fù)雜的一元二次方程，配方的過程比運(yùn)用公式更繁瑣，所以，配方法 適用于系數(shù)簡(jiǎn)單的一元二次方程的求解.舉一反三:【變式】解方程.(3x-2)2+(2-3x)=0;(2)2(t-l)2+t = l.【答案】(3x-2) (3x-2-l) =0.X =1.23-2=0 或 3-3=0, /.(1)原方程可化為：(3-2)2-(3-2) =0, .(2)原方程可化為：2(t-l)2+(t-l)=0./.(t-l) 2 (t-l)+1 O./.(t-l) (2t-l) =0, . tT=0 或 2t-l = 0.：t = 1, t = 一1 2 2&

10、#39;類型三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用¢3.(2015荊門)若關(guān)于X的一元二次方程X2- 4x+5- a=0有實(shí)數(shù)根，貝Ua的取值范圍是()A. a1B a>1C. a1D. a<1【答案】A；【解析】T關(guān)于X的一元二次方程X24x+5 - a=0有實(shí)數(shù)根，：A ( - 4)2 4(5 - a) 0,a1.故選A.【總結(jié)升華】本題考查的是一元二次方程根的判別式，根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得到判別式大于等于零， 求出Q的取值范圍.類型四、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系4. 已知、X?是關(guān)于X的方程×2-2×+t+2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，(1) 求t的

11、取值范圍；(2)設(shè)S=2 + 2,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.1 2【答案與解析】因?yàn)橐辉畏匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根所以 =(-2)2-4(t+2)>0, SPt<-l.(2) 由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知：X+X=2, X X =t+2,121 U 2從而 s= 2 + 2 = (+)2_2XX = 22 2(t+2) = -2t,即 s = -2t(t<-1).1 2 1 2 1 2【總結(jié)升華】利用根與系數(shù)關(guān)系求函數(shù)解析式綜合題.舉一反三：【變式】已知關(guān)于X的一元二次方程2 = 2(1-m)x-m2的兩實(shí)數(shù)根為X , X1 2(1) 求m的取值范圍；(2) 設(shè)y =乂十乂

12、2，當(dāng)y取得最小值時(shí)，求相應(yīng)m的值，并求出最小值【答案】(1)將原方程整理為x2 + 2(m-1)x+m2 = 0.ml.原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根= 2(m-1)2-4m2 = -8m + 4 0, A(2)y=x+×2 = -2m + 2,且m1因?yàn)閥隨1的增大而減小，故當(dāng)m 一時(shí)，取得最小值12類型五、一元二次方程的應(yīng)用 5.如圖所示，在長為IOcm,寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖 形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%,求所截去的小正方形的邊長【答案與解析】設(shè)小正方形的邊長為XCnb由題意得42=10×8× (1-80%)解得X

13、=2, x2=-2.經(jīng)檢驗(yàn)，X =2符合題意，x2=-2不符合題意舍去.* X=2. 答：截去的小正方形的邊長為2cm.【總結(jié)升華】設(shè)小正方形的邊長為XCn1,因?yàn)閳D中陰影部分面積是原矩形面積的80%,所以4個(gè)小正方 形面積是原矩形面積的20%.舉一反三：【變式(2015春?jiǎn)|市月考)如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩 形花園ABCD (圍墻MN最長可利用25m),現(xiàn)在物® 50m長的墻，砌成一個(gè)面積300m2的矩形花園， 則BC的長為多少m?BlC【答案】解：設(shè)AB=X米，則Bo (502x)米.根據(jù)題意可得，X (502x) =300,解得：XI=I0, ×2=15,當(dāng) X=I0, BC=50 - 10 10=30>25,故Xl=IO (不合題意舍去)，50 - 2x=50 - 30=20.答:BC的長為20m.¢6.某旅行社有100張床位，每床每晚收費(fèi)10元，空床可全部租岀；若每床每晚提高2元，則減少10張床位租出；若每床每晚收費(fèi)再提高2元，則再減少10張床位租岀.以每次提高2元的這種 方法變化下去，為了每晚獲得1120元的利潤，每床每晚應(yīng)提高多少元？【答案與解析】設(shè)每床每晚提高X個(gè)2元，則每床每晚收費(fèi)為(10÷2x)元 每晚出租岀去的床位